高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)

高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日緒論課程名稱高等數(shù)學(xué)計(jì)劃學(xué)時(shí)考核形式課堂紀(jì)律作業(yè)問題答疑輔導(dǎo)學(xué)習(xí)方法真、苦、巧、活課前預(yù)習(xí)、重點(diǎn)聽講、簡(jiǎn)記筆記、整理咀嚼、后作練習(xí)第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日

我們這門課程叫高等數(shù)學(xué)，它的內(nèi)容包括一元和多元微積分學(xué)，無窮級(jí)數(shù)論和作為理論基礎(chǔ)的極限理論，以及作為一元微積分學(xué)的簡(jiǎn)單應(yīng)用——常微分方程。由于構(gòu)成它的主體是一元函數(shù)微積分學(xué)，所以有時(shí)又稱為微積分。17世紀(jì)（1763年）Descartes建立了解析幾何，同時(shí)把變量引入數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響，使數(shù)學(xué)從研究常量的初等數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展到研究變量的高等數(shù)學(xué)。微積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的組成部分，是研究變量間的依賴關(guān)系——函數(shù)的一門學(xué)科，是學(xué)習(xí)其它自然科學(xué)的基礎(chǔ)。第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日

高等數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象是函數(shù)，主要研究函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)、可導(dǎo)、可積等）和分析運(yùn)算（極限運(yùn)算、微分法、積分法等）。那么高等數(shù)學(xué)用什么方法研究函數(shù)呢？這個(gè)方法就是極限方法，也稱為無窮小分析法。從方法論的觀點(diǎn)來看，這是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的一個(gè)顯著標(biāo)志。

由于高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象和研究方法與初等數(shù)學(xué)有很大的不同，因此高等數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出以下顯著特點(diǎn)：概念更復(fù)雜理論性更強(qiáng)表達(dá)形式更加抽象推理更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谒捻?，共三十七頁?022年，8月28日

因此在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真閱讀和深入鉆研教材的內(nèi)容，一方面要透過抽象的表達(dá)形式，深刻理解基本概念和理論的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，正確領(lǐng)會(huì)一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，另一方面也要培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理的能力。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必須做一定數(shù)量的習(xí)題，做習(xí)題不僅是為了掌握數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算方法，而且也可以幫助我們更好地理解概念、理論和思想方法。但我們不應(yīng)該僅僅滿足于做題，更不能認(rèn)為，只要做了題，就算學(xué)好了數(shù)學(xué)。第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日

高等數(shù)學(xué)中幾乎所有的概念都離不開極限，因此極限概念是高等數(shù)學(xué)的重要概念，極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，極限是高等數(shù)學(xué)的精華所在，是高等數(shù)學(xué)的靈魂。因此很好地理解極限概念是學(xué)習(xí)好微積分的關(guān)鍵，同時(shí)也是從初等數(shù)學(xué)邁入高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要階梯。

極限是研究在指定的過程中某變量的變化趨勢(shì)，這里所講的變化趨勢(shì)有其明確的含義：不管所指定的變化過程多么復(fù)雜，我們所關(guān)心的僅僅是變量變化的終極目標(biāo)，若這個(gè)終極目標(biāo)存在，就稱之為變量的極限

本章我們首先介紹極限理論的基本概念、運(yùn)算和性質(zhì)，然后討論函數(shù)的連續(xù)性第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日重點(diǎn)

極限概念，無窮小與極限的關(guān)系，極限運(yùn)算法則，兩個(gè)重要極限，連續(xù)概念，初等函數(shù)的連續(xù)性，間斷點(diǎn)及其分類難點(diǎn)極限概念及求極限的方法技巧基本要求①能準(zhǔn)確敘述并深刻理解極限定義，明確其幾何意義，會(huì)用定義驗(yàn)證極限②正確理解無窮小量及其與極限的關(guān)系第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日③牢固掌握極限運(yùn)算法則，極限的性質(zhì)，尤其是函數(shù)極限的保號(hào)性質(zhì)④理解極限存在準(zhǔn)則，熟記兩個(gè)重要極限及其證明方法，靈活地運(yùn)用它們及各種變形公式求極限⑤正確理解連續(xù)概念，理解間斷點(diǎn)的分類⑥理解初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.2.區(qū)間:是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日無限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.3.鄰域:第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日4.絕對(duì)值:運(yùn)算性質(zhì):絕對(duì)值不等式:絕對(duì)值不等式的兩個(gè)變形公式：第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日絕對(duì)值不等式的證明①兩式相加得②幾何直觀③分四種情況驗(yàn)證xyx+y第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日④在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)成立為證三角不等式只須證明為證上式，又只須證明第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日又只須證明由基本不等式上式是顯然的

對(duì)三角不等式及其證明方法要加深印象，深刻理解，靈活運(yùn)用，后面將要講到的極限在很多情況下要用到三角不等式來對(duì)不等式進(jìn)行放大和縮小。同理第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、函數(shù)概念例圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)圓內(nèi)接正n

邊形Or)第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日定義設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集，

若對(duì)于x∈D，變量y按照確定的法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)記作自變量因變量第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量對(duì)應(yīng)法則f因變量約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．定義:第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例(1)符號(hào)函數(shù)1-1xyo(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過

x的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日(3)狄利克雷函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(4)取最值函數(shù)yxoyxo第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日在自變量的不同變化范圍中,

對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).(5)絕對(duì)值函數(shù)oxy定義域R值域第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號(hào)的電壓第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日例2解故第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日三、函數(shù)的特性1．函數(shù)的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX無界第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日2．函數(shù)的單調(diào)性:xyo第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日xyo第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日3．函數(shù)的奇偶性:yxox-x偶函數(shù)第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日yxox-x奇函數(shù)第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日4．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日四、反函數(shù)DWDW第三十四頁，共三十七頁，2