新版初中數(shù)學(xué)2023年秋季八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)教案(35份)-人教版25

15.2.2分式的加減第1課時(shí)分式的加減運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】1.經(jīng)歷探索分式加減運(yùn)算法那么的過(guò)程，理解其算法、算理，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單分式的加減運(yùn)算，具有一定的代數(shù)化歸能力.2.學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷總結(jié)運(yùn)算方法和技巧，提高運(yùn)算能力，增強(qiáng)“用數(shù)學(xué)〞的意識(shí).【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：分式的加減運(yùn)算.難點(diǎn)：異分母的分式加減法運(yùn)算.┃教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)┃教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課問(wèn)題1：分式是如何進(jìn)行乘除的？它們與分?jǐn)?shù)乘除類似嗎？eq\f(b,a)×eq\f(d,c)＝eq\f(bd,ac)，eq\f(b,a)÷eq\f(d,c)＝eq\f(b,a)·eq\f(c,d)＝eq\f(bc,ad)，它們與分?jǐn)?shù)的乘除類似.問(wèn)題2：從完善運(yùn)算的角度出發(fā)，分式的運(yùn)算還需要研究什么嗎？數(shù)的運(yùn)算有加、減、乘、除、乘方，估計(jì)分式的運(yùn)算也有這類運(yùn)算，所以估計(jì)還需要研究分式的加減運(yùn)算.問(wèn)題3：從甲地到乙地有兩條路，每條路都是3km，其中第一條是平路，第二條有1km的上坡路，2km的下坡路，小麗在上坡路上的騎車速度為vkm/h，在平路上的騎車速度為2vkm/h，在下坡路上的騎車速度為3vkm/h，那么(1)當(dāng)走第二條路時(shí)，她從甲地到乙地需要多長(zhǎng)時(shí)間？(2)她走哪條路花費(fèi)時(shí)間少？少用多長(zhǎng)時(shí)間？師：當(dāng)小麗從甲地到乙地走第二條路時(shí)需要多少時(shí)間？用式子表示為？生：.師：小麗走哪條路花費(fèi)時(shí)間少？怎么比擬？生：作差比擬，用式子表示為師：以上兩個(gè)式子你會(huì)計(jì)算嗎？涉及什么運(yùn)算？生：分式的加法和減法，現(xiàn)在還不會(huì).師順勢(shì)點(diǎn)題：那我們現(xiàn)在就來(lái)一起學(xué)習(xí)分式的加減.通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)引，從知識(shí)的開(kāi)展所需和實(shí)際問(wèn)題的解決所求，營(yíng)造出探索未知領(lǐng)域的氣氛.以回憶分式的乘除法那么為起點(diǎn)，類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，通過(guò)一個(gè)貼近學(xué)生生活的實(shí)際問(wèn)題打破認(rèn)知平衡，不管是情景問(wèn)題的解決還是分式運(yùn)算的完善，都能讓學(xué)生順其自然地感受到分式的加減運(yùn)算“勢(shì)在必學(xué)〞.二、師生互動(dòng)，探究新知活動(dòng)1：找朋友(把運(yùn)算結(jié)果相等的找出來(lái))：①eq\f(4,5)－eq\f(1,5)；②eq\f(2,15)＋eq\f(8,15)；③eq\f(4,3)＋eq\f(2,3)；④eq\f(2,3)；⑤2；⑥eq\f(3,5).在找朋友的過(guò)程中，復(fù)習(xí)了同分母的分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算及算法：同分母分?jǐn)?shù)相加減時(shí)，分母不變，分子相加減.用符號(hào)表示為eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c)(☆).活動(dòng)2：繼續(xù)找朋友(剛剛是在數(shù)中找朋友，換成式呢)：①eq\f(4,m)；②eq\f(3,a)－eq\f(1,a)；③eq\f(7,m)－eq\f(3,m)；④eq\f(3,n－1)－eq\f(2,n－1)；⑤eq\f(1,n－1)；⑥eq\f(2,a).有了活動(dòng)1的引導(dǎo)，估計(jì)學(xué)生不難得出，朋友分別是：①與③，②與⑥，④與⑤.可通過(guò)追問(wèn)：“你們是怎樣得到的？〞引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)與式的內(nèi)在聯(lián)系.只要將式☆中的a，b，c由數(shù)轉(zhuǎn)換成整式即可，至此得到同分母分式的加減法法那么：分母不變，分子相加減.式子與數(shù)一樣.活動(dòng)3：計(jì)算：(1)(教材上的例6(1))eq\f(5x＋3y,x2－y2)－eq\f(2x,x2－y2)；(2)eq\f(y,x－y)＋eq\f(x,y－x)；(3)eq\f(2xy2＋1,〔x－y〕2)－eq\f(1＋2x2y,〔y－x〕2).解：(1)eq\f(5x＋3y,x2－y2)－eq\f(2x,x2－y2)＝eq\f(5x＋3y－2x,x2－y2)＝eq\f(3x＋3y,x2－y2)＝eq\f(3〔x＋y〕,〔x＋y〕〔x－y〕)＝eq\f(3,x－y).(2)eq\f(y,x－y)＋eq\f(x,y－x)＝eq\f(y,x－y)＋eq\f(x,－〔x－y〕)＝eq\f(y,x－y)－eq\f(x,x－y)＝eq\f(y－x,x－y)＝eq\f(－〔x－y〕,x－y)＝－1.(3)eq\f(2xy2＋1,〔x－y〕2)－eq\f(1＋2x2y,〔y－x〕2)＝eq\f(2xy2＋1,〔x－y〕2)－eq\f(1＋2x2y,〔x－y〕2)＝eq\f(2xy2＋1－〔1＋2x2y〕,〔x－y〕2)＝eq\f(2xy2－2x2y,〔x－y〕2)＝eq\f(－2xy〔x－y〕,〔x－y〕2)＝－eq\f(2xy,x－y).(1)是同分母分式的加減法，學(xué)生可以獨(dú)立完成，但要注意最后的化簡(jiǎn)；(2)(3)實(shí)際上是(1)的變式，教學(xué)時(shí)注意引導(dǎo)：①它們能直接運(yùn)算嗎？不能，因?yàn)樗鼈兊姆帜覆幌嗤?②怎樣處理后能進(jìn)行運(yùn)算？化為同分母，也就是通分.完成后，提出問(wèn)題：從上述問(wèn)題的解決過(guò)程中你覺(jué)得分式加減要注意什么？①要注意把不同分母化為同分母；②相反因式的奇偶次數(shù)要分清，奇次冪仍為相反因式，偶次冪變成相同的因式；③要注意符號(hào)的變化；④加減步驟完成后要看分式是否已化為最簡(jiǎn).活動(dòng)4：有了前面的經(jīng)驗(yàn)，你能計(jì)算eq\f(y,x－y)＋eq\f(x,x＋y)嗎？學(xué)生試做，完成后引導(dǎo)學(xué)生歸納異分母分式的加減法那么：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.用式子表示為eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad,bd)±eq\f(bc,bd)＝eq\f(ad±bc,bd).設(shè)置這兩個(gè)找朋友的活動(dòng)的目的是為了促成同分母分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算的正遷移，以實(shí)現(xiàn)數(shù)式轉(zhuǎn)換.活動(dòng)3中，由于異分母運(yùn)算是難點(diǎn)，(2)(3)兩小題在做好引導(dǎo)的前提下要敢于放手，學(xué)生在試做的過(guò)程中，估計(jì)會(huì)暴露問(wèn)題，此時(shí)可通過(guò)學(xué)生的辨析自行明晰，便于分散突破本節(jié)的難點(diǎn).過(guò)程中要注意反問(wèn)的引導(dǎo)，完成后要發(fā)揮反思?xì)w納的作用，(2)題就是一個(gè)異分母的特例，通過(guò)此題的解決，讓學(xué)生從特殊到一般自然地意識(shí)到異分母分式加減時(shí)必須先化為同分母，為比擬復(fù)雜的異分母的出場(chǎng)掃清了障礙.活動(dòng)4把真正的異分母提出，可通過(guò)學(xué)生嘗試后交流獲得異分母加減法那么.三、運(yùn)用新知，解決問(wèn)題1.計(jì)算：(1)eq\f(1,2p＋3q)＋eq\f(1,2p－3q)；(2)eq\f(3,x＋2)＋eq\f(1,2－x)＋eq\f(2x,x2－4)；(3)eq\f(2x2,x－1)－x－1.第(1)小題學(xué)生解容許該沒(méi)有問(wèn)題；第(2)小題有一定的綜合性，可把分母的各多項(xiàng)式按x的降冪排列，再將能分解因式的實(shí)施分解，找最簡(jiǎn)公分母，轉(zhuǎn)化為同分母的分式加減法；(3)難度不大，但比擬特殊，是一個(gè)整式與一個(gè)分式相加減，對(duì)初學(xué)的學(xué)生而言可能產(chǎn)生阻力，應(yīng)把這個(gè)整式看作一個(gè)分母是1的式子來(lái)進(jìn)行通分，注意－x－1＝－(x＋1)，負(fù)號(hào)問(wèn)題不容無(wú)視.2.教材第141頁(yè)練習(xí)2.遞進(jìn)式的三個(gè)計(jì)算，使學(xué)生的思維不斷面對(duì)新的挑戰(zhàn)，鍛煉學(xué)生的計(jì)算技能與轉(zhuǎn)化意識(shí).要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反思得到異分母的分式加減法的一般步驟：(1)通分，將異分母的分式化成同分母的分式；(2)寫(xiě)成“分母不變，分子相加減〞的形式；(3)分子去括號(hào)，合并同類項(xiàng)；(4)分子、分母約分，將結(jié)果化成分式的最簡(jiǎn)形式或整式的形式.四、課堂小結(jié)，提煉觀點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？在知識(shí)應(yīng)用過(guò)程中需要注意什么？你有什么收獲？五、布置作業(yè)，穩(wěn)固提升必做題：教材第146頁(yè)、147頁(yè)第4，5，12題選做題：教材第147頁(yè)第13，15題【教學(xué)反思】本設(shè)計(jì)的特點(diǎn)突出表現(xiàn)在：(1)從學(xué)生的最近開(kāi)展區(qū)組織教學(xué)，類比分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算，促成正向遷移，同化新知，穩(wěn)固新知.培根說(shuō)過(guò)：類比聯(lián)想，支配創(chuàng)造.可見(jiàn)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)類比將受益終生.(2)把情境創(chuàng)設(shè)貫穿于課堂的始終，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反思、學(xué)會(huì)歸納，有助于內(nèi)化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的策略方法，提高認(rèn)知水平.第2課時(shí)分式的混合運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】1.明確分式混合運(yùn)算的順序，熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.2.通過(guò)嘗試性練習(xí)，經(jīng)歷運(yùn)算順序的探索過(guò)程，學(xué)會(huì)類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算并遷移到分式運(yùn)算中去.能利用事物之間的類比性分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.3.通過(guò)學(xué)習(xí)混合運(yùn)算以及在生活中的應(yīng)用，知道任何事物之間是相互聯(lián)系的，理論來(lái)源于實(shí)踐，效勞于實(shí)踐.【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

┃教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)┃教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算以下題目：(1)eq\f(a2,a－b)－eq\f(b2,a－b)；(2)eq\f(2a,a2－4)＋eq\f(1,2－a)；(3)；(4)eq\f(a2－4,8a2b)·eq\f(12ab,3a－6).解：(1)eq\f(a2,a－b)－eq\f(b2,a－b)＝eq\f(a2－b2,a－b)＝eq\f(〔a＋b〕〔a－b〕,a－b)＝a＋B.(2)eq\f(2a,a2－4)＋eq\f(1,2－a)＝eq\f(2a,a2－4)－eq\f(1,a－2)＝eq\f(2a,〔a－2〕〔a＋2〕)－eq\f(a＋2,〔a－2〕〔a＋2〕)＝eq\f(2a－〔a＋2〕,〔a－2〕〔a＋2〕)＝eq\f(a－2,〔a－2〕〔a＋2〕)＝eq\f(1,a＋2).(3)＝eq\f(a6,9x2y4)÷＝－eq\f(8a3x4,9y7).(4)eq\f(a2－4,8a2b)·eq\f(12ab,3a－6)＝eq\f(〔a＋2〕〔a－2〕,8a2b)·eq\f(12ab,3〔a－2〕)＝eq\f(a＋2,2a).首先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、思考，然后讓學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，完成后小組交流.二、師生互動(dòng)，探究新知問(wèn)題1：以上四個(gè)題目分別涉及分式的什么運(yùn)算？(1)是同分母分式的減法運(yùn)算；(2)是異分母分式的加法運(yùn)算；(3)是分式的除法與乘方的混合運(yùn)算；(4)是分式的乘法運(yùn)算.催促學(xué)生養(yǎng)成解題前仔細(xì)審題的習(xí)慣，為方法策略的選擇提供判斷的依據(jù).問(wèn)題2：它們涉及的運(yùn)算法那么我們熟悉嗎？說(shuō)說(shuō)看！并用公式表示.都是我們已經(jīng)熟悉的內(nèi)容，它們涉及的運(yùn)算法那么有：①分式的乘法法那么：分式乘以分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(a·c,b·d).②分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，再和被除式相乘.eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(a·d,b·c).③分式的乘方法那么：分式的乘方，把分子分母分別乘方＝eq\f(an,bn)(n為正整數(shù)).④同分母分式的加減法法那么：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).⑤異分母分式的加減法法那么：異分母的分式相加減，先通分，變成同分母分式，再加減.eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad,bd)±eq\f(bc,bd)＝eq\f(ad±bc,bd).問(wèn)題3：你會(huì)計(jì)算·eq\f(1,a－b)－eq\f(a,b)÷eq\f(b,4)嗎？學(xué)生嘗試練習(xí)，老師巡回指導(dǎo)，捕捉有關(guān)信息，生成教學(xué)資源，類比仍然發(fā)揮作用，在交流中達(dá)成共識(shí)，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：在進(jìn)行分式混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，在沒(méi)有括號(hào)的情況下，按從左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加減.有括號(hào)要按先小括號(hào)，再中括號(hào)，最后大括號(hào)的順序.混合運(yùn)算后的結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意最后的結(jié)果要是分式的最簡(jiǎn)形式或整式.拓展延伸拓展一：用兩種方法計(jì)算：·eq\f(x2－4,x).分析：方法一：按運(yùn)算順序，先計(jì)算括號(hào)里的算式；方法二：利用乘法分配律.總結(jié)：解題不要拘泥于根本思路，要善于捕捉有用信息，根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適宜的方法靈巧處理，可能會(huì)收到事半功倍的效果.拓展二：假設(shè)eq\f(x－3,〔x＋1〕〔x－1〕)＝eq\f(A,x＋1)＋eq\f(B,x－1)恒成立，求A，B的值.分析：此題把一個(gè)真分式化成兩個(gè)局部分式之和的形式，這里A和B都是待定系數(shù)，待定系數(shù)可根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)來(lái)求解.通過(guò)學(xué)生的獨(dú)立練習(xí)，把相關(guān)的法那么進(jìn)行盤(pán)點(diǎn)，為新知的探索奠定堅(jiān)實(shí)的根底，而問(wèn)題3亦即教材的例7，為了穩(wěn)固新成果，增強(qiáng)訓(xùn)練的力度，使學(xué)生熟練掌握分式的混合運(yùn)算，在教材練習(xí)的前提下，補(bǔ)充一個(gè)帶括號(hào)的化簡(jiǎn)求值題.具體教學(xué)要注意細(xì)節(jié)的指導(dǎo).通過(guò)題目喚起舊知，避開(kāi)了泛泛回憶根本知識(shí)的弊端，讓學(xué)生在具體解題應(yīng)用中加深對(duì)舊知的認(rèn)識(shí)，然后把新知嵌于嘗試練習(xí)問(wèn)題3中，在生生、師生的立體交流中推出分式的四那么混合運(yùn)算法那么及運(yùn)算的順序.設(shè)置兩個(gè)拓展題，其一是期望通過(guò)兩個(gè)方法在穩(wěn)固分式混合運(yùn)算的同時(shí)，催促學(xué)生在比照中開(kāi)闊思路，進(jìn)而找到適宜的方法，以提高速度與準(zhǔn)確率；其二是表達(dá)分式混合運(yùn)算的應(yīng)用并綜合了方程思想，對(duì)學(xué)生而言，具有一定的挑戰(zhàn)性.三、課堂小結(jié)，提煉觀點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？在知識(shí)應(yīng)用過(guò)程中需要注意什么？你有什么收獲？四、布置作業(yè)，穩(wěn)固提升必做題：教材第146頁(yè)第6題選做題：教材第147頁(yè)第16題2.：x＋y＋z＝3y＝2z，求eq