優(yōu)勝教育講義小六數(shù)學(xué)第5講：遞推與歸納教師版

第五講遞推與歸納大腦體操作業(yè)完成情況知也梳理大腦體操作業(yè)完成情況知也梳理有時(shí)，我們會遇上一些具有規(guī)律性的數(shù)學(xué)問題，這就需要我們在解題時(shí)根據(jù)已知條件盡快地去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用這一規(guī)律去解決問題。例如：按規(guī)律填數(shù)：1，4，9，16，25，（ ），49，64；分析：要在括號填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，就要正確判斷出題目所呈現(xiàn)出的規(guī)律。若你仔細(xì)地觀察這一數(shù)列，就會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)之間的規(guī)律：⑴先考慮相鄰兩個(gè)數(shù)之間的差，依次是3,5,7,9,……，15；可以看到相鄰兩數(shù)的差從3開始呈現(xiàn)遞增2的規(guī)律，所以括號里的數(shù)應(yīng)是25+11=36,再看36+13=49得到驗(yàn)證。⑵如果我們換一個(gè)角度去考慮，那么我們還可以發(fā)現(xiàn)，這數(shù)列的第一項(xiàng)是1的平方，第二項(xiàng)是2的平方，第三項(xiàng)是3的平方，……，從這些事實(shí)中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是第n項(xiàng)是n的平方。那么所求的是第六項(xiàng)是62=36。我們把相鄰數(shù)之間的關(guān)系稱為遞歸關(guān)系，有了遞歸關(guān)系可以利用前面的數(shù)求出后面的未知數(shù)。像這種解題方法稱為遞推法。教學(xué)重?教學(xué)重?難皮.理解遞推法的概念。.會用遞推法解題趣味到人趣味到人例1：999??:理*9…幽的乘積中有多少個(gè)數(shù)字是奇數(shù)？10個(gè)9 10個(gè)9分析：我們可以從最簡單的9X9的乘積中有幾個(gè)奇數(shù)著手尋找規(guī)律。9X9=81,有1個(gè)奇數(shù)；99X99=99X(100-1)=9900-99=9801,有2個(gè)奇數(shù);999X999=999(1000-1)=999000-999=998001,有3個(gè)奇數(shù)；……從而可知，999…999X999…999的乘積中共有10個(gè)數(shù)字是奇數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z10個(gè)9 10個(gè)9例2：如圖所示：線段AB上共有10個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))那么這條線段上一共有多少條不同的線段?O O Q O O O O Q O同的線段?A31 32 33 34 35 36 37B 38分析:先從AB之間只有一個(gè)點(diǎn)開始，在逐步增加AB之間的點(diǎn)數(shù)，找出點(diǎn)和線段之間的規(guī)律。我們可以采用列表的方法清楚的表示出點(diǎn)和線段數(shù)之間的規(guī)律。AB之間只有1個(gè)點(diǎn)：線段有1+2=3條。AB之間只有2個(gè)點(diǎn)：線段有1+2+3=6條。AB之間只有3個(gè)點(diǎn)：線段有1+2+3+4=10條。AB之間只有4個(gè)點(diǎn)：線段有1+2+3+4+5=15條?！浑y發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AB之間有8個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45條。若再進(jìn)一步研究可得出這樣得規(guī)律，線段數(shù)二點(diǎn)數(shù)X(點(diǎn)數(shù)-1)：2。例3：計(jì)算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。分析：這是一道特殊的計(jì)算題，當(dāng)然我們可以采用分別求出每個(gè)數(shù)的立方是多少再求和計(jì)算出這題的結(jié)果。這樣的計(jì)算工作量比較大，是否可以采用其它較簡便的方法計(jì)算呢？下面我們就來研究這個(gè)問題。13+23=(1+2)2； 13+23+33=(1+2+3)2； 13+23+33+43=(1+2+3+4)2；……這樣我們可以容易地得至U13+23+33+43+53+63+73+83+93+103=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)2=552=3025通過這個(gè)例題我們可以得到13+23+33++……+n3=(1+2+3+…+n)2例4：2000個(gè)學(xué)生排成一行，依次從左到右編上1?2000號，然后從右到左按一、二報(bào)數(shù)，報(bào)一的離開隊(duì)伍，剩下的人繼續(xù)按一、二報(bào)數(shù)，報(bào)一的人離開隊(duì)伍，……按這個(gè)規(guī)律如此下去，直至當(dāng)隊(duì)伍只剩下一人為止。問：最后留下的這個(gè)人原來的號碼是多少？分析“我們通過前幾次留在隊(duì)伍中的學(xué)生的編號找出規(guī)律。第一次留下的學(xué)生編號是：2,4,6,8,10,……；都是2的倍數(shù)。即21的倍數(shù)；第二次留下的學(xué)生編號是：4,8,12,16,20,……；都是4的倍數(shù)，即22的倍數(shù)；第一次留下的學(xué)生編號是：8,16,24,32,40,……；都是8的倍數(shù)。即23的倍數(shù)；……由于210=1024<2000<2口=2048；這樣可知，最后留下學(xué)生的號碼一定是1024。例5：圓周上兩個(gè)點(diǎn)將圓周分為兩半，在這兩點(diǎn)上寫上數(shù)1；然后將兩段半圓弧對分，在兩個(gè)分點(diǎn)上寫上相鄰兩點(diǎn)上的數(shù)之和；再把4段圓弧等分，在分點(diǎn)上寫上相鄰兩點(diǎn)上的數(shù)之和，如此繼續(xù)下去，問第6步后，圓周上所有點(diǎn)上的之和是多少？分析：先可以采用作圖嘗試尋找規(guī)律。第一步，圓周上有兩個(gè)點(diǎn)，第二步有四個(gè)點(diǎn)，第三步有八個(gè)點(diǎn)，第四步有十六個(gè)點(diǎn)，…，第六步有32個(gè)點(diǎn)。因?yàn)閱栴}是求圓周上所有數(shù)的和，所以我們不必去考慮每一步具體增加了哪些數(shù)，只須知道每一步增加數(shù)的總和是多少。第一步：圓周上有兩個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)數(shù)的和是1+1=2；第二步：圓周上有四個(gè)點(diǎn)，四個(gè)數(shù)的和是1+1+2+2=6；增加數(shù)之和恰好是第一步圓周上所有數(shù)之和的2倍。第三步：圓周上有八個(gè)點(diǎn)，八個(gè)數(shù)的和是1+1+2+2+3+3+3+3=18,增加數(shù)之和恰好是第二步數(shù)圓周上所有數(shù)之和的2倍。第四步：圓周上有十六個(gè)點(diǎn)，十六個(gè)數(shù)的和是1+1+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5=54,增加數(shù)之和恰好是第三步數(shù)圓周上所有數(shù)之和的2倍。……這樣我們可以知道，圓周上所有數(shù)之和是前一步圓周上所有數(shù)之和的3倍。用遞推法關(guān)系表示。設(shè)an為第n步后得出的圓周上所有數(shù)之和，則an=3Xan7利用此式可以得到：a=3Xa=3X3a=3X3X3a=……=3X3X?….：X3an n-1 n-2 n-3 '—(n-1)■個(gè)8—，1因?yàn)閍「2,所以：附注3*…二*綱=3=*2=486。(n—1)個(gè)3例6：4個(gè)人進(jìn)行籃球訓(xùn)練，互相傳球接球，要求每個(gè)人接球后馬上傳給別人，開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，第五次傳球后，球又回到甲手中，問有多少種傳球方式？分析：設(shè)第n次傳球后，球又回到甲手中的傳球方式有a種。可以想象前n-1次傳球，如果每一次傳球都任選其他三人中的一人進(jìn)行傳球，即每次傳球都有3種可能，由乘法原理，共有3X3X……X3=3(種)傳球方法。 '(;工(n—1)個(gè)3這些傳球方式并不是符合要求的，它們可以分為兩類，一類是第n-1次恰好傳到甲手中，這有an1傳法，它們不符合要求，因?yàn)檫@樣第n次無法再把球傳給甲；另一類是第n-1次傳球，，球不在甲手中，第n次持球人再將球傳給甲，有嗎公法」據(jù)加法原理，有a+a=3X3X……X3=3n-1。 (n—1)個(gè)3n-1n由于甲是發(fā)球者，一次傳球后球又回到甲手中的傳球方式是不存在的，所以a「0。利用遞推關(guān)系可以得到 a2=3-0=3,aj3X3-3=6,a4=3X3X3-6=21,a4=3X3X3X3-21=60o這說明經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法有60種。當(dāng)然這題也可以利用列表法求解。

我們可以這樣想，第n次傳球后，球不在甲手中的傳球方法，第n+1次傳球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次傳球后，球不在甲手中的傳法共有多少種。從圖中可以看出經(jīng)過四次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法共有60種。當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)第nF傳球-持三田十二-的傳王主方法a球不在甲手中，的傳球方法"1-.加2---各?如21^丘山*2J3.1郎183*A.100條直線最多能把一個(gè)平面分成個(gè)部分。答案：5051.熊大叔是一個(gè)賣燒餅的師傅,他用一個(gè)平底鍋煎餅,他是這樣煎餅的:每次只能放兩個(gè)餅，每個(gè)餅正反面都要煎,煎每一面都要1分鐘，問他煎10個(gè)這樣的餅需要分鐘。答案：10.上一段11階樓梯,規(guī)定每一步只能上一級或兩級,那么要登上第11級臺階有種不同的走法。答案：144.請先計(jì)算11X11,111X111,1111X1111，你能根據(jù)以上結(jié)果，不經(jīng)過計(jì)算而直接寫出11111111X11111111=。答案：123456787654321.我們知道三角形的內(nèi)角和是180度,長方形的內(nèi)角和是360度，那么正十邊形的內(nèi)角和是 度。答案：1440B.有一列數(shù),第一個(gè)數(shù)是0.第二個(gè)數(shù)是100,從第三個(gè)數(shù)開始,每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的平均數(shù),問第2005個(gè)數(shù)的整數(shù)部分是。答案：66.小華過生日，邀請了班上的16名同學(xué)參加他的生日聚會，小華買了一個(gè)單層的大蛋糕，要保證每個(gè)人都能吃到蛋糕，問至少要切刀。答案：5.一對剛出生的雌雄小兔，在喂養(yǎng)兩個(gè)月后就生下一對雌雄小兔，并且以后每個(gè)月都能生一對雌雄小兔,張大伯現(xiàn)在喂養(yǎng)一對雌雄小兔,一年后一共有對小兔。答案：144

.兩個(gè)自然數(shù)的差是5,它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差是203,則這兩個(gè)數(shù)的和是。答案：29.兩個(gè)自然數(shù)它們的最小公倍數(shù)是60。那么它們的差有種可能。答案：23.一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進(jìn)3米，兔子一跳前進(jìn)2.1米，狗跳3次的時(shí)間兔子跳4次。兔子跑出米遠(yuǎn)將被獵狗追上。答案：280.甲、乙二人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；兩人相向而行，6分鐘可相遇。已知乙每分鐘行50米，求A，B兩地的距離是米。答案：780.小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時(shí)、48千米/時(shí)和42千米/時(shí)，小轎車和大客車從甲地、面包車從乙地同時(shí)相向出發(fā),面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。問：甲、乙兩地相距千米遠(yuǎn)。答案：270.A、B兩輛汽車同時(shí)從甲、乙兩站相對開出，兩車第一次在距甲站32千米處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)行駛，各自到達(dá)乙、甲兩站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64千米處相遇，甲、乙兩站間相距千米。答案：80.AB兩地相距98千米，甲從A地出發(fā)汽車速度為30千米/時(shí)，乙從B地出發(fā)開車速度為40千米/時(shí)，問甲乙第三次迎面相遇距離A地米遠(yuǎn)。答案：14當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測.平面上有10條直線，這10條直線最多有多少個(gè)交點(diǎn)？答案：45.小明有5塊水果糖，媽媽規(guī)定：每天只能吃一塊或兩塊，小明吃完這5塊糖有多少種不同方法？答案：8.小蜜蜂通過蜂巢房間，規(guī)定：只能從小號房間進(jìn)入大號房間，問小蜜蜂由1號房間走到8號房間有多少種方法？（2007年東直門中學(xué)試題）

答案：21答案：21. (21012)3=( )10答案：194 3 10.11(a?+b2)=a0b 求a0b=(答案：803.求1X2X3X4X……X50末尾有多少個(gè)連續(xù)的零?答案：12當(dāng)堂總結(jié)1.下列數(shù)是按彖庭作業(yè)一定規(guī)律排列的。當(dāng)堂總結(jié)1.下列數(shù)是按彖庭作業(yè)一定規(guī)律排列的。3、8、15、24、35、48、63、……，那么，它的第36個(gè)數(shù)是（ ）。答案：這列數(shù)規(guī)律是第n個(gè)數(shù)是（n+1）2—1。所以第36個(gè)數(shù)是（36+1）2—1=1368。2.圖中最上面的空格中應(yīng)填（2.圖中最上面的空格中應(yīng)填（）。.&二*X遛二33的乘積中有幾個(gè)數(shù)字是奇數(shù)？10個(gè)3答案：10個(gè).把一張長16厘米、寬8厘米的長方形紙對折后裁成兩半，再把其中的一張對折并裁成兩半，…，繼續(xù)這樣裁下去，直到得到兩個(gè)邊長為1厘米的正方形紙片為止。一共需要裁（ ）次。答案：每次裁一次面積減少一半，16X8=27,所以需要裁7次。5.如圖，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，最短路線共有多少條?5.如圖，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，最短路線共有多少條?答案：如圖，共有10條最短路線。&10.W山W.將一根繩子連續(xù)對折3次，然后每隔一定長度剪一刀，共剪了6刀。這樣原來的繩子被剪成（ ）段。答案：考慮繩子被對折后形成的彎。①繩子對折3次，繩子共折成8段，其中彎有7個(gè)彎。②繩子被剪6刀，即每段繩子被剪成7段，這樣繩子共被剪成56段，由于有7個(gè)彎，把兩段繩子連在一起，所以原來的繩子被剪成56—7=49段。.在一張四邊形紙上共有10個(gè)點(diǎn)，如果把四邊形的頂點(diǎn)算在一起，則一共有14個(gè)點(diǎn)。已知這些點(diǎn)中的任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一直線上。按照下面規(guī)定把這張紙片剪成一些三角形：⑴每個(gè)三角形的頂點(diǎn)都是這14個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)；⑵每個(gè)三角形內(nèi)都不再有這些點(diǎn)。那么，這張四邊形的紙最多可以剪出（ ）個(gè)三角形。答案：在10個(gè)點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，與四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成4個(gè)三角形。再在剩下的9個(gè)點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，它必定落在某一個(gè)三角形中，只能與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三個(gè)三角形，即增加2個(gè)三角形。以后各點(diǎn)情況都與此相同。除了第一點(diǎn)增加4個(gè)三角形外，其余各點(diǎn)都只增加2個(gè)三角形。所以共可以剪出4+（10-1）X2=22（個(gè)）三角形。.某公共汽車線路上共有15個(gè)車站（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站）。在每個(gè)站上車的人中，恰好在以后各站下去一個(gè)。要使行駛過程中每位乘客都有座位，車上至少要備有多少個(gè)座位？答案：車站，1-*3”47“%上車J激14-1軍1力1L10u%8X&(下車/都%1-%4工%&工犀%%說狐44.秣毒抖汕從表中可以看出車上人數(shù)最多是56人，所以車上至少要準(zhǔn)備56個(gè)座位。.在平面內(nèi)畫五條直線和一