高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元檢測(cè)十二概率隨機(jī)變量及其分布提升卷單元檢測(cè)理含解析新人教A版

/09/9/單元檢測(cè)十二概率、隨機(jī)變量及其分布(提升卷)考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)填寫在相應(yīng)位置上．3．本次考試時(shí)間100分鐘，滿分130分．4．請(qǐng)?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答，保持試卷清潔完整．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們六個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的點(diǎn)數(shù)分別為X，Y，則log2XY＝1的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,36)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,2)答案C解析由題意知X，Y應(yīng)滿足Y＝2X，所以滿足題意的有(1,2)，(2,4)，(3,6)三種，所以概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).2．一袋中裝有大小相同，編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個(gè)球，從中有放回地每次取一個(gè)球，共取2次，則取得兩個(gè)球的編號(hào)和不小于15的概率為()A.eq\f(1,32)B.eq\f(1,64)C.eq\f(3,32)D.eq\f(3,64)答案D解析從中有放回地取2次，所取號(hào)碼的情況共有8×8＝64(種)，其中編號(hào)和不小于15的有3種，分別是(7,8)，(8,7)，(8,8)，共3種．由古典概型概率公式可得所求概率為P＝eq\f(3,64).3．已知ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為()A.eq\f(π,4)B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8)D．1－eq\f(π,8)答案B解析根據(jù)幾何概型得，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率P＝eq\f(d,D)＝eq\f(圓外部分的面積,矩形的面積)＝eq\f(2－\f(π,2),2×1)＝1－eq\f(π,4).4．歐陽修《賣油翁》中寫道：“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”．賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．設(shè)銅錢是直徑為4cm的圓，它中間有邊長為1cm的正方形孔．若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油滴(不計(jì)油滴的大小)正好落入孔中的概率為()A.eq\f(1,4π)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16π)D.eq\f(1,16)答案A解析由題意得，所求的概率為eq\f(12,π×22)＝eq\f(1,4π)，故選A.5．一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可以從0～9中任選一個(gè)，某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼最后一位數(shù)字，如果任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對(duì)的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,10)答案C解析一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可以從0～9中任選一個(gè)，某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼最后一位數(shù)字，任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對(duì)的概率為：P＝eq\f(1,10)＋eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,5).6.如圖所示，在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O作為起點(diǎn)作射線OC，OD，則使∠AOC＋∠BOD＜45°的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,16)答案C解析設(shè)∠AOC＝x°，∠BOD＝y(tǒng)°，把(x，y)看作坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，則試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(x，y)|0≤x≤90,0≤y≤90}，若事件A表示∠AOC＋∠BOD＜45°，則其所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳＝{(x，y)|x＋y<45,0≤x≤90,0≤y≤90}，即圖中的陰影部分，故S陰影＝eq\f(1,2)×45×45.由幾何概型的概率公式，得所求概率P(A)＝eq\f(\f(1,2)×45×45,90×90)＝eq\f(1,8).7．有一種競猜游戲，游戲規(guī)則如下：在20個(gè)商標(biāo)牌中，有5個(gè)商標(biāo)牌的背面注明了一定的獎(jiǎng)金金額，其余商標(biāo)牌的背面是一張笑臉，若翻到笑臉，則不得獎(jiǎng)，參加這個(gè)游戲的人有三次翻牌的機(jī)會(huì)．某人前兩次翻牌均得若干獎(jiǎng)金，如果翻過的牌不能再翻，那么此人第三次翻牌獲獎(jiǎng)的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,20)答案B解析因?yàn)?0個(gè)商標(biāo)有5個(gè)中獎(jiǎng)，翻了兩個(gè)都中獎(jiǎng)，所以還剩18個(gè)，其中還有3個(gè)會(huì)中獎(jiǎng)，所以這位觀眾第三次翻牌獲獎(jiǎng)的概率是eq\f(3,18)＝eq\f(1,6).故選B.8．(2018·福建省廈門外國語學(xué)校模擬)我國成功申辦2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，屆時(shí)冬奧會(huì)的高山速降運(yùn)動(dòng)將給我們以速度與激情的完美展現(xiàn)，某選手的速度ξ服從正態(tài)分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)內(nèi)的概率為0.7，則其速度超過120的概率為()A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2答案C解析由題意可得，μ＝100，且P(80＜ξ＜120)＝0.7，則P(ξ＜80或ξ＞120)＝1－P(80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3.∴P(ξ＞120)＝eq\f(1,2)P(ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.則他速度超過120的概率為0.15.9．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A．0.4B．0.6C．0.75D．0.8答案D解析設(shè)“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件A,“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件B，則P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，∴P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.10．隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)等于()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A.2B．3C．4D．5答案C解析p＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2，則a＝3，∴D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1，∴D(2X－3)＝22D(X)＝4.11．(2018·黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)考試)甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為eq\f(2,3)，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,5)答案B解析由題意，甲獲得冠軍的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(20,27)，其中比賽進(jìn)行了3局的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，∴所求概率為eq\f(8,27)÷eq\f(20,27)＝eq\f(2,5).12．口袋里放有大小相等的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，第n次摸到紅球，,1，第n次摸到白球，))如果Sn為數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項(xiàng)和，那么S7＝3的概率為()A．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5 B．Ceq\o\al(2,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5C．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5 D．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5答案B解析據(jù)題意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到紅球，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)即可確定其概率，故選B.第Ⅱ卷(非選擇題共70分)二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．若某人在打靶時(shí)連續(xù)射擊2次，則事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是______________．答案兩次都未中靶14．若連續(xù)擲兩次骰子，第一次擲得的點(diǎn)數(shù)為m，第二次擲得的點(diǎn)數(shù)為n，則點(diǎn)P(m，n)落在圓x2＋y2＝16內(nèi)的概率是________．(骰子為正方體，且六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2，…，6)答案eq\f(2,9)解析由題意得，基本事件總數(shù)為36，點(diǎn)P落在圓內(nèi)包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8個(gè)，由古典概型概率公式可得所求概率為eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).15．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(c,k?k＋1?)，k＝1,2,3，c為常數(shù)，則P(0.5<ξ<2.5)＝________.答案eq\f(8,9)解析隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(c,k?k＋1?)，k＝1,2,3，∴eq\f(c,2)＋eq\f(c,6)＋eq\f(c,12)＝1，即eq\f(6c＋2c＋c,12)＝1，解得c＝eq\f(4,3)，∴P(0.5＜ξ＜2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(c,2)＋eq\f(c,6)＝eq\f(4,6)×eq\f(4,3)＝eq\f(8,9).16．某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃球的概率為eq\f(2,3)，則該運(yùn)動(dòng)員“投籃3次至多投中1次”的概率是________．(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)答案eq\f(7,27)解析“投籃3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部沒有投中，故“投籃3次至多投中1次”的概率是Ceq\o\al(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(3,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(7,27).三、解答題(本題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(12分)甲、乙、丙3人投籃，投進(jìn)的概率分別是eq\f(1,3)，eq\f(2,5)，eq\f(1,2).(1)現(xiàn)3人各投籃1次，求3人至少一人投進(jìn)的概率；(2)用ξ表示乙投籃4次的進(jìn)球數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ)．解(1)記“甲投籃1次投進(jìn)”為事件A，“乙投籃1次投進(jìn)”為事件B，“丙投籃1次投進(jìn)”為事件C，“至少一人投進(jìn)”為事件D.P(D)＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝eq\f(4,5).(2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,5)))，所以，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))4－k(k＝0,1,2,3,4)，故隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ01234Peq\f(81,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)E(ξ)＝0×eq\f(81,625)＋1×eq\f(216,625)＋2×eq\f(216,625)＋3×eq\f(96,625)＋4×eq\f(16,625)＝eq\f(8,5)，D(ξ)＝eq\f(24,25).18．(12分)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名同學(xué)的投籃命中次數(shù)，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中用x表示．(1)若乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比甲組同學(xué)的平均數(shù)少1，求x的值及乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的方差；(2)在(1)的條件下，分別從甲、乙兩組投籃命中次數(shù)低于10的同學(xué)中，各隨機(jī)選取1名，求這2名同學(xué)的投籃命中次數(shù)之和為16的概率．解(1)依題意得eq\f(x＋8×2＋9＋10,5)＝eq\f(7＋8＋9＋11×2,5)－1，解得x＝6，eq\x\to(x)乙＝eq\f(41,5)，s2＝eq\f(1,5)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－6))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－8))2×2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－9))2＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－10))2))＝1.76.(2)記甲組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)為A1，A2，A3，他們的命中次數(shù)分別為9,8,7.乙組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們的命中次數(shù)分別為6,8,8,9.依題意，不同的選取方法有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，共12種．設(shè)“這兩名同學(xué)的投籃命中次數(shù)之和為16”為事件C，其中恰含有(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B4)，共3種．∴P(C)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).19．(13分)(2018·武漢重點(diǎn)中學(xué)模擬)某校為了更好地管理學(xué)生用手機(jī)問題，根據(jù)學(xué)生每月用手機(jī)時(shí)間(每月用手機(jī)時(shí)間總和)的長短將學(xué)生分為三類：第一類的時(shí)間區(qū)間在[0,30)，第二類的時(shí)間區(qū)間在[30,60)，第三類的時(shí)間區(qū)間在[60,720](單位：小時(shí))，并規(guī)定屬于第三類的學(xué)生要進(jìn)入“思想政治學(xué)習(xí)班”進(jìn)行思想和心理的輔導(dǎo)．現(xiàn)對(duì)該校二年級(jí)1014名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，恰有14人屬于第三類，這14名學(xué)生被學(xué)校帶去政治學(xué)習(xí)．由剩下的1000名學(xué)生用手機(jī)時(shí)間情況，得到如圖所示頻率分布直方圖.(1)求這1000名學(xué)生每月用手機(jī)時(shí)間的平均數(shù)；(2)利用分層抽樣的方法從1000名選出10名學(xué)生代表，若從該10名學(xué)生代表中任選兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生用手機(jī)時(shí)間屬于不同類型的概率；(3)若二年級(jí)學(xué)生長期保持著這一用手機(jī)的現(xiàn)狀，學(xué)校為了鼓勵(lì)學(xué)生少用手機(jī)，連續(xù)10個(gè)月，每個(gè)月從這1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，若取到的是第一類學(xué)生，則發(fā)放獎(jiǎng)品一份，設(shè)X為獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)，求X的均值E(X)與方差D(X)．解(1)平均數(shù)為5×0.010×10＋15×0.030×10＋25×0.040×10＋35×0.010×10＋45×0.006×10＋55×0.004×10＝23.4(小時(shí))．(2)由頻率分布直方圖可知，采用分層抽樣抽取10名學(xué)生，其中8名為第一類學(xué)生，2名為第二類學(xué)生，則從該10名學(xué)生代表中抽取2名學(xué)生且這兩名學(xué)生不屬于同一類的概率為eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45).(3)由題可知，這1000名學(xué)生中第一類學(xué)生占80%，則每月從1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，是第一類學(xué)生的概率為0.8，則連續(xù)10個(gè)月抽取，獲獎(jiǎng)人數(shù)X～B(10,0.8)，其均值E(X)＝np＝10×0.8＝8，方差D(X)＝np(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6.20．(13分)現(xiàn)對(duì)某市工薪階層關(guān)于“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽調(diào)了50人，他們?cè)率杖氲念l數(shù)分布及對(duì)“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表.月收入(單位：百元)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]頻數(shù)510151055贊成人數(shù)4812521(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表并問是否有99%的把握認(rèn)為月收入以5500為分界點(diǎn)對(duì)“樓市限購令”的態(tài)度有差異；月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)合計(jì)贊成a＝__________c＝__________不贊成b＝__________d＝__________合計(jì)(2)若對(duì)在[15,25)，[25,35)的被調(diào)查的人中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“樓市限購令”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值．附：K2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?).P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)2×2列聯(lián)表如下：月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)合計(jì)贊成a＝3c＝2932不贊成b＝7d＝1118合計(jì)104050因?yàn)镵2≈6.2