函數(shù)與極限練習題

函數(shù)與極限練習題（總17頁）--本頁僅作為文檔封面，使用時請直接刪除即可----內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小--第一章函數(shù)與極限§1函數(shù)一、是非判斷題1、f(x)在X上有界，g(x)在X上無界，則f(x)+g(x)在X上無界。[]2、f(x)在X上有界的充分必要條件是存在數(shù)A與B，使得對任一xgX都有A<f(x)<B[]3、f(x),g(x)都在區(qū)間I上單調(diào)增加，則f(x)?g(x)也在I上單調(diào)增加。[]4、定義在(-s,+s)上的常函數(shù)是周期函數(shù)。[]5、任一周期函數(shù)必有最小正周期。[]6、f(x)為(-s,+s)上的任意函數(shù)，則f(x3)必是奇函數(shù)。[]7、設f(x)是定義在La,a]上的函數(shù)，則f(x)+f(-x)必是偶函數(shù)。[]8、f(x)=1+x+x2是初等函數(shù)。[]二.單項選擇題1、下面四個函數(shù)中，與y=|x|不同的是I I(A)j=1einx| (B)y=”x2 (C)y=4x4 (D)y=xsgnx2、下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是單調(diào)增加的。(A)sin3x (B)X3+1 (C)x3+x (D)x3-x3、設f(x)=x2,f[p(x)]=22x,則函數(shù)p(x)是(A)log2x (B)2x (C)log2x2 (D)x24、若f(x)為奇函數(shù)，則也為奇函數(shù)。(A)f(x)+c,(c豐0); (B)f(-x)+c,(c中0) (C)f(x)+f(|x|);(D)f[f(-x)].三.下列函數(shù)是由那些簡單初等函數(shù)復合而成。y=earctan(x+1)2、y=xx+\x+xx3、y=lnlnnx四.設f(x)的定義域D=[0,1],求下列函數(shù)的定義域。f(x2)f(sinx)f(x+a)(a>0)f(x+a)+f(x-a)(a>0)五.設f(x)=[2x， x<0,g(x)=[5:, x<0，求f[g(x)]及g[f(x)]。[x, x>0 〔-3x,x>0六.利用f(x)=sinx的圖形作出下列函數(shù)的圖形:1.y=l1.y=lf(x)12。尸f(lxl)3.尸f(x)+24。y=f(x+2)6。y=f(2x)5.y6。y=f(2x)§2數(shù)列的極限一是非判斷題1、當n充分大后，數(shù)列x與常數(shù)A越來接近，則limx〃=AxT9[]2、如果數(shù)列x發(fā)散，則x必是無界數(shù)列。[]3。如果對任意￡>0,存在正整數(shù)N,使得當n>N時總有無窮多個x”滿足|x—al<e,

貝ljlim%=a.nT9nTOC\o"1-5"\h\z[ ]4、如果對任意￡>0,數(shù)列％中只有有限項不滿足|%-al<e，則lim%〃=a.n n nT9[ ]5、若數(shù)列％n收斂，列yn發(fā)散，則數(shù)列%Jyn發(fā)散。[ ]二.單項選擇題1、根據(jù)lim%〃=a的定義，對任給￡>0,存在正整數(shù)N,使得對n>N的一切nT9xn，不等式%n-a|<e都成立這里的N。(A)是￡的函數(shù)N(￡)，且當￡減少時N(G增大；(B)是由e所唯一確定的(C)與(C)與￡有關，但￡給定時N并不唯一確定(D)是一個很大的常數(shù)，與￡無關。12、%L當n為奇數(shù)=<n2、%10-7,當n為偶數(shù)(A)lim%=0;nT9(A)lim%=0;nT9n(B)lim%-10-7;nT9n(C)lim%nnT90,n為奇數(shù)，10-7,n為偶數(shù)(D)lim%不存在

nT9n3、數(shù)列有界是數(shù)列收斂的(A)充分條件;(A)充分條件;(B)必要條件;(C)充分必要條件； (D)既非充分又非必要條件。4、下列數(shù)列%n中，收斂的是。(A)%-(-1)nn((B)%-n(C)%-sinn^-(D)%=n-(-1)nn n nn+1n2n三.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明。

… 1(1)lim=0n 1+——)n 1+——)=-n2 2(3)limsnn=0 (4)lim(—+—+nfgn nfgn2n2四、若lim四、若lim%=0,

nfgn又數(shù)列，有界，則limynfgnn不成立舉五、若lim%=a，證明limI%1=1aI。反過來成立嗎成立給出證明,nfgn nfgn不成立舉出反例?！?函數(shù)的極限一是非判斷題1、如果f(x)=5,但f(x-0)=f(x+0)=4,則limf(x)不存在。000[ ]2、limf(x)存在的充分必要條件是limf(x)和limf(x)都存在。xT9 xf+8 xT-g[ ]3、如果對某個e>0,存在5>0,使得當0<|x-x01VB時，有f(x)-Al<e，那末limf(x)=A.xTx0TOC\o"1-5"\h\z[ ]4、如果在x的某一去心鄰域內(nèi)，f(x)>0,且limf(x)=A,那末A>0.0 xTx0[ ]5、如果limf(x)=A且A>0,那么必有X>0,使x在LX,X]以外時f(x)>0.xT9[ ]二.單項選擇題1、從limf(x)=1不能推出。xTx0(A)limf(x)=1 (B)f(x-0)=1(C)f(x)=1(D)lim[f(x)-1]=0xTxy 0 0 xTx02、f(x)在x=x處有定義是limf(x)存在的 。0 xTx0(A)充分條件但非必要條件； (B)必要條件但非充分條件7

(C) 充分必要條件;(C) 充分必要條件;(D)既不是充分條件也不是必要條件TOC\o"1-5"\h\z3、若f(x)=上半,g(x)==,則 。X2-1 X+1(A)f(x)=g(x) (B)limf(X)=g(x)x-^1(C)limf(x)=limg(x) (D)以上等式都不成立x—-1 x—-14、limf(x)=limf(x)是limf(x)存在的。x—x0-0 x-xo+0 x—x0(B)必要條件但非充分條件(D)(B)必要條件但非充分條件(D)既不是充分條件也不是必要條件x2—4 /(2)lim =-4x-—2x+4(C)充分必要條件；四.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明lim(3x-1)=8n-3TOC\o"1-5"\h\z+x3 1(4)(3)lim =—(4)2x3 2x—? Jx Jlimx(%；x2-4-x)=-2x-+8五.求lim—x-0x13x-1;x>1六.設f(x)=I12x;x<1(3)limf(x)

xf0求(1)limf((3)limf(x)

xf0x-^1 x-^2七.設函數(shù)f(x)=<3x+1x1，求5x-3IxI(1)limf(x) (2)limf(x) (3)limf(x)(4)limf(x)(5)xf+8 xf-8 xf+0 xf-0limf(x)xf0§4無窮小與無窮大一、是非題1、零是無窮小。[ ].2、一是無窮小。x[ ]3、兩個無窮小之和仍是無窮小。TOC\o"1-5"\h\z[ ]4、兩個無窮小之積仍是無窮小。[ ]5、兩個無窮大之和仍是無窮大。[ ]6、無界變量必是無窮大量。[ ]7、無窮大量必是無界變量。[ ]8、a,0是x-x0時的無窮小，則對任意常數(shù)A、B、C、D、E,Aa2+Ba0+C02+Da+E0"也^是x->x）時的無窮小。 [ ]二.單項選擇題1、若x是無窮小，下面說法錯誤的是。（A）x2是無窮??；（B）2x是無窮??；（C）x-0.0001是無窮小；（D）-x是無窮小。2、在XT0時，下面說法中錯誤的是。,.1 1，.1_（A）xsinx是無窮小（B）%sin1是無窮?。–）—sin—是無窮大；（D）—是x xx x無窮大。3、下面命題中正確的是。（A）無窮大是一個非常大的數(shù)； （B）有限個無窮大的和仍為無窮大；（C）無界變量必為無窮大； （D）無窮大必是無界變量。三.下列函數(shù)在指定的變化趨勢下是無窮小量還是無窮大量10

(1)Inx(x-(1)Inx(x-1)及(xf0+)(2),.1c、，c、x(sin—+2) (x—0)ex(xf+s)及(xf-s)iex(x—++0)、(x—--0)及四.證明函數(shù)y=xcosx在(0,+s)內(nèi)無界，但當xf+s時，這函數(shù)不是無窮大。§5 極限的運算法則一.是非題1、R(x)=px)是有理分式，且Q(x)中0,T(x)是多項式， 那末Q(x)TOC\o"1-5"\h\zlimR(x)+T(x)]=R(x)+T(x). [ ]xfx0 0 0+2+3+...+n 1 2 n2、lim =lim——+lim——+...+lim——=0. 1 」nfs n2 nfsn2nfsn2nfsn23、limxsin=limx.limsin =0 [ ]xf0 x xf0xf0 x4、若limfx)存在，且limg(x)=0,則可斷言limf(xX0 [ ]xfx0g(x) xfx0 xfx0二.計算下列極限x2+5x2+5lim x2-2x+1lim x2-111limh—0(X+h)2—x2limx—85)limx—0limh—0(X+h)2—x2limx—85)limx—0limx—411 1lim(1+-+-+…+——)n-8 24 2n(8)limn-81+2+3+—\-(n-1)(9)lim(x—-1(10)limn-8(n-1)(n-2)(n-3)(11)limexarctanxxf+8(12)「 . ； ,1limsinx?.1+sin—(13)??lim(xx2+1-yx2一1)x—8(14)limx-+8<2x+1四.已知limx2+a-b—2，求常數(shù)a,和b。x—2x2一x一2五.已知lim(五.已知lim(x—8一ax一b）=1,求常數(shù)a,和b?！?極限存在準則，兩個重要極限一.是非題1、limy=limz—a,且當n>N時有y<x<z,那么1、n nn—8n—82、如果數(shù)列x滿足：（1）x<a（n—1,2...,a為常數(shù)；（2）x>xn+1（n=1,22、x必有12

極限TOC\o"1-5"\h\z[ ]3、limsinx=1x—8X[ ]4、lim(1+1)n=1nf8 n[ ]15?lim(1+x)x=8X—0[ ]二.單項選擇題1、下列極限中，極限值不為0的是。arctgx 2sinx+3cosx 1 x2(A)lim -(B)lim (C)limx2sin (D)lim x—8x； x―8x x―0 x x—Ox4+x22、若f(x)>9(x),且limf(x)=A,lim①(x)=B,則必有。x—a x―b(A)A>B(B)A2B(C)|A|>B (D)|A|2|B|3、lim(1+—)n+1000的值是。、nx—8(A)e(B)61000(C)e-e1000 (D)其它值TOC\o"1-5"\h\z4、limtgx-= 。x—九sinx(D)8(D)(D)8(D)不存在115、lim(xsin——一sinx)= 。x—0 xx(A)-1 (B)1 (C)0三.計算下列極限13(1)(2)lim處xf0X(3)limhf+0h<1-cos(1)(2)lim處xf0X(3)limhf+0h<1-cosax(4)「1-cos2xlim xf0xsinxlim(1-x)xxf0limx,-1+2xxf0lim((^LL)2xxfgx數(shù))… 1lim(1--)kx (k為正整(9)lim(1--)3xxfg x2(10) lim(1-3sinx)2cosxxf0lim"+x-'1-x

xf0 sin3x「一.1sin3x+x2sin—lim xxf0 (1+cosx)x14sin2xlim xf0 XTOC\o"1-5"\h\z1 1 1二.利用夾逼/隹則證明：limn( + +—F )=1nfgn2+1n2+2n2+n一 1 2四.設x=a>0,x=1(x+—)n=1,2,3,—,利用單調(diào)有界隹則證明：數(shù)1 n+12nxn列｛xn)收斂，并求其極限?！?無窮小的比較一，.是非題1、a,p,y是同一極限過程中的無窮小，且a?dp?丫,則必有a?Y。TOC\o"1-5"\h\z[ ]tgx-sinxx-x八2、;xf0時sinx~x,「.lim =lim =0xfgsin3x xf0x3[ ]3、已知limHs±=1，由此可斷言，當xf0時,cosx與(1-x)為等價無窮小。xf01-x[].當xf0時，sin3x與ex-1是同階無窮小。[ ].當xf1時，1-3；x 是x-1的高階無窮小。[ ]二.單項選擇題x-0時，1—cosx是x2的。15

（A）高階無窮小 （B）同階無窮小，但不等價 （C）等價無窮小 （D）低階無窮小2、當x-0時，（1—cosx）2是simx的。（A）高階無窮小（B）同階無窮小，但不等價 （C）等價無窮?。―）低階無窮小3、如果％-8時,一——是比-X高階的無窮小,則a,b,c應滿足ax2+bx+c x+1（A）a=0,b=1,c=1 （B）a中0,b=1,c為任意常數(shù)（C）a。0,b,c為任意常數(shù) （D）a,b,c都可以是任意常數(shù)4、x-1時與無窮小1-x等價的是M-x3)2J-"I(-x2)(D)5.下列極限中，值為M-x3)2J-"I(-x2)(D)5.下列極限中，值為1的是(A)lim-sinx (B)lim-吧x (C)lim匕sinxx—62x x—02x E2xx-

2(D)「冗sinxlim x—冗2x三.證明:2/ 八、當x—0時，3(cosx-cos2x)~x2。四.確定a…+，+ --：—1 /一的值，使％1+tanx-門+sinx~xa(x—0)4§8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點16一.是非題1、f(x)在其定義域(a,b)內(nèi)一點xo處連續(xù)的充分必要條件是f(X)在xo既左連續(xù)又右連續(xù)。TOC\o"1-5"\h\z[ ]2、f(x)在x°有定義，且limf(x)存在，則f(x)在x°連續(xù)。XfX0[ ]3、f(x)在其定義域(a,b)內(nèi)一點x0連續(xù)，則limf(x)=f(limx)x-x0 x.x0[ ]4、f(x)在(a,b)內(nèi)除x°外處處連續(xù)，點x°是f(x)的可去間斷點，則f(x)xe(a,x)或(％,b)F(x)=(?門、0 0在(a,b)內(nèi)連續(xù)嗎f(x),x=x0vxfx0[ ]5、f(x)在x=x0無定義，則f(x)在x0處不連續(xù)。[ ]二.單項選擇題1、f(x)在點x0處有定義是f(x)在點x=x0連續(xù)的。(A)必要條件而非充分條件 (B)充分條件而非必要條件(C)充分必要條件 (D)無關條件2、f(x)=f(x。)是是(x)在x=x0連續(xù)的 °(A)必要條件而非充分條件 (B)充分條件而非必要條件(C)充分必要條件 (D)無關條件一 r 1,,3、x=0是/(x)=sinx-sin的x(A)可去間斷點 (B)跳躍間斷點(C)(A)可去間斷點 (B)跳躍間斷點(C)振蕩間斷點(D)無窮間斷點174、f(X)=(x-1，L則％=1是f(X)的 2x,x>1,(A)連續(xù)點 (B)可去間斷點 (C)跳躍間斷點 (D)無窮間斷點5、f(x)二sinx八xH5、f(x)二0,x=0,…1、八xcos—,x>0,x(A)連續(xù)點 (B)可去間斷點 (C)跳躍間斷點 (D)振蕩間斷點6、設函數(shù)f(x)=(1-x)cotx，則定義f(0)為時f(x)在x=0處連續(xù)1(A)- (B)e(C)-e (D)無論怎樣定義f(0),f(x)在x=0處e也不連續(xù)三.研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出圖象。、x2；°—x~1 o、 x;-1—x~1⑴f(x)=版，小 ⑵f(x)=。 -12—x;1<x―2 1;x<—1或x>1四.判斷下列函數(shù)在指定點處的間斷點的類型，如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的 定義使其連續(xù)。x2—1(1)y= x=1,x=2x2—3x+2(2)y(2)y=x— x=k兀tgx，兀，，八一一、x=k冗+—(k=0,±1,±2 )1818Ix-1;x<1(3)J=〈 x=1(3)13-x;x>1五.討論函數(shù)f(x)=lim匕巴的連續(xù)性，若有間斷點判斷其類型。nS1+x2n§9連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性一.是非題1、f(x),g(x)在x=x0連續(xù)，則f2(x)+2f(x).g(x)-3g(x)在x=x0也連續(xù)。[]2、f(x)在x=x0連續(xù)，g(x)在x=x0不連續(xù)，則f(x)+g(x)在x°一定不連續(xù)。[]3、f(x)在x°連續(xù)，g(x)在x°不連續(xù)，則f(x).g(x)在x0一定不連續(xù)。[ ]4、f(x)=xsinx在(-8,+8)上連續(xù)。ex[ ]19

5、不連續(xù)函數(shù)平方后仍為不連續(xù)函數(shù)。[ ].求函數(shù)f(X)=X3+3X27—3的連續(xù)區(qū)間。X2+X-6[2x-1;0<X<1,,.求函數(shù)f(X)=\ 的連續(xù)區(qū)間。[3x;1<x<3四..設函數(shù)f(X)=[小；X<0應當怎樣選擇數(shù)a,使得f(x)成為(-8,+8)內(nèi)的a+x;X>0連續(xù)函數(shù)。五.求下列極限(1)limxfaC0S2x-cos2a⑶lim1-'C0sXx(1)limxfaC0S2x-cos2a⑶lim1-'C0sXx—+01-cos、/x(4)limx—0<1+tanx-11+sinxex3—120(6)lim3arctanxx—>G0六.設函數(shù)smaxyil-cosx x<0/(x)=<b x=01rli/ 、x>0—[mx-ln(x2+x)x問。"為何值時，/(x)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)§10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是非題211、f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，則f(X)在(a,b)內(nèi)一定有最大值和最小值。［ ］2、設f(x)在［a,b］上連續(xù)且無零點，則f(x)在上［a,b］恒為正或恒為負。［ ］3、f(x)在［a,b］上連續(xù)且單調(diào)，f(a)?f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)有且只有一個零點。［］4、若f(x)在閉區(qū)間［a,b］有定義