高中數學第二章函數教案20

課題：函數應用舉例3教課目標：1．使學生適應各學科的橫向聯系.2.可以成立一些物理問題的數學模型.3.培育學生剖析問題、解決問題的能力.教課要點：數學建模的方法教課難點：怎樣把實質問題抽象為數學識題.講課種類：新講課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教課過程：一、復習引入：上一節(jié)課，我們主要學習了相關增加率的數學模型，這類模型在相關產量、產值、糧食、人口等等增加問題常被用到.這一節(jié)，我們學習相關物理問題的數學模型二、新授內容：例1（課本第86頁例2）設海拔xm處的大氣壓強是yPa，y與x之間的函數關系式是ycekx，此中c，k為常量，已知某地某天在海平面的大氣壓為1.01105Pa，1000m高空的大氣壓為0.90105Pa，求：600m高空的大氣壓強（結果保存3個有效數字）解：將x=0,y=1.01105；x=1000,y=0.90105，代入ycekx1.01105cek0c1.01105(1)得：105cek10000.90105ce1000k(2)0.90將(1)代入(2)得：計算得：k1.15104∴y1.01105e1.15104x將x=600代入,得：y1.01105e1.15104600計算得：y1.01105e1.15104600＝0.943×105(Pa)答：在600m高空的大氣壓約為0.943×105Pa.說明：（1）本題利用數學模型解決物理問題；（2）需由已知條件先確立函數式；3）本題實質為已知自變量的值，求對應的函數值的數學識題；（4）本題要求學生能借助計算器進行比較復雜的運算.例2在丈量某物理量的過程中，因儀器和察看的偏差，使得

n次丈量分別獲得a1,

a2,,

an共

n個數據，我們規(guī)定所丈量的物理量的“最正確近似值”

a是這樣一個量：與其余近似值比較

a與各數據差的平方和最小

.挨次規(guī)定，從a1,

a2,,

an推出的

a=________.(1994

年全國高考試題

)剖析：本題應清除物理要素的擾亂，抓準題中的數目關系，將問題轉變?yōu)楹瘮登笞钪祮栴}.解：由題意可知，所求a應使y=(a-a1)2+(a-a2)2++(a-an)2最小因為y=na2-2(a1+a2++an)a+(a12+a22++an2)若把a看作自變量，則y是對于a的二次函數，于是問題轉變?yōu)榍蠖魏瘮档淖钚≈?因為n＞0,二次函數f(a)圖象張口方向向上.當a=1(a1+a2++an)，y有最小值.n因此a=1(a1+a2++an)即為所求.n說明：本題在高考取是擁有導向意義的試題，它以物理知識和簡單數學知識為基礎，并以物理學科中的統(tǒng)計問題為背景，給出一個新的定義，要修業(yè)生讀懂題目，抽象此中的數目關系，將文字語言轉變?yōu)榉栒Z言，即y=(a-a1)2+(a-a2)2++(a-an)2，而后運用函數的思想、方法去解決問題，解題要點是將函數式化成以a為自變量的二次函數形式，這是函數思想在解決實質問題中的應用.例3某種放射性元素的原子數N隨時間t的變化規(guī)律是N=N0et,此中N0，λ是正的常數.（1）說明函數是增函數仍是減函數；（2）把t表示成原子數N的函數；（3）求當N=N0時，t的值.2解：（1）因為N0＞0,λ＞0，函數N=N0et是屬于指數函數y=ex種類的，因此它是減函數，即原子數N的值隨時間t的增大而減少（2）將N=N0et寫成et=NN0依據對數的定義有-λt=lnNN0因此t=-1(lnN-lnN0)=1(lnN0-lnN)(3)把N=N0代入t=11(lnN0N0)2(lnN0-lnN)得t=-ln112(lnN0-lnN0+ln2)==ln2.三、練習：1．如圖，已知⊙O的半徑為R，由直徑AB的端點B作圓的切線，從圓周上任一點P引該切線的垂線，垂足為M，連AP設AP=x⑴寫出AP+2PM對于x的函數關系式⑵求此函數的最值解：⑴過P作PDAB于D，連PB設AD=a則x22Ra∴f(x)AP2PMx2x4R(0x2R)R⑵f(x)1(xR)217RR24PDR時f(x)max17R當x24ADO當x2R時f(x)min2R2．距離船只A的正北方向100海里處有一船只B，以每小時20海里的速度，沿北偏西60角的方向行駛，A船只以每小時15海里的速度向正北方向行駛，兩船同時出發(fā)，問幾小時后兩船相距近來？解：設t小時后A行駛到點C，B行駛到點D，則BD=20BC=100-15t過D作DEBC于EDE=BDsin60=103tBE=BDcos60=10tEC=BC+BE=100-5tDE2CE22221000t10000CD=103t1005t=325t∴t=20時CD最小，最小值為2003，即兩船行駛20小時相距近來

CBA1313133．一根平均的輕質彈簧，已知在600N的拉力范圍內，其長度與所受拉力成一次函數關系，現測適當它在100N的拉力作用下，長度為0.55m,在300N拉力作用下長度為0.65，那么彈簧在不受拉力作用時，其自然長度是多少？解：設拉力是xN(0≤x≤600)時，彈簧的長度為ym設：y=kx+b0.55100kbk0.0005由題設：300kbb0.500.65∴所求函數關系是：y=0.0005x+0.50∴當x=0時，y=0.50,即不受拉力作用時，彈簧自然長度為0.50m四、小結：經過本節(jié)學習，進一步熟習數學建模的方法，能運用數學模型解決必定的對于物理的實質問題，提升解決數學應用題的應變能力.五、課后作業(yè)：要使火車安全行駛，按規(guī)定，鐵道轉彎處的圓弧半徑不同意小于600m假如某段鐵路兩頭相距156m，弧所對的圓心角小于180o,試確立圓弧弓形的高所允許的取值范圍剖析：以弓形的高x為自變量，半徑R為孫函數，求出R對于x的函數關系式解：如圖，設圓弧的半徑OA=OB=Rm,圓弧弓形的高CD=xm,在RtBOD中，DB=78，