課件北師大版必修三

一、頻率分布表、頻率分布直方圖1．頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大?。话阌妙l率分布直方圖反映樣本的頻率分布．其一般步驟為：(1)計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求①________；(2)確定②________；(3)確定③________；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖．2．在頻率分布直方圖中，小長方形的面積＝組距×④________＝頻率．二、頻率分布折線圖、總體密度曲線1．頻率分布折線圖的定義連結(jié)頻率分布直方圖中各小長方形上端的⑤________，就得到頻率分布折線圖．2．總體密度曲線的定義如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，則頻率分布直方圖實(shí)際上越來越接近總體的分布，它可以用一條光滑曲線y＝f(x)來描繪，這條光滑曲線叫做⑥________.總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的規(guī)律．

實(shí)際上，盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但一般很難像函數(shù)圖像那樣準(zhǔn)確地畫出來，我們只能用樣本的頻率分布對(duì)它進(jìn)行估計(jì)．一般來說，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確．三、用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)設(shè)n個(gè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為＝⑦_(dá)_______.說明：1.用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)，樣本的平均數(shù)只是總體平均數(shù)的近似．2．平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的⑧________.3．在頻率分布直方圖中，平均數(shù)是直方圖的⑨______.2．標(biāo)準(zhǔn)差因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差的算術(shù)平方根稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s＝?________.如果樣本各數(shù)據(jù)都相等，則標(biāo)準(zhǔn)差為?________，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性；若個(gè)體的值與平均數(shù)的差的絕對(duì)值較大，則標(biāo)準(zhǔn)差?________，表明數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度也很大，數(shù)據(jù)離散程度?________，因此，標(biāo)準(zhǔn)差描述了數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的離散程度．五、兩個(gè)小結(jié)論1．如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變．2．如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘一個(gè)共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍．1．在統(tǒng)計(jì)中，經(jīng)常用數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖來估計(jì)總體的分布情況．統(tǒng)計(jì)圖中樣本的分布和總體分布的關(guān)系是什么？數(shù)據(jù)一旦被收集后，人們總希望從中找出所需要的信息．但通過收集得到的數(shù)據(jù)一般比較多，這樣，就需要對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼恚瑢⑵滢D(zhuǎn)化為可以直接利用的形式，并從中獲取相應(yīng)的信息，以幫助人們作出恰當(dāng)?shù)臎Q策．統(tǒng)計(jì)圖就是整理數(shù)據(jù)的重要工具，它不僅可以幫助我們從數(shù)據(jù)中獲取有用的信息，還可以幫助我們直觀、準(zhǔn)確地理解相應(yīng)的結(jié)果．不同的統(tǒng)計(jì)圖有著各自的特點(diǎn)和用途．對(duì)于總體中個(gè)體取值較少的情況，我們常用條形圖表示其樣本分布；而對(duì)于個(gè)體取值較多或無限的總體，我們則常用頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖等圖表形式表示樣本分布．一般樣本容量越大，這種估計(jì)越精確．當(dāng)樣本容量較大時(shí)，樣本中落在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的樣本數(shù)的頻率會(huì)穩(wěn)定于總體在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的頻率．因此，我們可以用樣本的頻率分布直方圖來估計(jì)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的頻率，也即總體的分布情況．在樣本的頻率分布中，隨著樣本容量的不斷擴(kuò)大，其分布越來越接近總體分布，當(dāng)樣本容量無限加大，而組距無限縮小時(shí)，頻率分布直方圖的上方將演變成一條光滑的曲線—總體密度曲線．2．用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想．那么在對(duì)總體分布的估計(jì)中是怎樣體現(xiàn)這一思想的？用樣本估計(jì)總體的某一指標(biāo)的時(shí)候，由于樣本畢竟不是總體，所以用樣本來估計(jì)總體一般來說是有誤差的，只是誤差的大小而已．當(dāng)樣本的選取合理，具有代表性的時(shí)候誤差就很?。?，在全國范圍內(nèi)的測(cè)驗(yàn)中，如果民意測(cè)驗(yàn)者走進(jìn)大學(xué)校園里去訪問1000名大學(xué)生，對(duì)他們進(jìn)行民意調(diào)查，他們所組成的樣本將不會(huì)公平地代表全國的民意，這是因?yàn)榇髮W(xué)生選民的比例很小，而且是一個(gè)有傾向性的團(tuán)體，不能代表全體選民，這樣的不公平就使得樣本估計(jì)總體的誤差比較大，這就是樣本的選取不合理造成的．3．如何選擇不同的統(tǒng)計(jì)圖估計(jì)總體的分布情況？在對(duì)一些數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)，要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和統(tǒng)計(jì)結(jié)果的精確度選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表．如果需要根據(jù)圖表了解各數(shù)據(jù)所占的頻率可以使用條形統(tǒng)計(jì)圖，例如統(tǒng)計(jì)一批產(chǎn)品中優(yōu)等品所占頻率．如果要了解數(shù)據(jù)的增減情況可以采用折線圖，例如統(tǒng)計(jì)一個(gè)人的成績變化情況．要了解數(shù)據(jù)的全部信息可以使用莖葉圖，例如籃球比賽的計(jì)分．用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)：沒有信息的損失，所有的原始數(shù)據(jù)都可以從莖葉圖中得到；莖葉圖可以隨時(shí)記錄，方便表示與比較．但是，當(dāng)數(shù)據(jù)量很大或有多組數(shù)據(jù)時(shí)，莖葉圖就不那么直觀、清晰了．而頻率分布直方圖通過計(jì)算落在某個(gè)區(qū)間的頻率來簡化數(shù)據(jù)，它能直觀地反映數(shù)據(jù)分布的大致情況，并且能夠清晰地表示出各個(gè)區(qū)間的具體數(shù)目，特別是當(dāng)數(shù)據(jù)量很大時(shí)．但同時(shí)，直方圖也丟失了原始數(shù)據(jù)．在面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，人們常常根據(jù)不同的需要，選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖來整理數(shù)據(jù)．只有合理選擇圖表才能使統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)更加直觀．題型一頻率分布表、頻率分布直方圖【例1】對(duì)于樣本頻率分布直方圖與總體密度曲線的關(guān)系，下列說法正確的是 ()A．頻率分布直方圖與總體密度曲線無關(guān)B．頻率分布直方圖就是總體密度曲線C．樣本容量很大的頻率分布直方圖就是總體密度曲線D．如果樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近總體密度曲線解析：根據(jù)總體密度曲線的定義，如果樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近一條光滑曲線，這條光滑曲線就是總體密度曲線，所以應(yīng)選D.答案：D評(píng)析：總體密度曲線是一種極限情況，樣本的頻率分布直方圖是它的一個(gè)近似圖，樣本容量越大，分組的組距越小，它們的誤差就越小． 下列命題正確的是()A．頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積等于相應(yīng)組的頻數(shù)B．頻率分布直方圖的面積為樣本的頻數(shù)C．頻率分布直方圖中各小矩形高(平行于縱軸的邊)表示頻率與組距的比D．用莖葉圖統(tǒng)計(jì)某運(yùn)動(dòng)員得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39時(shí)，莖是指中位數(shù)26[答案]C題型二畫頻率分布表、頻率分布直方圖、折線圖【例2】為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)內(nèi)100名年齡為17.5～18歲的男生的體重情況，結(jié)果如下：(單位：kg)56.569.56561.564.566.56464.57658.57273.556677057.565.56871756268.562.56659.563.564.567.57368557266.574636055.57064.5586470.55762.5656971.573625876716663.55659.563.5657074.568.56455.572.566.5687657.56071.55769.57464.56961.5676863.5585965.562.569.57264.575.568.5646265.558.567.570.5656666.5706359.5

請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，并對(duì)相應(yīng)的總體分布作出估計(jì)．解：按照下列步驟獲得樣本的頻率分布．(1)求最大值與最小值的差在上述數(shù)據(jù)中，最大值是76，最小值是55，它們的差(又稱為極差)是76－55＝21，所得的差告訴我們，這組數(shù)據(jù)的變動(dòng)范圍有多大．(2)確定組距與組數(shù)如果將組距定為2，那么由21÷2＝10.5，組數(shù)為11，這個(gè)組數(shù)是合適的．于是組距為2，組數(shù)為11.(3)決定分點(diǎn)根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，第1小組的起點(diǎn)可取為54.5，第1小組的終點(diǎn)可取為56.5，為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)既是起點(diǎn)，又是終點(diǎn)從而造成重復(fù)計(jì)算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的．這樣，所得到的分組是[54.5,56.5)，[56.5,58.5)，…，[74.5,76.5)．(4)列頻率分布表頻率分布表分組`頻率累計(jì)頻數(shù)頻率[54.5,56.5)50.05[56.5,58.5)80.08[58.5,60.5)90.09[60.5,62.5)50.05[62.5,64.5)130.13[64.5,66.5)160.16[66.5,68.5)120.12[68.5,70.5)110.11[70.5,72.5)90.09[72.5,74.5)60.06[74.5,76.5)60.06合計(jì)1001.00(5)繪制頻率分布直方圖如下圖所示．由于圖中各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，這個(gè)圖形的面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大?。诜从硺颖镜念l率分布方面，頻率分布表比較確切，頻率分布直方圖比較直觀，它們起著相互補(bǔ)充的作用．在得到了樣本的頻率后，就可以對(duì)相應(yīng)的總體情況作出估計(jì)．例如可以估計(jì)，體重在[64.5,66.5)kg間的學(xué)生最多，約占學(xué)生總數(shù)的16%；體重小于58.5kg的學(xué)生較少，約占13%等．評(píng)析：頻率分布表比較確切，頻率分布直方圖比較直觀． 有一容量為200的樣本，數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下：[－20，－15)7，[－15，－10)11，[－10，－5)15，[－5,0)40，[0,5)49，[5,10)41，[10,15)20，[15,20)17.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖和折線圖；(3)求樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率．[解](1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[－20，－15)70.035[－15，－10)110.055[－10，－5)150.075[－5,0)400.2[0,5)490.245[5,10)410.205[10,15)200.1[15,20)170.085合計(jì)2001.00(2)下圖是頻率分布直方圖和折線圖：(3)樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率為：0.035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.[評(píng)析](1)頻率分布折線圖與橫軸相連，是為了看圖方便，橫軸上的左右兩端點(diǎn)沒有實(shí)際的意義．(2)頻率分布折線圖反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，可用來對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)．如果樣本容量不斷增加，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線．題型三用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個(gè)基本的思想方法，對(duì)于不易知道的總體分布，總是用樣本的頻率分布對(duì)它進(jìn)行估計(jì)．一般地，樣本容量越大，估計(jì)就越精確．【例3】從高三學(xué)生中抽取50名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績的分組及各組的頻數(shù)如下：(單位：分)[40,50)2，[50,60)3，[60,70)10，[70,80)15，[80,90)12，[90,100)8.(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)成績?cè)赱60,90)分內(nèi)的學(xué)生比例；(4)估計(jì)成績?cè)?5分以下的學(xué)生比例．解析：成績?cè)谀骋环秶鷥?nèi)的學(xué)生比例即學(xué)生成績?cè)谠摲秶鷥?nèi)的概率，由(3)(4)求相應(yīng)頻率即可．解：(1)頻率分布表如下：成績分組頻數(shù)頻率累積頻率[40,50)20.040.04[50,60)30.060.1[60,70)100.20.3[70,80)150.30.6[80,90)120.240.84[90,100)80.161.00合計(jì)501.00(2)頻率分布直方圖如圖．評(píng)析：估計(jì)b實(shí)際上利用了線性插值，不用累積頻率而直接利用頻率分布表插值本質(zhì)相同．從而成績?cè)?5分以下的學(xué)生約占0.04＋0.06＋0.2＋0.3＋0.12＝0.72＝72%.

為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如下圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？(3)在這次測(cè)試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)？請(qǐng)說明理由．【例4】(例題變式)為了解一大片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)測(cè)量其中的100株的底部周長得到如下數(shù)據(jù)：(單位：cm)99121110961001031259711711311092102109104112109124871041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108(1)編制頻率分布表．(2)繪制頻率分布直方圖、折線圖．(3)估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長小于100cm的樹木約占多少，周長不小于120cm的樹木約占多少？分組頻數(shù)頻率[80,85)10.010.002[85,90)20.020.004[90,95)40.040.008[95,100)140.140.028[100,105)240.240.048[105,110)150.150.030[110,115)120.120.024[115,120)90.090.018[120,125)110.110.022[125,130)60.060.012[130,135]20.020.004合計(jì)10010.2(2)這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖、折線圖如圖所示：(3)從頻率分布表可以看出，該樣本中小于100的頻率為0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，不小于120的頻率為0.11＋0.06＋0.02＝0.19.故可估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長小于100cm的樹木約占21%，周長不小于120cm的樹木約占19%.評(píng)析：頻率分布表從數(shù)值上直觀地體現(xiàn)了各組的頻率，頻率分布直方圖則更形象地反映了各組數(shù)據(jù)的頻率與樣本分布趨勢(shì)，所以往往通過兩者綜合考察樣本．

(難題巧解)對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：

(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖及折線圖；(3)估計(jì)電子元件壽命在400h以上的概率．壽命(h)100～200200～300300～400400～500500～600個(gè)數(shù)2030804030[解](1)頻率分布表如下：壽命(h)頻數(shù)頻率100～200200.10200～300300.15300～400800.40400～500400.20500～600300.15合計(jì)2001.00(2)頻率分布直方圖及折線圖如圖．(3)由頻率分布表可知，壽命在400h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20＋0.15＝0.35，故我們估計(jì)電子元件壽命在400h以上的概率為0.35.[評(píng)析]先畫出頻率分布直方圖，然后根據(jù)圖形進(jìn)行推測(cè)，當(dāng)所取數(shù)值不正好在端點(diǎn)時(shí)，比如450小時(shí)以上的頻率是多少，可取400～500頻率的一半，再加上500～600的頻率．1．“頻率分布”與“相應(yīng)的總體分布”的關(guān)系是 ()A．“頻率分布”與“相應(yīng)的總體分布”是同樣的分布B．“頻率分布”與“相應(yīng)的總體分布”是互不相關(guān)的兩種分布C．“頻率分布”將隨著樣本容量的增大更加接近“總體分布”D．“頻率分布”的樣本容量增大到某一定值時(shí)就變成了“總體分布”[解析]樣本容量越大，樣本的頻率分布越接近總體分布．故選C.[答案]C2．已知樣本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,11.那么頻率為0.4的范圍為 ()A．5.5～7.5B．7.5～9.5C．9.5～11.5 D．11.5～13.5[解析]只要列出頻率分布表，依次對(duì)照就可以找出答案．頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率5.5～7.520.17.5～9.560.39.5～11.580.411.5～13.540.2合計(jì)201

從表中可以看出，頻率為0.4的范圍是9.5～11.5.故選C.[答案]C3．根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某條河流水位的頻率分布直方圖(如下圖)．從圖中可以看出，該水文觀測(cè)點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是()A．48米 B．49米C．50米 D．51米[解析]由頻率分布直方圖知水位為50米的頻率/組距為1%，即水文觀測(cè)點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米．故選C.[答案]C4．為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5～18歲的男生體重(kg)，得到頻率分布直方圖如下：

根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在[56.5,64.5)kg間的學(xué)生人數(shù)是 ()A．20 B．30C．40 D．50[解析]根據(jù)該圖可知，組距為2，得這100名學(xué)生中體重在[56.5,64.5)kg間的學(xué)生人數(shù)所占的頻率為(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，所以該段學(xué)生的人數(shù)是40，故選C.[答案]C

5．如下圖，在某路段檢測(cè)點(diǎn)，對(duì)200輛汽車的車速進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果表示為如下頻率分布直方圖，則車速不小于90km/h的汽車約有________輛．[答案]606．如下圖是一個(gè)容量為200的樣本頻率分布直方圖，請(qǐng)根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空：(1)樣本數(shù)據(jù)落在范圍[5,9)內(nèi)的頻率為________；(2)樣本數(shù)據(jù)落在范圍[9,13)內(nèi)的頻數(shù)為________．[答案]0.32727．在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某班進(jìn)行了小制作