靜電場中的導體和電介質(zhì)教材習題

22-822-8第章電中導和介13.1帶電量為，半徑為的屬球A，原先不帶電、內(nèi)外半徑A分別為r和r的屬球殼放置，如圖所示，則圖中P點場BC強度如何？若用導線將A和B起來A球勢為多少設(shè)

C

B窮遠處電勢為零）

A

解：過點作一個同心球面作為斯面，盡管金屬球殼內(nèi)側(cè)會感應(yīng)出異種，但是高斯面內(nèi)只有電荷q據(jù)高斯定理可得得0q點的電場強度為E．4r0當金屬球殼內(nèi)側(cè)會感應(yīng)出異種電時，外側(cè)將出現(xiàn)同種電荷．用導線將和B連接起來后，正負電荷將中和球一個等勢體，其電勢等于球心的電勢電勢是球殼外側(cè)的電荷產(chǎn)生的，這些電荷球心的距離都是，以A球勢為Uc

4

q

r0c

．13.2軸電纜是由半徑為的圓柱和半徑為R的薄圓筒構(gòu)成的滿對12介電常數(shù)為的勻電介質(zhì)，沿軸線單位長度上導線的圓筒的帶電量分別+和r通過介質(zhì)內(nèi)長為半徑為r的封閉圓柱面的電位移通量為多少？圓柱面上任一點的場強為多少？解：介質(zhì)中的電場強度和電位移軸對稱分布的．在內(nèi)外半徑之間作一個半SR2徑為、為l圓柱形高斯面根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理，通過圓柱面的電位移通過等于該面包含的自由電荷即=qdlε設(shè)高斯面的側(cè)面為，下兩底分別為S和S．通斯面的電位移r012通量為

1

R

1

D

rS0ΦDdSDD2，dSSSS0可得電位移為D軸向外．電場強度為E==也直中心軸向外．0r0r13.3屬球殼原來帶有電量Q，內(nèi)外半徑分別為、b殼內(nèi)距球心為r處有一點電荷q求球心o的勢多？

S

2

b解：點電荷q內(nèi)殼上感應(yīng)出電，不論電荷如何分布，距離球心都

or

q

a為．外殼上就有電荷q+Q，距球為b球心的電勢是所有電荷產(chǎn)生的電勢疊加，大小為

圖

o

0

0013.4塊平行金屬板AC是距d=2mm，1A相d=4mm、C接地板正電荷C，邊緣2效應(yīng)．求（1、C板電荷為多少？（2）A板電勢為多少？

Bq圖13.4

C解：A的左面的電荷密度分別為σ所電分和q121122在、C板分別感應(yīng)異號電和，電守得程12q=q+1212

-8-8-8-89-912-7-2-7-2R100-8-8-8-89-912-7-2-7-2R100A、B間場強為E=、C間的場強為=110220設(shè)A板與B板勢差和板C的的電勢差相等，設(shè)為，=E，即11221122解聯(lián)立方程①和③得qd+d所+d12121121221B、C的電荷分別為q=-q；q=-q．B1C2板電勢差為E+d1111012012由于π10=00由于板和C的電勢為零，以U=．A13.5無限大均勻帶電平面A，帶電量為，在它的附近放一塊與A平的金屬導體板B有一定的度，如圖所示．則在板個表面

q

1

q

2

q和的感應(yīng)電荷分別為多少？

P解：由于板B原不帶電，兩邊應(yīng)出電荷后，由電荷守恒得B

Aq12雖然兩板是無限大的了算方便妨它的積S面電荷密度分別為q、q、σ1122它們產(chǎn)生的場強大小分別為E=1102200

圖13.5在B板內(nèi)取一點P，強零，其中面生的場強向右和A板生的場強向左，取向右的方向為正，可E-E即1212或者說q解量分別為q．1221213.6平行金屬板帶有等異號電，若兩板的電勢差為板間相σσ距為1.2mm略效應(yīng)一個金屬板表面的電荷密度各為多少？解：由于左板接地，所以σ．1由于兩板之間的電荷相互吸引右的電荷會全部吸引到右板左

σσ34面，所以σ．4由于兩板帶等量異號的電荷，所σ23

圖13.6兩板之間的場強為E=E30所以面電荷密度分別為10=3002313.7球形電容器，內(nèi)外球殼半分別為R和R，球殼與地面及其他物體相距很遠．將內(nèi)124R球用細導線接地面容可用公式C表示R21可看作兩個球電容器的并聯(lián)，且球半徑>>）2R證：方法一：并聯(lián)電容法．在外外面再接一個半徑大殼，外3殼也接地．內(nèi)球殼和外球殼之間一個電容器，電容為1RRC4412RR1221外球殼和大外球殼之間也是一個容器，電容為

R

1/6

2021200211R21002RR12122021200211R21002RR12121C4．1/R1/R23外球殼是一極，由于內(nèi)球殼和大球殼都接地，共用一極，所以兩個電容并聯(lián)．當R3趨于無窮大時并容為202RR1202．R2121方法二：電容定義法．假設(shè)外殼正電為q則內(nèi)殼將感應(yīng)電荷．內(nèi)球的電勢是兩個電荷產(chǎn)生的疊加的結(jié)果由內(nèi)球接其電勢為零；由于內(nèi)球是一個等勢體，其球心的電勢為qq`0，此感應(yīng)電荷為44R0201根據(jù)高斯定理可得兩球殼之間的強為E由外球殼指向內(nèi)球殼．

Rq`1q．R2R1424Rr002

表場強方向取外球殼指向內(nèi)球殼的一條電力，兩球殼之間的電勢差為REdlR2球面間的電容為

RR

12

drR

RR2

(22021

4．

R1R0

2

4

R111()2RRR40212

R1R20213.8形電容器的內(nèi)、外半徑分為R和，一半充滿相對介電常量12為均介質(zhì)，求電容C為少？r1RRRo解：球形電容器的電容為4412．RRRR12對于半球來說，由于相對面減少了一半所以電容也減少一半：RC01當電容器中充介質(zhì)時，電容為：C0r12．RRR21212(1R由于內(nèi)球是一極，外球是一極，以兩個電容器并聯(lián)：12RR213.9板面積為的平板電容析板間有兩層介質(zhì)，介電常量分別

εr．為和厚別為和d，電器電．1212解：假設(shè)在兩介質(zhì)的介面插入一導體，可知兩個電容器串聯(lián)，電容分別為和．111222

12

12總電容的倒數(shù)為總電容為C

111dCCC11．1

ddd112SS2

，圓電容器是由半徑為R的和與它同軸的內(nèi)半徑為R的圓筒構(gòu)成的，其12長為其充滿了介電常量為介．沿線位度線電荷為電荷為效應(yīng)．求：（1）極的電勢差U；（2）質(zhì)中的電場強度E、位D；2/6

Rln．00234r33333122Rln．00234r33333122（3）容C它是真空時電容多少倍？解：介質(zhì)中的電場強度和電位移軸對稱分布的．在內(nèi)外半徑之間作一個半徑為、為l的圓柱形高斯面，側(cè)面為S，兩底面分別為S和S．過面的電位移通量為012ΦDdSDDD2dSS012高斯面包圍的自由電荷為q=介的高斯定理=q，d

R

2

S1

R

1可得電位為D=心外．電場強度為=D/外一條電力線為積分路徑，電勢差為E22Rl電容為．R)ql在真空時的電容為C0，以數(shù)C/C=UR/R)

l

S2

DS0

r在為的球外還一層半徑為的勻質(zhì)相電常量為金屬12r球帶電，：0（1）質(zhì)層內(nèi)、外D的；（2）質(zhì)層內(nèi)、外表面的極化荷面密度．解介質(zhì)內(nèi)，電場強度和位移以及極化強度是球?qū)ΨQ分布的．在內(nèi)外半徑之間作一個半徑為的高斯面，通過斯面的電位移通量ΦDdDd4，高dS斯面包圍的自由電荷為q=Q據(jù)介質(zhì)中的高斯定理=q，電位為=Q方0d0向沿著徑向強度為E=Dr/4r方著徑向．由DP，P0r00r01Qr=DE=(1)．之外是真空，真空可當作介電常量ε=1的介質(zhì)處理，所0r3r以D=Q=Qr/4=000（2）介質(zhì)層內(nèi)靠近金屬球處自由電荷產(chǎn)場為=Q化q00001的場強為q為=r．于E=E+E解化電荷為1000r0q`(，10r介質(zhì)層內(nèi)表面的極化電荷面密度

`1

q`14R

21

1Q(0．4R2r在介質(zhì)層外表面，極化電荷為

2

1

，面密度為

`2

q`24R

1Q(1)0．24R22r2兩容器電容之比C=，把它們串聯(lián)后接電源上充電，它們的靜電能量之比12為多少？如果把它們并聯(lián)后接到源上充電，它們的靜電能之比又是多少？解：兩個電容器串聯(lián)后充電，每電容器帶電量是相同的，根據(jù)靜電能量公式=QC，得靜電能之比為W==1221兩個電容器并聯(lián)后充電，每個電器兩端的電壓是相同的，根據(jù)靜電能量公式W=CU得靜電能之比為==1212一板電容器板面積為S板間距離為，接在電源上維持其電壓為U．將一塊厚度為d相對電常量為的介電質(zhì)板插入電容器的一半空間內(nèi)，求電容器的靜電能為r3/6

221122222-520r-42221122222-520r-42多少？解：平行板電容器的電容為C=面積減少一半時，電容為C；一半插入010電介質(zhì)時，電容為C20r兩個電容器并聯(lián)，總電容為==12r0靜電能為=CU

2

/2=r0

2

．一板電容器板面積為板間距離為d，兩板豎直放著．若電容器兩板充電到電壓為時，電源，使電容的一半浸在相對介電常量為液中．求：r（1）容器的電容C（2）入液體后電容器的靜電；（3）板上的自由電荷面密度解如述，兩電容器并的電容為r0（2）容器充電前的電容為C充所帶電量為Q=CU．000當電容器的一半浸在介質(zhì)中后，容雖然改變了，但是電量不變，所以靜電能為W=Q

=C

0

U

2

C0

2

r（3）容器的一半浸入介質(zhì)后真空的一半的電容為C；介質(zhì)中的一半的電容為10C=兩半的所帶自由荷分別為Q和Q，20r12則Q+Q=Q①12由于=Q/U，U=QQ1122CC解聯(lián)立方程得Q10CC1C1221Q2C2U真空中一半電容器的自由電荷面度為100S(1C(121r2CU同理，介質(zhì)中一半電容器的自由荷面密度為0(112r

．．平電容器極板面積為200cm，距離為1.0mm，器內(nèi)有一塊1.0mm厚玻璃板容器與300V的源相連．求：r（1）持兩極板電壓不變抽出璃板，電容器的能量變化為多少？（2）開電源維持板上電量不，抽出玻璃板，電容器能量變化為多少？解：平行板電容器的電容為C=電為=CU00r00玻璃板抽出之后的電容為C=．0（1）持電壓不變抽出玻璃板靜電能為W=CU電能器能量變化為

2

．=-W=00r0（2）電后所帶電量為=CU，0保持電量不變抽出玻璃板，靜電為=Q

U電能器能量變化為W0

2

SU(1)0r

2

10設(shè)形電容器的內(nèi)圓筒半徑分別為試電容器能量的一半儲存在半徑R圓柱體內(nèi)．解：設(shè)圓柱形電容器電荷線密度E，元為00dV=2元dW=wdV半徑a到R的體儲存的能量為4/6

2222222222WwdVV

V

02

E

2

dV

Ra

2lln4a00

．當R=b時量為

1

4

2

lblna0

；當

時，能量為W

2

4

2

lb2lblnlna8a00

，所以