正方形的性質(zhì) 省賽一等獎(jiǎng)

3第1課時(shí)正方形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1利用正方形的性質(zhì)求解與線(xiàn)段有關(guān)的問(wèn)題1．如圖1－3－1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE＝4，EC＝2，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．圖1－3－12．如圖1－3－2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F(xiàn)為垂足，那么FC＝________．圖1－3－23．如圖1－3－3，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的一點(diǎn)，且BF⊥CE，垂足為G.求證：CE＝BF.圖1－3－3知識(shí)點(diǎn)2利用正方形的性質(zhì)求解與角有關(guān)的問(wèn)題4．如圖1－3－4，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊三角形ADE，則∠AEB的度數(shù)為()圖1－3－4A．10° B．° C．15° D．20°5．如圖1－3－5，E為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上的一點(diǎn)，且BE＝BC，則∠DCE＝________°.圖1－3－56．教材習(xí)題第2題變式題如圖1－3－6，四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形．(1)求證：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度數(shù)．圖1－3－6知識(shí)點(diǎn)3利用正方形的性質(zhì)求解與面積有關(guān)的問(wèn)題7．若正方形的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為4，則這個(gè)正方形的面積是()A．8 B．4eq\r(2) C．8eq\r(2) D．168．如圖1－3－7，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，O1，O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是________．圖1－3－79．如圖1－3－8，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面積．圖1－3－8知識(shí)點(diǎn)4正方形對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用10．如圖1－3－9，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O，B的坐標(biāo)分別是(0，0)，(2，0)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是()圖1－3－9A．(1，1) B．(－1，－1)C．(1，－1) D．(－1，1)11．正方形有________條對(duì)稱(chēng)軸．12．如圖1－3－10所示，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋PE的最小值是________．圖1－3－1013．如圖1－3－11，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC的度數(shù)為()圖1－3－11A．45° B．55° C．60° D．75°14．如圖1－3－12，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC和CD上．有下列結(jié)論：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF.其中正確的個(gè)數(shù)為()圖1－3－12A．0 B．1 C．2 D．315．如圖1－3－13，邊長(zhǎng)分別為4和8的正方形ABCD和正方形CEFG并排放在一起，連接BD并延長(zhǎng)交EG于點(diǎn)T，交FG于點(diǎn)P，則GT的長(zhǎng)為_(kāi)_______．圖1－3－1316．如圖1－3－14，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線(xiàn)OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對(duì)角線(xiàn)OB2為邊作正方形OB2B3C3，…，以此類(lèi)推，則正方形OB2017B2018C2018的頂點(diǎn)B2018的坐標(biāo)是________．圖1－3－1417．如圖1－3－15，在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DE＝CF，連接DF，AE，AE的延長(zhǎng)線(xiàn)交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥DF.圖1－3－1518．如圖1－3－16①，一個(gè)等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊分別與正方形ABCD的兩條邊重合．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O(O也是BD的中點(diǎn))按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．(1)如圖②，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過(guò)觀(guān)察或測(cè)量BM，F(xiàn)N的長(zhǎng)度，猜想BM，F(xiàn)N滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(2)當(dāng)三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時(shí)，線(xiàn)段FE的延長(zhǎng)線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)M，線(xiàn)段BD的延長(zhǎng)線(xiàn)與GF的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)N，此時(shí)，(1)中的猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1－3－16

教師詳解詳析1．2eq\r(13)\r(2)－1[解析]∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝1，∠D＝∠B＝90°，∴AC＝eq\r(2).易證△AFE≌△ADE，∴AF＝AD＝1，∴FC＝AC－AF＝eq\r(2)－1.3．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°，∴∠ABF＋∠CBG＝90°.又∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∵∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴CE＝BF.4．C5．[解析]∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠ABC＝90°.∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，∴∠DBC＝45°.又∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC＝eq\f(1,2)×(180°－45°)＝°，∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝90°－°＝°.6．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形，∴BA＝BC＝DC＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，∵AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝eq\f(1,2)×(180°－30°)＝75°.∵∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°－75°＝15°，同理可得∠ADE＝15°，∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.7．A8．2[解析]每?jī)蓚€(gè)正方形按圖中方式擺放，則重疊部分的面積相等，且都等于正方形面積的eq\f(1,4)(即以正方形的邊長(zhǎng)為斜邊的等腰直角三角形的面積)．9．解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝BC＝DC，∠D＝∠B＝90°.∵E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)，∴DE＝eq\f(1,2)DC，BF＝eq\f(1,2)BC，∴DE＝BF.在△ADE和△ABF中，∵AD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BF，∴△ADE≌△ABF(SAS)．(2)由題知△ABF，△ADE，△CEF均為直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝eq\f(1,2)×4＝2，CE＝CF＝eq\f(1,2)×4＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－eq\f(1,2)×4×2－eq\f(1,2)×4×2－eq\f(1,2)×2×2＝6.10．C[解析]連接AC，∵四邊形OABC是正方形，∴AC，OB所在直線(xiàn)是正方形OABC的對(duì)稱(chēng)軸，AC＝OB＝2，∴點(diǎn)A，C的橫坐標(biāo)均為1，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為－1，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，－1)．故選C.11．4[解析]正方形對(duì)邊中點(diǎn)連線(xiàn)所在直線(xiàn)是其兩條對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)是其另外兩條對(duì)稱(chēng)軸，共4條．12．1014．C15．2eq\r(2)[解析]∵BD，GE分別是正方形ABCD，正方形CEFG的對(duì)角線(xiàn)，∴∠ADB＝∠CGE＝45°，∴∠GDT＝∠ADB＝45°，∴∠DTG＝180°－∠GDT－∠CGE＝180°－45°－45°＝90°，∴△DGT是等腰直角三角形．∵兩正方形的邊長(zhǎng)分別為4，8，∴DG＝8－4＝4，∴GT＝eq\f(\r(2),2)×4＝2eq\r(2).16．(0，21009)[解析]∵正方形OA1B1C1的邊長(zhǎng)為1，∴OB1＝eq\r(2)，點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(1，1)．∵正方形OB1B2C2是以正方形OA1B1C1的對(duì)角線(xiàn)OB1為邊，∴OB2＝2，∴點(diǎn)B2的坐標(biāo)為(0，2)．同理可知OB3＝2eq\r(2)，∴點(diǎn)B3的坐標(biāo)為(－2，2)．同理可知OB4＝4，點(diǎn)B4的坐標(biāo)為(－4，0)．點(diǎn)B5的坐標(biāo)為(－4，－4)，點(diǎn)B6的坐標(biāo)為(0，－8)，B7(8，－8)，B8(16，0)，B9(16，16)，B10(0，32)．…由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過(guò)8次作圖后，點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與第一次坐標(biāo)符號(hào)相同，每次正方形的邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的eq\r(2)倍．∵2018÷8＝252……2，∴點(diǎn)B2018的橫、縱坐標(biāo)符號(hào)與點(diǎn)B2的橫、縱坐標(biāo)符號(hào)相同，橫坐標(biāo)為0，縱坐標(biāo)為正值，∴點(diǎn)B2018的坐標(biāo)為(0，21009)．17．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OD＝OC，∠AOE＝∠DOF＝90°.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF.在△AOE和△DOF中，∵OA＝OD，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，∴△AOE≌△DOF(SAS)，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，∴∠EMD＝90°，即AM⊥DF.18．解：(1)猜想：BM＝FN.證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，O是BD，EF的中點(diǎn)，∴∠ABD＝∠F＝45°，OB＝OF.在△OBM與△OFN中