無窮小與無窮大課件

無窮小主講教師：馮靜一、無窮小量1.無窮小量的定義定義1極限為零的變量稱為無窮小亮，簡(jiǎn)稱為無窮小，常用符號(hào)等表示例1當(dāng)時(shí)，，，，都趨近于零，因此當(dāng)時(shí)，這些變量都是無窮小量。例2當(dāng)時(shí)，都趨近于零，因此當(dāng)時(shí)，這些變量都是無窮小量。注意關(guān)于無窮小量，應(yīng)當(dāng)注意以下三點(diǎn)：〔1〕無窮小量是以0為極限的變量。〔2〕無窮小量不是一個(gè)很小的數(shù)，因此對(duì)于任意的非零常數(shù)C,不管他的絕對(duì)值多么小，都不是無窮小量，常數(shù)0是唯一可以作為無窮小量的常數(shù)?！?〕某個(gè)變量是否是無窮小量與自變量的變化過程有關(guān)。例如，，所以當(dāng)時(shí)，為無窮小，又所以當(dāng)時(shí)，不是無窮小。因此不能籠統(tǒng)地說某個(gè)變量是無窮小量，，必須同時(shí)指明自變量的變化過程。2.無窮小的性質(zhì)無窮小量有以下重要性質(zhì)：性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量。性質(zhì)2有限個(gè)無窮小量的乘積仍為無窮小量。性質(zhì)3有界量與無窮小量的乘積為無窮小量。顯然，常數(shù)是有界的，因此常數(shù)與無窮小量的積仍是無窮小量。

注意

3.極限與無窮小之間的關(guān)系設(shè)，即時(shí)，函數(shù)值無限接近于常數(shù)那么無限接近于常數(shù)零，即時(shí)，以零為極限。那么時(shí)，為無窮小，假設(shè)記，那么有，于是有注：定理1中自變量的變化過程換成其他任何一種情形

后仍然成立。定理1：

的充要條件是，其中是時(shí)的無窮小。

4.無窮小的比較當(dāng)時(shí)，都是無窮小量，但是他們趨近于極限“〞的快慢是不一樣的，如圖1-4所示可以看出，的速度比的速度略慢一些，二而的速度比快得多。我們通過比較兩個(gè)無窮小涼的“階〞來確定他們趨近于零的快慢。定義2設(shè)，是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小量，且。

〔1〕假設(shè)，那么稱是的高階無窮小，記作。此時(shí)，亦稱是是的低階無窮小?！?〕，那么稱與是同階無窮小，記作。〔3〕假設(shè)，那么稱與是同階無窮小，記作。顯然，同階無窮小具有對(duì)稱性，即，那么；等價(jià)無窮小具有自反性，即，。例

，所以當(dāng)時(shí)，是的高價(jià)無窮?。?，所以當(dāng)時(shí)，是的同階無窮小；

，所以當(dāng)時(shí)，與時(shí)等價(jià)無窮小。當(dāng)時(shí)，有以下常見等價(jià)無窮小此定理說明，在乘除運(yùn)算的極限中，用非零的等價(jià)無窮小替換不改變其極限值，因此求極限時(shí)，在乘除運(yùn)算中可以將無窮小用其形式簡(jiǎn)