2019數(shù)學(xué)新設(shè)計北師大選修21精練第三章圓錐曲線與方程習題課3含答案

習題課——直線與圓錐曲線的綜合問題課后訓(xùn)練案穩(wěn)固提高組1.直線y=+b交拋物線y=2于A,B兩點,O為拋物線極點,OA⊥OB,則b的值為( )A.-1B.0C.1D.2分析;設(shè)A(1,y1),B(2,y2),將y=+b代入y=2,化簡可得2-2-2b=0,故1+2=2,12=-2b,所以y1y2=12+b(1+2)+b2=b2.又OA⊥OB,所以12+y1y2=0,即-2b+b2=0,則b=2或b=0,經(jīng)查驗b=0時,不知足OA⊥OB,故b=2.答案;D2.(2016·全國丙高考)已知O為坐標原點,F是橢圓C;=1(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左、右極點,P為C上一點,且PF⊥軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為( )A.B.C.D.分析;由題意,不如設(shè)直線l的方程為y=(+a),>0,分別令=-c與=0,得|FM|=(a-c),|OE|=a.設(shè)OE的中點為G,由△OBG∽△FBM,得,即,整理,得,故橢圓的離心率e=,應(yīng)選A.答案;A-1-3.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線均和圓C;2+y2-6+8=0相切,且雙曲線的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為( )A.=1B.=1C.-y2=1D.2-=1分析;圓C;2+y2-6+8=0可化為(-3)2+y2=1,∴圓心為(3,0),半徑為1.雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±.∵雙曲線的漸近線與圓C相切,∴=1.又雙曲線的右焦點為圓C的圓心,∴c=3.聯(lián)合c2=a2+b2解得b=1,a=2.∴雙曲線的方程為-y2=1.應(yīng)選C.答案;C4已知雙曲線=1(0,0)與直線y=2有交點,則雙曲線的離心率的取值范圍是( ).a>b>A.(1,)B.(1,)∪(,+∞)C.(,+∞)D.[,+∞)分析;直線y=2必過原點,要使直線與雙曲線有交點,則雙曲線漸近線的斜率||>2,即>2,則有>4,所以e2=>5,所以e>.應(yīng)選C.答案;C5.若過橢圓=1內(nèi)一點(2,1)的弦被該點均分,則該弦所在直線的方程是.-2-分析;設(shè)弦兩頭點分別為A(1,y1),B(2,y2),則=1,=1,兩式相減并把1+2=4,y1+y2=2代入得,=-.∴所求直線的方程為y-1=-(-2),即+2y-4=0.答案;+2y-4=06.過原點的直線l與雙曲線C;=1(a>0,b>0)的左、右兩支分別訂交于A,B兩點,F(-,0)是雙曲線C的左焦點,若|FA|+|FB|=4,=0,則雙曲線C的方程為.分析;∵,∴FA⊥FB,∴△AFB為直角三角形.∵過原點的直線l與雙曲線C;=1(a>0,b>0)的左、右兩支分別訂交于A,B兩點,F(-,0)是雙曲線C的左焦點,∴|AB|=2.設(shè)|FB|=,則|FA|=4-,2+(4-)2=12,∴2-4+2=0,∴=2±,∴|FB|=2+,|FA|=2-,∴2a=|FB|-|FA|=2,∴a=,∴b=1,∴雙曲線C的方程為-y2=1.答案;-y2=17.設(shè)O為坐標原點,F為拋物線y2=4的焦點,A為拋物線上一點,且=-4,則點A的坐標為.分析;設(shè)A,則,∵F(1,0),∴.∴=-=-4.-3-整理得,+12-64=0,∴=4,即y0=±2.∴點A坐標為(1,±2).答案;(1,±2)8.焦點分別為(0,5)和(0,-5)的橢圓截直線y=3-2所得弦的中點的橫坐標為,求此橢圓的方程.解設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0),且a2-b2=(5)2=50,①由消去y,得(a2+9b2)2-12b2+4b2-a2b2=0.設(shè)弦兩頭點的橫坐標分別為1,2,則1+2=.∵,∴,即a2=3b2,②此時>0.由①②得a2=75,b2=25,∴橢圓的方程為=1.9.拋物線y2=上存在P,Q兩點對于直線y-1=(-1)對稱,求的取值范圍.解設(shè)P(1,y1),Q(2,y2),∴-②,得(y1-y2)(y1+y2)=1-2,∴∴y1+y2=-.-1=[(y1+y2)2-2y1y2-2].--2=[2-2y1(--y1)-2],∴2+22y1+3-+2=0,-4-=44-8(3-+2)>0,(-3+2-4)>0,∴(3-2+4)<0,(+2)(2-2+2)<0,∴∈(-2,0).10.導(dǎo)學(xué)號90074086如圖,已知拋物線C的極點為O(0,0),焦點為F(0,1).(1)求拋物線C的方程;(2)過點F作直線交拋物線C于A,B兩點.若直線AO,BO分別交直線l;y=-2于M,N兩點,求|MN|的最小值.解(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為22(0),則=1,所以拋物線C的方程為24=pyp>=y.(2)設(shè)A(1,y1),B(2,y2),直線AB的方程為y=+1.由消去y,整理得2-4-4=0,所以1+2=4,12=-4.進而|1-2|=4.由解得點M的橫坐標M=.同理,點N的橫坐標N=.所以|MN|=|M-N|==8.令4-3=t,t≠0,則=.當t>0時,|MN|=2>2.當t<0時,2.|MN|=綜上所述,當t=-,即=-時,|MN|的最小值是.-5-B組1.等腰直角三角形ABO內(nèi)接于拋物線y2=2p(p>0),O為拋物線的極點,OA⊥OB,點A在軸上方,則△ABO的面積是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p2分析;由拋物線的對稱性及OA⊥OB知直線OA的方程為y=,由得A(2p,2p),則B(2p,-2p),所以|AB|=4p,所以S△ABO=×4p×2p=4p2.應(yīng)選B.答案;B2.拋物線y=22上兩點A(1,y1),B(2,y2)對于直線y=+m對稱,且1·2=-,則m等于( )A.B.2C.D.3分析;依題意知AB==-1,而y2-y1=2( ),∴2+1=-,且在直線y=+m上,即+m,y2+y1=2+1+2m,∴2( )=2+1+2m,2[(2+1)2-221]=2+1+2m,∴2m=3,m=.答案;A3.已知兩直線=±1分別過橢圓=1的兩個焦點,則直線y=+2與橢圓至多有一個交點的充要條件是.分析;由題意知橢圓的焦點坐標為(±,0),∵兩直線=±1分別經(jīng)過橢圓的兩個焦點,∴4-b2=1,23橢圓方程為1直線y=+2與橢圓至多有一個交點的充要條件是將直線方程與橢∴b=.∴=.-6-圓方程聯(lián)立后,所得一元二次方程的鑒別式Δ≤0,即方程(42+3)2+16+4=0的鑒別式1622-16(42+3)≤0,即2≤,∴-≤≤.答案;-≤≤4.設(shè)F1,F2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點,若P是該橢圓上的一個動點,則的最大值和最小值分別為.分析;易知a=2,b=1,c=,所以F1(-,0),F2(,0),設(shè)P(,y),則=(--,-y)·(-,-y)=2+y2-3=2+1--3=(32-8),因為∈[-2,2],故當=0,即點P為橢圓的短軸端點時,有最小值-2.當=±2,即點P為橢圓的長軸端點時,有最大值1.答案;1,-25已知是雙曲線;2-=1的右焦點,是C的左支上一點,(0,6)當△APF周長最小時,該三角.FCPA.形的面積為.分析;設(shè)雙曲線的左焦點為F1,如圖.由雙曲線的定義知|PF|=2a+|PF1|,∴△APF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).因為2a+|AF|是定值,要使△APF的周長最小,則應(yīng)使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三點共線.∵A(0,6),F1(-3,0),∴直線AF1的方程為=1,即=-3.將其代入2-=1得26960,y+y-=解得y=2或y=-8(舍去),-7-所以點P的縱坐標為2.∴S△APF==·|F1F|·yA-·|F1F|·yP=×6×6×6×2=12.答案;126.已知橢圓+y2=1,求斜率為2的弦的中點軌跡方程.解設(shè)直線與橢圓訂交所得弦為AB,A(1,y1),B(2,y2),弦的中點為M(,y),則兩式相減,得(1-2)(1+2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0.所以=-=-=2,所以+4y=0,由題意知點M(,y)落在橢圓內(nèi)部,則有+y2<1,即<1,解得-<<,所以所求的軌跡方程為+4y=0.7.已知點M(-2,0),N(2,0),動點P知足條件|PM|-|PN|=2.記動點P的軌跡為W.(1)求W的方程;(2)若,是W上的不一樣兩點,是坐標原點,求的最小值.ABO解(1)依題意,知點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支,所以所求方程為=1(>0).(2)當直線AB的斜率不存在時,-8-設(shè)直線AB的方程為=0,此時A(0,),B(0,-),=2.當直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=+b,代入雙曲線方程=1中,得(1-2)2-2b-b2-2=0,①依題意可知方程①有兩個不相等的正數(shù)根,設(shè)A(1,y1),B(2,y2),則得||>1,12+y1y2=12+(1+b)(2+b)(1+2)12+b(1+2)+b2==2+>2.綜上可知的最小值為2.8.導(dǎo)學(xué)號90074087已知點A(1,y1),B(2,y2)(12≠0)是拋物線y2=2p(p>0)上的兩個動點,O是坐標原點,向量知足||=||.設(shè)圓C的方程為2+y2-(1+2)-(y1+y2)y=0.(1)求證線段AB是圓C的直徑;(2)當圓C的圓心到直線-2y=0的距離的最小值為時,求p的值.(1)證明因為||=||,所以()2=()2,即+2-2,整理,得=0,所以0①12+y1y2=.設(shè)M(,y)是以線段AB為直徑的圓上的隨意一點,則=0,即(-1)(-2)+(y-y1)(y-y2)=0.-9-睜開上式并將①式代入,得2+y2-(1+2)-(y1+y2)y=0.進而可知線段A