【課件】余弦定理課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

6.4.3余弦定理、正弦定理

（第1課時）

第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)一：提出解三角形問題引入情境：如圖所示，設(shè)無法到達的兩個山峰的頂點分別為

.其中，利用現(xiàn)代的測量工具可以測得地面上可到達的一點和其它任意一點的距離，也可以測得地面上可到達的一點和其它任意兩點連線的夾角.那么我們?nèi)绾潍@得

兩點間的距離呢？

在地面上任取一點

，三點

可以構(gòu)成一個三角形，然后借助三角形的邊角關(guān)系來求解.通過測量，可以得到兩邊

的長度和

的大小.第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)一：提出解三角形問題引入情境：如圖所示，設(shè)無法到達的兩個山峰的頂點分別為

.其中，利用現(xiàn)代的測量工具可以測得地面上可到達的一點和其它任意一點的距離，也可以測得地面上可到達的一點和其它任意兩點連線的夾角.那么我們?nèi)绾潍@得

兩點間的距離呢？

在地面上任取一點

，三點

可以構(gòu)成一個三角形，然后借助三角形的邊角關(guān)系來求解.通過測量，可以得到兩邊

的長度和

的大小.【問題1】能否將這一問題進一步抽象成數(shù)學(xué)問題？引導(dǎo)語：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過用向量方法解決幾何問題，通常要先用向量表示相應(yīng)幾何元素，通過向量運算研究其關(guān)系，并得到相應(yīng)結(jié)論.【問題2】在

中，已知

和

，求線段的

長度.第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題引導(dǎo)語：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過用向量方法解決幾何問題，通常要先用向量表示相應(yīng)幾何元素，通過向量運算研究其關(guān)系，并得到相應(yīng)結(jié)論.【問題2】在

中，已知

和

，求線段的

長度.探究活動1：請同學(xué)們以小組合作的形式，嘗試回答下列問題.第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題【問題2】在

中，已知

和

，求線段的

長度.探究活動1：請同學(xué)們以小組合作的形式，嘗試回答下列問題.追問1：畫圖并回答，如何用向量表示問題中的幾何元素？追問2：幾何問題中出現(xiàn)線段長度時，可以轉(zhuǎn)化成向量的哪種運算？追問3：如何在向量運算中，運用已知量中的夾角？追問4：如何通過以上向量運算，解決這一幾何問題？第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題【問題2】在

中，已知

和

，求線段的

長度.探究活動1：請同學(xué)們以小組合作的形式，嘗試回答下列問題.追問1：畫圖并回答，如何用向量表示問題中的幾何元素？第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題【問題2】在

中，已知

和

，求線段的

長度.追問2：幾何問題中出現(xiàn)線段長度時，可以轉(zhuǎn)化成向量的哪種運算？可以轉(zhuǎn)換成向量的模，即線段的

長度為

的模，線段

的長度為

的模，線段

的長度為

的模，即

.第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題【問題2】在

中，已知

和

，求線段的

長度.追問2：幾何問題中出現(xiàn)線段長度時，可以轉(zhuǎn)化成向量的哪種運算？可以轉(zhuǎn)換成向量的模，即線段的

長度為

的模，線段

的長度為

的模，線段

的長度為

的模，即

.第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題【問題2】在

中，已知

和

，求線段的

長度.追問3：如何在向量運算中，運用已知量中的夾角？向量數(shù)量積運算涉及夾角，

與

的夾角為

的補角，故

.

為

和

的夾角，故

.第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題【問題2】在

中，已知

和

，求線段的

長度.追問4：如何通過以上向量運算，解決這一幾何問題？第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題【問題2】在

中，已知

和

，求線段的

長度.追問4：如何通過以上向量運算，解決這一幾何問題？第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題【問題3】問題2中，已知量及未知量分別為三角形中的哪些元素？有何關(guān)系？第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題【問題2】在

中，已知

和

，求線段的

長度.【問題3】問題2中，已知量及未知量分別為三角形中的哪些元素？有何關(guān)系？

一般地，把三角形的三個角

和它們的對邊

叫做三角形的元素.像這樣，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.第一階段推導(dǎo)余弦定理環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題【問題2】在

中，已知

和

，求線段的

長度.引導(dǎo)語：

又可表示為

，這就是余弦定理的內(nèi)容.【問題4】能否用文字語言和符號語言表述余弦定理？第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理引導(dǎo)語：

又可表示為

，這就是余弦定理的內(nèi)容.【問題4】能否用文字語言和符號語言表述余弦定理？追問1：如圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？追問2：用文字語言和符號語言分別表述定理？追問3：余弦定理的公式結(jié)構(gòu)具有什么樣的特征？第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理【問題4】能否用文字語言和符號語言表述余弦定理？追問1：如圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理【問題4】能否用文字語言和符號語言表述余弦定理？追問2：用文字語言和符號語言分別表述定理？文字語言：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.符號語言：在

中，

則：

；

；第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理【問題4】能否用文字語言和符號語言表述余弦定理？追問3：余弦定理的公式結(jié)構(gòu)具有什么樣的特征？

每一個等式都有四個量，即三條邊和一個角；

等式左側(cè)為其中一邊的平方；

等式右側(cè)為另外兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍；

其中左側(cè)的邊所對的角為等式右邊的角.第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理探究活動2：小組討論余弦定理在解三角形中有哪些應(yīng)用.【問題5】余弦定理在三角形中可以解決哪些問題？【問題6】余弦定理和勾股定理之間有什么關(guān)系？第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理探究活動2：小組討論余弦定理在解三角形中有哪些應(yīng)用.【問題5】余弦定理在三角形中可以解決哪些問題？追問1：余弦定理涉及幾個元素？可以用于解決幾類問題？追問2：結(jié)合三角形全等判定定理回答，何時三角形具有唯一確定性？利用手中工具驗證一下.（三根定長吸管，及一個三角板）【問題6】余弦定理和勾股定理之間有什么關(guān)系？追問1：若

不為直角，

與

間又有什么關(guān)系？第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理【問題5】余弦定理在三角形中可以解決哪些問題？追問1：余弦定理涉及幾個元素？可以用于解決幾類問題？

由余弦定理中有四個元素可知，可以進行知三推一，已知三邊求角，或者已知兩邊一角求邊.因此，余弦定理又有形式：

；

；

.第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理【問題5】余弦定理在三角形中可以解決哪些問題？追問2：結(jié)合三角形全等判定定理回答，何時三角形具有唯一確定性？利用手中工具驗證一下.

已知兩邊及其夾角求第三邊時，三角形唯一確定，與其有關(guān)的判定定理為

.

已知三邊求角時，三角形唯一確定，與其有關(guān)的判定定理為.第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理【問題5】余弦定理在三角形中可以解決哪些問題？追問2：結(jié)合三角形全等判定定理回答，何時三角形具有唯一確定性？利用手中工具驗證一下.

在已知兩邊及其對角時，三角形可能不唯一，如圖所示.

第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理【問題6】余弦定理和勾股定理之間有什么關(guān)系？追問1：若

不為直角，

與

間又有什么關(guān)系？

第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理【問題6】余弦定理和勾股定理之間有什么關(guān)系？追問1：若

不為直角，

與

間又有什么關(guān)系？若為

直角，則

，故

.因此，余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理也是余弦定理的特例.若

為銳角，則

，根據(jù),可知

若

為鈍角，則

，根據(jù),可知

第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：引導(dǎo)語：請同學(xué)們解決下列問題，并驗證探究2.

第三階段應(yīng)用余弦定理環(huán)節(jié)五：余弦定理，由探究到應(yīng)用引導(dǎo)語：