2010高三數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)必備教案三角恒等變形應(yīng)用

三角恒等變形及應(yīng)用一．【課標(biāo)要求】1．經(jīng)歷用向量的數(shù)目積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)向量方法的作用；2．能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，認(rèn)識(shí)它們的內(nèi)在聯(lián)系；3．能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包含指引導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。二．【命題走向】從近幾年的高考觀察的方素來看，這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的時(shí)機(jī)許多，有時(shí)也以填空題的形式出現(xiàn)，它們常常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向量聯(lián)合觀察，主要題型有三角函數(shù)求值，經(jīng)過三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)本講內(nèi)容是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)之一，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等式的證明是三角變換的基本問題。歷年高考取，在觀察三角公式的掌握和運(yùn)用的同時(shí)，還著重觀察思想的靈巧性和發(fā)散性，以及察看能力、運(yùn)算及察看能力、運(yùn)算推理能力和綜合剖析能力三．【重點(diǎn)精講】1．兩角和與差的三角函數(shù)sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tan()tantan。1tantan2．二倍角公式sin22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；tan22tan。1tan23．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)常用方法：①直策應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化簡(jiǎn)要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)（1）降冪公式sincos1sin2；sin21cos2；cos21cos2。222（2）協(xié)助角公式asinxbcosxa2b2sinx，此中sinb，a。a2b2cosa2b24．三角函數(shù)的求值種類有三類1）給角求值：一般所給出的角都是非特別角，要察看所給角與特別角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特別角，轉(zhuǎn)變成求特別角的三角函數(shù)值問題；2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求此外一些角的三角函數(shù)值，解題的重點(diǎn)在于“變角”，如(),2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的議論；3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)變成“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值聯(lián)合所求角的范圍及函數(shù)的單一性求得角5．三角等式的證明1）三角恒等式的證題思路是依據(jù)等式兩頭的特點(diǎn)，經(jīng)過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩頭化“異”為“同”；2）三角條件等式的證題思路是經(jīng)過察看，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采納代入法、消參法或剖析法進(jìn)行證明。四．【典例分析】題型1：兩角和與差的三角函數(shù)例1．已知sinsin1，coscos0，求cos（）的值。剖析：因?yàn)椋ǎ┘瓤僧?dāng)作是與的和，也能夠看作是的倍角，因此可得2到下邊的兩種解法。解法一：由已知sin+sin=1①，cos+cos=0②，①2＋②2得2+2cos（）1；∴cos（）1。2①2－②2得cos2+cos2+2cos（）=－1，即2cos（）〔cos（）1〕=－1?！郼os1。解法二：由①得2sincos1③22由②得2coscos20④2④÷③得cot0，2評(píng)論：本題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易出錯(cuò)誤是利用方程組解sin、cos、sin、cos，但未知數(shù)有四個(gè)，明顯遠(yuǎn)景其實(shí)不樂觀，其錯(cuò)誤的原由在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題重點(diǎn)在于化和為積促轉(zhuǎn)變，“整體對(duì)應(yīng)”巧應(yīng)用。例2．已知tan，tan是方程x25x60的兩個(gè)實(shí)根根，求2sin23sincoscos2的值剖析：由韋達(dá)定理可獲得tantan及tantan的值，從而能夠求出tan的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示即可知其值解法一：由韋達(dá)定理得tantan5，tantan6，所以tantantan51.1tantan16解法二：由韋達(dá)定理得tantan5，tantan6，所以tantantan51.1tantan16于是有k3kZ，4原式2sin2k33sin2k3cos2k31313。422422評(píng)論：（1）本例解法二比解法一要簡(jiǎn)捷，好的解法根源于嫻熟地掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而找尋解答本題的知識(shí)“近來發(fā)展區(qū)”。（2）運(yùn)用兩角和與差角三角函數(shù)公式的重點(diǎn)是熟記公式，我們不單要記著公式，更重要的是抓住公式的特點(diǎn)，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)對(duì)提升記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，并且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有益于在解題時(shí)察看剖析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所擁有的相像性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點(diǎn)。（3）對(duì)公式的逆用公式，變形式也要熟習(xí)，如題型2：二倍角公式例3．化簡(jiǎn)以下各式：（1）11113，，2222cos222cos2sin2（2）。2cotcos244剖析：（1）若注意到化簡(jiǎn)式是開平方根和2是的二倍，是的二倍，以及其范圍2不難找到解題的打破口；（2）因?yàn)榉肿邮且粋€(gè)平方差，分母中的角，若442注意到這兩大特點(diǎn)，不難獲得解題的切入點(diǎn)分析：（1）因?yàn)?2，所以11cos2coscos，222又因32，所以11cossinsin，42222所以，原式=sin。2（2）原式=cos2cos22tancos242sin4cos44=cos2cos21。cos2sin22評(píng)論：（1）在二倍角公式中，兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，不單限于2是的二倍，要熟習(xí)多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，同時(shí)還要注意

2，4

，4

三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，cos2sin22sincos244是常用的三角變換。（2）化簡(jiǎn)題必定要找準(zhǔn)解題的打破口或切入點(diǎn)，此中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常cossin2，21cos221cos2用的化簡(jiǎn)技巧。（3）公式變形2sincos2sin2。，例4．若cos317x7sin2x2cos2x的值。x，,求1tanx45124剖析：注意xx，及2x2x的兩變換，就有以下的兩種解法。4442解法一：由17x7，得5x2，12434解法二：原式2sinxcosx1tanxtanx，1tanxsin2x4cos3coscosxsinsinx34x4評(píng)論：本題若將5的左側(cè)睜開成45再求cosx，sinx4x作為整體2·4x22x，的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換運(yùn)用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡(jiǎn)所以在解答有條件限制的求值問題時(shí)，要擅長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，如2，2，22，22，，，，等。題型3：協(xié)助角公式asinbcos8b例5．已知正實(shí)數(shù)a,b知足55tan，求的值。15aacosbsin55剖析：從方程的看法考慮，假如給等式左側(cè)的分子、分母同時(shí)除以a，則已知等式可化為關(guān)于b的方程，從而可求出由b，若注意到等式左側(cè)的分子、分母都擁有aaasinbcos的結(jié)構(gòu)，可考慮引入?yún)f(xié)助角求解sinbcossin8解法一：由題設(shè)得5a515cos5bsincos8a515解法二：因?yàn)閍sinbcos5a2b2sin，55tanb8a解法三：原式可變形為：5，btan115tan5a評(píng)論：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二經(jīng)過模式聯(lián)想，引入?yún)f(xié)助角，技巧性較強(qiáng)，但協(xié)助角公式asinbcosa2b2sin，此中tanba，或asinbcosa2b2cos，此中tanab在歷年高考取使用頻次是相當(dāng)高的，應(yīng)加以關(guān)注；解法三利用了換元法，但實(shí)質(zhì)上是綜合認(rèn)識(shí)法一和解法二的解法長(zhǎng)處，所以解法三最正確。例6（．2009江蘇卷）函數(shù)yAsin(x)（A,,為常數(shù)，A0,0）在閉區(qū)間[,0]上的圖象如下圖，則=.答案3分析觀察三角函數(shù)的周期知識(shí)323，T，T，所以23評(píng)論：本題主要觀察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，觀察利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技術(shù)以及運(yùn)算能力。（2009

北京文）（本小題共

12分）已知函數(shù)f(x)

2sin(

x)cosx.（Ⅰ）求

f(x)

的最小正周期；（Ⅱ）求

f(x)

在區(qū)間

,

上的最大值和最小值

.62分析本題主要觀察特別角三角函數(shù)值、引誘公式、二倍角的正弦、三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，主要觀察基本運(yùn)算能力．解（Ⅰ）∵

f

x

2sin

xcosx

2sinxcosx

sin2x，∴函數(shù)

f(x)

的最小正周期為

.（Ⅱ）由x2x3sin2x1，2，∴632∴f(x)在區(qū)間,上的最大值為1，最小值為36.22評(píng)論：本題主要觀察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技術(shù)及運(yùn)算能力。題型4：三角函數(shù)式化簡(jiǎn)例7．求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值分析：原式＝1（1－cos40°）＋1（1＋cos100°）＋1（sin70°－sin30°）2221＋1（cos100°－cos40°）＋1sin70°－12243－sin70°sin30°＋1sin70°42＝3－1sin70°＋1sin70°＝3。4224評(píng)論：本題觀察三角恒等式和運(yùn)算能力。12sin(2x)例8．已知函數(shù)f(x)cosx4.（Ⅰ）求f(x)的定義域；（Ⅱ）設(shè)的第四象限的角，且tan4)的值，求f(3分析：（Ⅰ）由cosx0得xk(kZ)，2故f(x)在定義域?yàn)閤xk,kZ,24（Ⅱ）因?yàn)閠an，且是第四象限的角,3所以sin4,cos3,5512sin(2)故f(x)cos414。5題型5：三角函數(shù)求值例9．設(shè)函數(shù)f(x)=3cos2cos+sinrcosx+a(此中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右邊的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x。6（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）假如f(x)在區(qū)間3,5上的最小值為3，求a的值。6分析：（I）f(x)3cos2x1sin2x3sin(2x)3a22232依題意得21632．2（II）由（I）知，f(x)sin(x3。3)2又當(dāng)x[3,5]時(shí)，x3[0,7]，故1sin(x)1，從而f(x)在區(qū)間6623π5π上的最小值為313313，22a，故a.62例10．求函數(shù)y＝2cos(x)cos(x)＋3sin2x的值域和最小正周期44分析：y=cos(x+)cos(x－)+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+)，446∴函數(shù)y=cos(x+)cos(x－)+3sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。44題型6：三角函數(shù)綜合問題例11．（2009江蘇卷）設(shè)向量a(4cos,sin),b(sin,4cos),c(cos,4sin)（1）若a與b2c垂直，求tan()的值；（2）求|bc|的最大值;（3）若tantan16，求證：a∥b.【分析】本小題主要觀察向量的基本看法，同時(shí)觀察同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，觀察運(yùn)算和證明得基本能力。滿分14分評(píng)論：本題主要觀察以下知識(shí)點(diǎn)：1、向量垂直轉(zhuǎn)變成數(shù)目積為0；2，特別角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的坐標(biāo)表示求模，難度中等，計(jì)算量不大。例12．設(shè)0<θ<，曲線x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ－y2sinθ=1有4個(gè)不一樣的交點(diǎn)。21）求θ的取值范圍；2）證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓，并求圓半徑的取值范圍x2siny2cos1x2sincos分析：（1）解方程組，得；x2cosy2sin1y2cossinsincos0故兩條已知曲線有四個(gè)不一樣的交點(diǎn)的充要條件為sin，（0<θ<）cos020<θ<。4（2）設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（xiii2i22，2），y）（i=1，2，3，4），則：x+y=2cosθ∈（i=1，2，3，4）。故四個(gè)交點(diǎn)共圓，并且這個(gè)圓的半徑r=2cosθ∈（42,2）.2009上海卷文）（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m(a,b)，n(sinB,sinA)，p(b2,a2).（1）若m//n，求證：ABC為等腰三角形；（2）若m⊥p，邊長(zhǎng)c=2，角C=，求ABC的面積.3證明：（1）m//n,asinAbsinB,ab，此中R是三角形ABC外接圓半徑，ab即ab2R2RABC為等腰三角形解（2）由題意可知m//p0,即a(b2)b(a2)0由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab評(píng)論：本題著重觀察應(yīng)用解方程組法辦理曲線交點(diǎn)問題，這也是曲線與方程的基本方法，同時(shí)本題也突出了對(duì)三角不等關(guān)系的觀察。題型7：三角函數(shù)的應(yīng)用例13．有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)內(nèi)接矩形，即矩形的各個(gè)極點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上，求這個(gè)內(nèi)接矩形的最大面積．剖析：本題下手要解決好兩個(gè)問題，（1）內(nèi)接矩形的擱置有兩種狀況，如圖2-19所示，應(yīng)當(dāng)分別予以辦理；2）求最大值問題這里應(yīng)結(jié)構(gòu)函數(shù)，怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量分析：如圖2-19(1)設(shè)∠FOA=θ，則FG＝Rsinθ，，。又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么又∵0°＜θ＜60°，故當(dāng)cos(2θ－60°)＝1，即θ=30時(shí)′，如圖2-19(2)，設(shè)∠FOA＝θ，則EF＝2Rsin(30°－θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°設(shè)矩形的面積為S．那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30-°θ)2R2［cos(2θ－30°)－cos30°]又∵0＜θ＜30°，故當(dāng)cos(2θ－30°)＝1。五．【思想總結(jié)】從近來幾年高考的觀察方素來看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也以大題的形式出現(xiàn)，分值約占5%所以可否掌握好本重點(diǎn)內(nèi)容，在必定的程度上限制著在高考取成功與否。1．兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1）不單對(duì)公式的正用逆用要熟習(xí)，并且對(duì)公式的變形應(yīng)用也要熟習(xí)；2）擅長(zhǎng)拆角、拼角如，2，2等；3）注意倍角的相對(duì)性4）要不時(shí)注意角的范圍5）化簡(jiǎn)要求熟習(xí)常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。2．證明三角等式的思路和方法。1）思路：利用三角公式進(jìn)行假名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。2）證明三角不等式的方法：比較法、