2022-2023學(xué)年四川省宜賓市敘州區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題 【含答案】

敘州區(qū)二中2022-2023學(xué)年高二下期開(kāi)學(xué)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知某單位有職工120人，其中男職工有90人，現(xiàn)采用分層抽樣（按男、女分層）抽取一個(gè)樣本，若已知樣本中有9名女職工，則樣本的容量為（）A.44 B.40 C.36 D.沒(méi)法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)樣本容量為，則由題意得，解得，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2.已知命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可找到命題的否定.【詳解】命題的否定為：，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否定，特稱命題的否定是全稱命題是解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.3.準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合拋物線的定義求得正確答案.【詳解】由于拋物線的準(zhǔn)線方程是，所以拋物線的開(kāi)口向左，設(shè)拋物線的方程為，則，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B4.已知變量滿足約束條件，則的最大值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，然后數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】畫(huà)出可行域如圖所示，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，取得最大值，由，可得，即，所以的最大值為.故選：C.5.輾轉(zhuǎn)相除法又叫歐幾里得算法，其算法的程序框圖如圖所示.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的，，則輸出的的值為（）A.2 B.6 C.12 D.24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖得到：輸出的為和的最大公約數(shù)，代入選項(xiàng)即可求出答案.【詳解】由程序框圖知：輸出的為和的最大公約數(shù)，當(dāng)時(shí)，并不是和的公約數(shù)，故舍去.當(dāng)時(shí)，是和的公約數(shù)，故和的最大公約數(shù)為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，弄清程序框圖表示的意義為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.6.直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知，根據(jù)題中給出的圓的方程，寫(xiě)出圓心坐標(biāo)與半徑，然后求解圓心到直線的距離，最后利用垂徑定理可直接求解弦長(zhǎng).【詳解】由已知，圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.故選：A.7.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則甲獲勝的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式和對(duì)立事件的概率公式直接求解．【詳解】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，記事件兩人下成和棋，事件乙獲勝，事件甲獲勝，則事件和事件為互斥事件，且事件與事件互為對(duì)立事件，所以，甲獲勝的概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式和對(duì)立事件的概率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8.已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.8 B. C. D.與有關(guān)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓：可求得a，由橢圓的定義可得，，并且，進(jìn)而即可求得的周長(zhǎng)．【詳解】由橢圓：，則，即，又橢圓的定義可得，，且，所以的周長(zhǎng)為．故選：C．9.已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】計(jì)算圓心距，和比較大小，即可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)是，半徑，圓的圓心坐標(biāo)是，半徑，,所以圓心距，所以兩圓相外切.故選：C10.已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則，或其補(bǔ)角就是異面直線所成的角，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1，則，，．故選B．考點(diǎn)：異面直線所成的角．【名師點(diǎn)睛】求異面直線所成的角的關(guān)鍵是通過(guò)平移使其變?yōu)橄嘟恢本€所成角，但平移哪一條直線、平移到什么位置，則依賴于特殊的點(diǎn)的選取，選取特殊點(diǎn)時(shí)要盡可能地使它與題設(shè)的所有相減條件和解題目標(biāo)緊密地聯(lián)系起來(lái)．如已知直線上的某一點(diǎn)，特別是線段的中點(diǎn)，幾何體的特殊線段．11.已知，若點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線方程為，圓的圓心為，半徑為1，，，由拋物線定義知：點(diǎn)P到直線的距離d=∴的最小值即到準(zhǔn)線距離：∴的最小值為故選B12.已知雙曲線C與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且其中一條漸近線方程為，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】比較焦點(diǎn)坐標(biāo)，再比較漸近線方程可得．【詳解】已知雙曲線的半焦距為，A中，B中，C中，D中，只有D的焦點(diǎn)與已知雙曲線相同，D中雙曲線的漸近線方程也為，滿足題意．故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.若不等式與關(guān)于x不等式＜0的解集相同，則＝_____【答案】【解析】【分析】先解絕對(duì)值不等式，利用韋達(dá)定理列出等式，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由有，由于絕對(duì)值不等式的解集和的解集相同，故，是一元二次方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，兩式相除得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查一元二次不等式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14.空間四點(diǎn)滿足，，，，則_______．【答案】0【解析】【分析】由代入，再由代入進(jìn)一步化簡(jiǎn)整理即可.【詳解】因?yàn)?故答案為0【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，靈活運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算公式即可，屬于?？碱}型.15.已知一圓錐底面直徑與母線長(zhǎng)相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐底面圓半徑為，球的半徑為，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出與的關(guān)系，再計(jì)算球與圓錐的表面積和它們的比值．【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓半徑為，球的半徑為，由題意知，圓錐軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，球的大圓是該該等邊三角形的內(nèi)切圓，所以，，，所以球與圓錐的表面積之比為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐與球體的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問(wèn)題，也考查了表面積計(jì)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．16.已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，M為上的三等分點(diǎn)，且滿足，若，則該橢圓的離心率e的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)，求出點(diǎn)，再由可得，代入橢圓方程可得，使方程在上有解，利用零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】設(shè)，，則，，，，，，，，，，又，，，存在，存在，，顯然恒成立，又，在上有解，令，對(duì)稱軸，且不在上，，，解得，即故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，考查了計(jì)算能力.三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知命題p：曲線與x軸相交于不同的兩點(diǎn)；命題q：橢圓的焦點(diǎn)在y軸上．判斷命題p的否定的真假；若“p且q”是假命題，“p或q“是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）為假；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)判別式顯然成立，即可判斷出結(jié)果；（2）先求出為真時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍，再由“且”是假命題，“或“是真命題，判斷出、的真假，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】（1）由可得顯然成立，故命題為真，為假；（2）由已知得，為真時(shí)，，所以為假時(shí)，或因?yàn)椤扒摇笔羌倜}，“或“是真命題，由(1)知為真，所以真假，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合命題，由命題的真假求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.18.某校從高一新生開(kāi)學(xué)摸底測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取人的成績(jī)，按成績(jī)分組并得各組頻數(shù)如下（單位：分）：，；，；，；，；，；，．成績(jī)分組頻數(shù)頻率頻率/組距合計(jì)（1）列出頻率分布表；（2）畫(huà)出頻率分布直方圖；（3）估計(jì)本次考試成績(jī)的中位數(shù)（精確到）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）由題意能列出頻率分布表；（2）由頻率分布表能畫(huà)出頻率分布直方圖；（3）由頻率分布直方圖得：的頻率為，的頻率為，由此能估計(jì)本次考試成績(jī)的中位數(shù)．【詳解】（1）由題意列出頻率分布表如下：成績(jī)分組頻數(shù)頻率頻率/組距合計(jì)（2）畫(huà)出頻率分布直方圖，如下：（3）由頻率分布直方圖得：的頻率為，的頻率為，估計(jì)本次考試成績(jī)的中位數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表、頻率分布直方圖、中位數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．19.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，為棱的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若側(cè)面底面，且，；①求與平面所成的角；②在棱上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離為，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②存在點(diǎn)，【解析】【分析】（1）取線段的中點(diǎn)，連接，證明為平行四邊形，即可證明結(jié)論；（2）①以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，求出平面的一個(gè)法向量根據(jù)線面夾角向量公式即可求解；②設(shè)，則向量，根據(jù)點(diǎn)到直線距離向量公式解出參數(shù)，即可求出結(jié)果．【小問(wèn)1詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，在中，分別為的中點(diǎn).，且又底面是菱形，且為的中點(diǎn)，，且，，且四邊形為平行四邊形，又平面平面平面；【小問(wèn)2詳解】①在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，由平面底面得平面，菱形中，則，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，是正三角形，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，所以，設(shè)直線與平面所成的平面角為，且，則，故直線與平面所成的角為②設(shè)即化簡(jiǎn)得，故（舍負(fù)）綜上，存在點(diǎn)，20.甲乙兩地相距，貨車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)，已知貨車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本（單位：圓）由可變本和固定組成組成，可變成本是速度平方的倍，固定成本為元.（1）將全程勻速勻速成本（元）表示為速度的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）若，為了使全程運(yùn)輸成本最小，貨車(chē)應(yīng)以多大的速度行駛？【答案】(1)，定義域?yàn)?(2)當(dāng)貨車(chē)以的速度行駛，全程運(yùn)輸成本最小.【解析】【詳解】試題分析：（1）求出汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間，根據(jù)貨車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可得全程運(yùn)輸成本，及函數(shù)的定義域；（2）利用基本不等式可得結(jié)論．試題解析：（1）可變成本為，固定成本為元，所用時(shí)間為，所以，即，定義域?yàn)?（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，答：當(dāng)貨車(chē)以的速度行駛，全程運(yùn)輸成本最小.21.已知拋物線C：過(guò)點(diǎn)求拋物線C的方程；設(shè)F為拋物線C的焦點(diǎn)，直線l：與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）；（2）12【解析】【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線，進(jìn)行求解即可．（2）聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解．【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€：過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為．（2）由拋物線方程可知，直線與軸交于點(diǎn)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去可得，所以，所以，所以的面積為．【點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系，可通過(guò)聯(lián)立直線方程和拋物線方程消去（或）得到關(guān)于（或）的方程，再利用韋達(dá)定理簡(jiǎn)化目標(biāo)代數(shù)式，也可以直接求出相應(yīng)的根，再考慮與交點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．22.已知橢圓，離心率為分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)以及上頂點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，求此時(shí)的弦長(zhǎng).（3）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，且與軸垂直，為直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與橢圓相交于異于的點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)與的面積之差取得最大值時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）由題意列出方程組解出即可；（2）根據(jù)的坐標(biāo)，計(jì)算直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，解出,利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可.（3）根據(jù)題意直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程，聯(lián)立解出點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性得出點(diǎn)，在聯(lián)立直線與橢圓方程，解出點(diǎn)，然后求出直線方程，令，得，從而得到，由圖可知：與的面積之差為，利用三角形面積公式寫(xiě)出，利用基本不等式求出最值，從而得直線的斜率.【小問(wèn)1詳解】由橢圓的離心率為，所以，①又，②設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線為：，代入中，結(jié)合②化簡(jiǎn)得：，所以過(guò)左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線