2022-2023學(xué)年山東省臨沂市臨沂（北校）高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省臨沂市臨沂（北校）高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為A． B． C． D．【答案】B【解析】分析出直線與軸垂直，據(jù)此可得出該直線的傾斜角.【詳解】由題意可知，直線與軸垂直，該直線的傾斜角為.故選：B.【點睛】本題考查直線的傾斜角，關(guān)鍵是掌握直線傾斜角的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．在等比數(shù)列中，且，則（

）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)，若，則，即可計算出的值.【詳解】由題意可知，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，若，則；所以，因為，所以.故選：C.3．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點，E為AD的中點，則可用向量，，表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量．【詳解】因為是的中點，是的中點，，．故選：B4．如圖，直線是曲線在處的切線，則=A． B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】由圖可知又直線過，即故選5．在等比數(shù)列中，，，則和的等比中項為（

）A．10 B．8 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比中項的定義可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)等比中項的定義可得和的等比中項為.故選：C6．已知平面的一個法向量，點在內(nèi)，則平面外一點到的距離為（

）A．10 B．3 C． D．【答案】C【分析】首先求出，再根據(jù)點到的距離計算可得.【詳解】解：因為、，所以，又平面的一個法向量，所以點到的距離.故選：C7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，是上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．離心率 B．的最大值為C．的面積的最大值為 D．的最小值為【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程求出、、，即可求出離心率，從而判斷A，根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷B，設(shè)，則，根據(jù)的有界性求出面積的最大值，即可判斷C，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】解：橢圓，則，，所以，則離心率，故A正確；由橢圓性質(zhì)：到橢圓右焦點距離最大的點是左頂點，可得的最大值為，故B正確；由，，設(shè)，則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在上、下頂點時取最大值，故C錯誤；因為，，所以，所以，即的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)在上、下頂點時取最小值，故D正確；故選：C8．已知方程有兩個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，即，有兩個不同的交點，恒過定點，是圓心為，半徑為2的圓的上半部分，畫出它們的圖像，利用數(shù)形結(jié)合法即可求出的取值范圍．【詳解】解：設(shè)，，即，有兩個不同的交點，恒過定點，是圓心為，半徑為2的圓的上半部分，它們的圖像如圖所示：當(dāng)過點時，它們有兩個交點，此時，當(dāng)與上半部分圓相切時，有一個交點，此時，由圖形可知，若，有兩個不同的交點，則，即實數(shù)的取值范圍是為.故選：B．二、多選題9．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，，則（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時，最大 D．當(dāng)時，n的最大值為14【答案】BCD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，進而得出，，依次判斷各選項即可得出結(jié)果.【詳解】等差數(shù)列中，，，，，公差，數(shù)列是遞減數(shù)列，A錯誤，，B正確.，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時，最大,C正確.,,.當(dāng)時，n的最大值為14,D正確.故選:BCD.10．下列求導(dǎo)運算正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算求解判斷.【詳解】A.因為，所以，故正確；B.因為，所以，故錯誤；C.因為，所以，故正確；D.因為，所以，故正確.故選：ACD11．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，，則D．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則【答案】AC【分析】根據(jù)條件結(jié)合空間向量的平行和垂直，對各選項逐項判斷即可．【詳解】對于A，兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，則，所以，即，故A正確；對于B，直線l的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯誤；對于C，兩個不同的平面的法向量分別是，則，所以，故C正確；對于D，直線l的方向向量，平面a的法向量是，則，所以，即，故D錯誤．故選：AC12．已知為坐標(biāo)原點，，是拋物線上的兩點，為其焦點，．若到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則下列說法正確的是（

）A．若直線過點，則直線，的斜率之積恒為B．的周長的最小值為C．若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則該圓的面積為D．若，則直線的斜率為【答案】ABD【分析】根據(jù)到準(zhǔn)線的距離為，求出，可得焦點和準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理和斜率公式，即可判斷A；利用拋物線的定義可求出周長的最小值，即可判斷B；利用外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求出圓心的橫坐標(biāo)和圓的半徑，可得圓的面積，即可判斷C；由，可知直線過焦點，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理和向量的線性關(guān)系，求出點坐標(biāo)，可求得直線斜率，從而判斷D．【詳解】解：拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，因為到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以拋物線，所以，準(zhǔn)線為，對于A，若直線過點，設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，設(shè)，，則，，所以，故A正確；對于B，過作，垂足為，則，所以周長的最小值為，故B正確；對于C，因為為外接圓的弦，所以圓心的橫坐標(biāo)為．因為外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以圓的半徑為，所以圓的面積為，故C錯誤；對于D，由，可知直線過焦點，設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，設(shè)，，則，，①又，可得，②①②聯(lián)立，解得，所以，所以直線的斜率為，故D正確；故選：ABD．三、填空題13．一動圓P過定點，且與已知圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是______．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析可得，再結(jié)合雙曲線的定義求方程.【詳解】圓N：的圓心，半徑，∵，∴點在圓N外，則圓P包含圓N，設(shè)圓P的半徑為，由題意可得：，即，可得，故動圓圓心P的軌跡是以為焦點的雙曲線的右半支，可得，則，故動圓圓心P的軌跡方程是.故答案為：.14．如圖所示，二面角為，，，過點作，垂足為，過點作，垂足為，若，，，則的長度為___________.【答案】【分析】根據(jù)向量線性運算可知，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律可求得，由此可得長.【詳解】，，，，.故答案為：.15．已知函數(shù)，過點作曲線的切線，則其切線方程為______．【答案】或【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)切點為，因為，所以，所以切線的斜率為，所以切線方程為，因為切線過，所以，解得或，所以切線方程為或.故答案為：或四、雙空題16．已知數(shù)列的前n項和為，且，若點在直線x－y＋2＝0上，則______；______．【答案】

【分析】根據(jù)題意得，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，利用裂項可求出.【詳解】因為點在直線x－y＋2＝0上，所以，即，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以.由，得.故答案為：；.五、解答題17．已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)求函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求；（2）由題可得切點到直線的距離最小，即得.【詳解】（1）∵函數(shù)，∴的定義域為，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點為，而切點也在函數(shù)圖象上，解得，∴的解析式為；（2）由于直線與直線平行，直線與函數(shù)在處相切，所以切點到直線的距離最小，最小值為，故函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值為.18．已知數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，滿足，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)，作差得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出的通項公式，設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，求出，即可得到的通項公式；（2）由（1）可得，利用錯位相減法計算可得.【詳解】（1）解：因為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，成等比數(shù)列則，又，所以，解得或（舍去），所以.（2）解：由（1）可得，所以，所以，所以，所以.19．已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，雙曲線E的漸近線方程為．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O是坐標(biāo)原點，直線與拋物線C交于A，B兩點，求的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程為，可得，繼而得到雙曲線的右焦點為，即為拋物線的焦點坐標(biāo)，可得，即得解；（2）聯(lián)立直線與拋物線，可得，再由直線過拋物線的焦點，故，三角形的高為O到直線的距離，利用點到直線公式，求解即可【詳解】（1）由題意，雙曲線漸近線方程為：，所以，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．故雙曲線故雙曲線的右焦點為，所以，，所以．（2）由題意聯(lián)立，得，又所以．因為直線過拋物線的焦點，所以．O到直線的距離，．20．四棱錐的底面是矩形，側(cè)棱底面，是的中點，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）證明：四棱錐的底面是矩形，側(cè)棱底面，因此以為原點，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．所以，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，即，因為，所以，又因為平面，所以平面．（2）解：設(shè)直線與平面所成角為，因為，平面的一個法向量為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為．21．已知圓的圓心在直線上，且過點，．(1)求圓的方程；(2)過點作圓的切線，求切線的方程；(3)過點作圓的割線，交圓于，兩點，當(dāng)時，求的直線方程．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）依題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓的方程為，即可得到方程組，解得、，即可得到圓的方程；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，得到方程，求出的值，即可得解；（3）依題意可得直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線方程為，圓心到直線的距離，即可得到方程，解得即可.【詳解】（1）解：依題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓的方程為，所以，解得，所以.（2）解：當(dāng)切線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線的距離等于半徑，符合題意；當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)直線方程，即．則，解得．切線方程為，即．綜上可得切線方程為：或．（3）解：依題意可得直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線方程為，即，因為，所以圓心到直線的距離，即，解得或，所以直線的方程為或.22．已知橢圓C：的離心率，短軸長為2．(1)求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過橢圓C上頂點P且與橢圓C相交于A，B兩點．若直線PA與直線PB的斜率和為－1．證明：直線l過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1