新教材高中數(shù)學第三章函數(shù)的概念與性質3冪函數(shù)課件新人教A版必修第一冊

1.了解冪函數(shù)的概念,會求冪函數(shù)的解析式.2.通過具體實例,理解y=x,y=x-1,y=x2,y=

,y=x3的圖象與性質.3.理解冪函數(shù)在第一象限的圖象特征,能利用冪函數(shù)的單調性比較大小.3.3冪函數(shù)一般地,函數(shù)①

y=xα

叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).1|冪函數(shù)的概念2|五個冪函數(shù)的性質冪函數(shù)y=xy=x2y=x3y=

y=x-1圖象

定義域RRR②

[0,+∞)

③

(-∞,0)∪(0,+∞)

值域R④

[0,+∞)

R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)單調性增函數(shù)在[0,+∞)上單調遞增,在(-∞,0)上單調遞減增函數(shù)增函數(shù)⑤

在(0,+∞)上單調遞減,在(-∞,0)上單調遞減

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇公共點都經(jīng)過點⑥

(1,1)

1.冪函數(shù)的圖象都過點(0,0),(1,1).

(

?)提示:冪函數(shù)的圖象都過點(1,1),但不一定過點(0,0),如冪函數(shù)y=

的圖象不過點(0,0).2.冪函數(shù)的圖象一定不能出現(xiàn)在第四象限,但可能出現(xiàn)在第二象限.

(√)3.當α取1,3,

時,冪函數(shù)y=xα是增函數(shù).(√)4.當α=0時,冪函數(shù)y=xα的圖象是一條直線.

(

?)提示:當α=0時,冪函數(shù)y=xα的定義域為{x|x∈R,且x≠0},因此其圖象不是一條直線.5.若冪函數(shù)y=xα的圖象關于原點對稱,則在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大.

(

?)提示:冪函數(shù)y=

的圖象關于原點對稱,但它不是定義域內(nèi)的增函數(shù).判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.1|如何把握冪函數(shù)的圖象解決冪函數(shù)圖象問題應把握的兩個原則1.根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象確定冪指數(shù)α(α>0)的大小關系.依據(jù)圖象高低

判斷冪指數(shù)的大小,相關結論如下:(1)在x∈(0,1)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低);(2)在x∈(1,+∞)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高).2.利用定義域及奇偶性確定函數(shù)在其他象限的圖象.若點(

,2)在冪函數(shù)f(x)(x≠0)的圖象上,點

在冪函數(shù)g(x)的圖象上,問:當x為何值時,(1)f(x)>g(x)?(2)f(x)=g(x)?(3)f(x)<g(x)?思路點撥先由點在圖象上確定冪函數(shù)的解析式,再由解析式得到大致圖象,利用圖象解決

問題.解析

設f(x)=xα,因為點(

,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,所以將點(

,2)代入f(x)=xα中,得2=(

)α,解得α=2,則f(x)=x2(x≠0).同理,可求得g(x)=x-2.在同一平面直角坐標系中作出冪函數(shù)f(x)=x2(x≠0)和g(x)=x-2的圖象(如圖所示).

觀察圖象可得:(1)當x>1或x<-1時,f(x)>g(x).(2)當x=1或x=-1時,f(x)=g(x).(3)當-1<x<1且x≠0時,f(x)<g(x).2|如何運用冪函數(shù)的性質解決相關問題冪函數(shù)的性質與參數(shù)α可以互相確定:1.冪函數(shù)y=xα中只有一個參數(shù)α,冪函數(shù)的所有性質都與α的取值有關,故可由α確

定冪函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性.2.反過來,也可由冪函數(shù)的性質去限制α的取值:(1)利用冪函數(shù)的單調性求出α的取值范圍;(2)由奇偶性結合所給條件確定α的值.已知冪函數(shù)y=x3m-9(m∈N*)的圖象關于y軸對稱,且y=x3m-9(m∈N*)在(0,+∞)上單

調遞減,求滿足

<

的a的取值范圍.思路點撥由冪函數(shù)的性質確定參數(shù)m的值,再由函數(shù)的單調性解不等式.解析

因為冪函數(shù)y=x3m-9(m∈N*)在(0,+∞)上單調遞減,所以3m-9<0,解得m<3.又m∈N*,所以m=1或m=2.因為冪函數(shù)y=x3m-9的圖象關于y軸對稱,所以3m-9為偶數(shù),故m=1,則原不等式可化

為(a+1

<(3-2a

.易知y=

在(-∞,0)和(0,+∞)上單調遞減,且當x<0時,y<0,當x>0