新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用3直線與平面的夾角學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE8直線與平面的夾角課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.了解直線與平面的夾角的三種情況，理解斜線和平面所成角的概念.⒉能用向量語言表述直線與平面的夾角.3.能用向量法求線面角.1.數(shù)學(xué)抽象——能夠在具體的幾何圖形中識(shí)別和作出直線與平面的夾角.⒉數(shù)學(xué)運(yùn)算——能用向量法求直線與平面的夾角.自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一直線與平面的夾角的概念1.直線與平面的夾角的定義如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則稱這條直線與這個(gè)平面所成的角為①90°；如果一條直線與一個(gè)平面平行，或直線在平面內(nèi)，則稱這條直線與這個(gè)平面所成的角為②0平面的斜線與它在平面內(nèi)的③射影所成的銳角，稱為這條斜線與平面所成的角.直線與平面所成的角也稱為它們的夾角.2.直線與平面的夾角的性質(zhì)如圖所示，設(shè)AO是平面α的一條斜線段，O為斜足，A'為A在平面α內(nèi)的射影，而OM是平面α內(nèi)的一條射線，A'M⊥OM.記∠AOA'=θ1,∠A'OM=θ2平面的斜線與平面所成的角，是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角.要點(diǎn)二用空間向量求直線與平面的夾角如圖（1）（2）所示，可以看出θ=π2-v,特別地，cosθ=自主思考1.一條直線和一個(gè)平面所成的角的余弦值可以是負(fù)值嗎?答案：提示不可以.因?yàn)橹本€和平面所成的角的范圍是[0,π2.直線與平面所成的角的性質(zhì)中的“最小”說明了什么?答案：提示說明了一條直線與一個(gè)平面所成的角是唯一確定的.3.向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos?m,答案：提示設(shè)l與α所成的角為θ(0°≤θ≤90°名師點(diǎn)睛1.直線與平面所成角的作法已知斜線AC和平面α（如圖），過A作AB⊥α，交平面α于點(diǎn)B，連接BC，令∠ACB=θ，則銳角θ就是直線AC與平面α所成的角.2.對(duì)直線與平面所成角的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)（1）設(shè)AB在平面α內(nèi)的射影為A'B'，且直線AB與平面α的夾角為θ，則|A'B'（2）平面α的法向量n與AB所成的銳角θ1的余角θ就是直線AB與平面α互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一利用定義求直線與平面的夾角精講精練例如圖，平面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=a，AB=2a，E是線段PD上的點(diǎn)，F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn)，且PEED=答案：過點(diǎn)E作EM//PA交AD于點(diǎn)M.連接FM，如圖.∵PA⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD.則∠EFM為直線EF與平面ABCD所成的角.∵EM//PA，ΓEED=12，∴EM=23PA=∴AF=22a在Rt△FEM中，tan∴sin解題感悟利用定義法求線面角時(shí)，關(guān)鍵是找到斜線的射影，找射影有以下兩種方法：①過斜線上的點(diǎn)向平面作垂線，連接垂足與斜足得射影，但要注意垂足的位置；②利用已知垂直關(guān)系得出線面垂直，確定射影.遷移應(yīng)用1.如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為答案：π解析：如圖所示.取AC的中點(diǎn)O,連接BO，C1O，易得BO⊥AC，∵AC∩AA1=A，AC，A∴BO⊥平面ACC故∠BC1O為B易知在Rt△BOC1中，BO=∴sin∴∠BC探究點(diǎn)二公式cosθ=cosθ1·cosθ2的應(yīng)用精講精練例若∠APB=∠BPC=∠APC=60°，則PA與平面A.12B.C.63D.答案：D解析：如圖，設(shè)A在平面PBC內(nèi)的射影為O，連接OP，∵∠APB=∠APC，∴點(diǎn)O在∠BPC的平分線上，∴∠OPC=30°，∠APO為PA與平面∴cos即cos?∴cos解題感悟公式cosθ=cosθ1?遷移應(yīng)用1.如圖所示，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，O為菱形ABCD的中心，答案：由題意可知，AC為∠BAD的平分線，∴∠BAC=30°，且AO=3∴直線A1A在平面ABCD上的射影為直線AC，記∠A∴A1A?cosθ=32∴A1O⊥探究點(diǎn)三利用空間向量求直線與平面的夾角精講精練例如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分別為PC，（1）求BD與平面ADMN所成的角θ；（2）在線段BD上是否存在一點(diǎn)Q，使直線PQ與平面PAD的夾角為30°？若存在，求出點(diǎn)Q答案：（1）如圖所示，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系則A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),N(1,0,1)，∵BD設(shè)平面ADMN的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)由n?AD→=0n?AN→=0得y=0,∴sinθ=|cos<BD（2）存在.設(shè)在線段BD上存在一點(diǎn)Q(x,y,0)，使直線PQ與平面PAD的夾角為30°不妨設(shè)BQ=λBD，0≤λ≤1，則所以x-2=-2λ,y=2λ,解得x=2-2λ,y=2λ,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2-2λ,2λ,0)，所以又AB=(2,0,0)是平面PAD所以|cos化簡(jiǎn)可得λ2-3λ+1=0（λ=3-即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-1+5故在線段BD上存在一點(diǎn)Q(-1+5,3-5,0)，使直線PQ與平面解題感悟用空間向量求直線與平面所成的角的步驟：遷移應(yīng)用1.在正方體ABCD-A1B1C答案：30解析：如圖所示，連接BC1，交B1C于設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.易證BC1⊥∴A1O為A∴∠BA1O為A在Rt△A1BO中，∴sin∠BA即A1B與平面A1評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升課堂檢測(cè)1.已知向量m,n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量，若cos?m,A.30°B.60°C.120答案：B2.正方體ABCD-A1B1CA.24B.23C.6答案：C3.正四面體ABCD中，棱AB與平面BCD所成角的余弦值為.答案：3素養(yǎng)演練數(shù)學(xué)運(yùn)算——直線與平面夾角的最值或范圍問題1.（2020湖南師大附中高二月考）如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E,M分別是BC，PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱（1）證明：無論點(diǎn)F在PC上如何移動(dòng)，都有平面AEF⊥平面PAD；（2）當(dāng)直線AF與平面PCD所成的角最大時(shí)，確定點(diǎn)F的位置.解析：審：本題中的幾何體為底面是菱形的四棱錐，以此為載體證明面面垂直，以及求直線與平面夾角的最值.聯(lián)：（1）連接AC，得出AE⊥AD和PA⊥AE，即可證明AE⊥平面PAD，從而得出平面AEF⊥平面PAD；（2）以A為原點(diǎn)，AE,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.答案：解：（1）證明：連接AC，∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴①AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA∩AD=A，PA、AD平面PAD，∴②AE⊥平面PAD，∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD.（2）由（1）知，AE,AD,AP兩兩垂直，故以A為原點(diǎn)，AE,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(3,-1,0),C(3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),E(3,0,0).∴PC設(shè)PF=λPC(0≤λ≤1)則AF=AP+設(shè)平面PCD