2.1 離散型隨機變量及分布列（教師版）

2.1離散型隨機變量及分布列【基礎(chǔ)梳理】【典型例題】題型一概念辨析例1】(1201·芝第高中高期（先拋一質(zhì)均的子5,么能作為隨機變量的是 ( )A．出現(xiàn)7點的次數(shù) B．出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)C．出現(xiàn)2點的次數(shù) D．出現(xiàn)的點數(shù)大于2小于6的次數(shù)(2)（2020·全國高三專題練習(xí)）袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為離散型隨機變量的是（ ）A．至少取到1個白球 B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù) D．取到的球的個數(shù)(3)（2019·湖北省松滋市第一中學(xué)高二課時練習(xí)）從標(biāo)1～10的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為ξ，那么隨機變量ξ可能取的值有（ ）A．17個 B．18個C．19個 D．20個【答案】(1)A(2)C(3)A【解析】(1)拋擲一枚骰子不可能出現(xiàn)7點，出現(xiàn)7點為不可能事件出現(xiàn)7點的次數(shù)不能作為隨機變量本題正確選項：ACX的取值2,3C.21~1012~10X3~11，同理一XX3~1917【舉一反三】（208）1032（ ）A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率【答案】C【解析】逐一考查所給的選項：A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個常量而不是變量,中的量也是一個定值,而中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2,是隨機變本題選擇選項.（209西昌中二末下隨試的果不用散隨變表的是( A．將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點數(shù)之和B6D．從含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，其中抽到次品的件數(shù)【答案】C【解析】隨機取值的變量就是隨機變量，隨機變量分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量兩種，隨機變量的函數(shù)仍為隨機變量，有些隨機變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個,這種隨機變量稱為“離散型隨機變量”，題目中A,B,D都屬于離散型隨機變量，而C電視機的使用壽命屬于連續(xù)型隨機變量，故選C.3.寫出下列隨機變量可能取的值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果．1051835【答案】見解析【解析】(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為次取到的均是紅球，(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.X＝0表示取5個球全是紅球；X＝1表示取1個白球，4個紅球；X＝2表示取2個白球，3個紅球；X＝3表示取3個白球，2個紅球．題型二兩點分布21052滿足兩點分布，并求分布列．【答案】見解析10520，兩球非全紅，

C2 3＝ 則1)＝＝，C7151，兩球全紅， 2C7153 4∴P(X＝0)＝1－7

＝，∴X的分布列為7X01P4737【思路總結(jié)】【思路總結(jié)】兩步法判斷一個分布是否為兩點分布看取值：隨機變量只取兩個值：01.【舉一反三】110012表2的分布列．【答案】見解析C2C99＝C2100

49，P(X＝1)＝1－50

49＝150

.所以隨機變量X的分布列為X01P4950150題型三超幾何分布3浙江高三專題練習(xí)1072個球，至少得到1個白球的概率是 .9求白球的個數(shù)；3的分布列.1）5（2見解析.21C2 7為事件A，則PA110x ,解得x5.故白球有5個.C92C910CkC3kC3（2）X服從以10，5，3為參數(shù)的超幾何分布，PXk55 ,k2,3.C310于是可得其分布列為:X0123P112512512112【舉一反三】1.（2020·浙江高三專題練習(xí)）四川省閬中中學(xué)某部根據(jù)運動場地的影響，但為盡大可能讓學(xué)生都參與到2018200400外三項分別為跳繩、跳遠、跳高.學(xué)校要求每位學(xué)生必須參加，且只參加其中一項，學(xué)校780名同學(xué)參加各運動項目人數(shù)統(tǒng)計如下條形圖：7其中參加跑步類的人數(shù)所占頻率為13

，為了了解學(xué)生身體健康與參加運動項目之間的關(guān)系，用分層抽樣的方法從這780名學(xué)生中抽取13人進行分析．mn132004004400X，求離X（1）m240n60；3（2）見解析（1）780713

420人，m240，n180120，根據(jù)分層抽樣法知：抽取的13人中參加200米的學(xué)生人數(shù)為131803．780（2）由題意，抽取的13人中參加400米的學(xué)生人數(shù)有132404，780參加跳繩的學(xué)生人數(shù)有3人，所以X的所有可能取值為1、2、3、4，C3 4 C2C2 18PX43 ，PX243 ，CC774 35 4 35CC77C3C1 12 C4 1PX343 ，PX44 ，CC774 35 4 35CC77所以離散型隨機變量X的分布列為：X1234P43518351235135題型四分布列性質(zhì)【例4-1（2020·浙江高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量X的概率分布列為則PX31（ ）X1234P13m14167 1A． B．12 6

1 5C． D．4 12【答案】Dm111113 4 6 4PX31P2P411

5故選D4 6 124-2（2020·浙江高三專題練習(xí)）X的概率分布列如下：X0123P0.20.30.4c則實數(shù)c等于( )A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.76【答案】C【解析】據(jù)題意得0.20.30.4c1，所以c0.1

，故選C.【例4-3（2020·浙江高三專題練習(xí)）已知離散型隨機變量的分布列如圖，則常數(shù)為（ ）X01P9c2c38c1 2A． B．3 3

1 2 1C． 或 D．3 3 4【答案】A【解析】由隨機變量的分布列知，9c2c0，38c0，9c2c38c1，∴c1，故選A．3【舉一反三】（200江三題習(xí)若散隨變量X分列下則a= .X01Pa2a22【答案】1【解析】由概率的性質(zhì)可得：P(X0)P(X1)1，

2a 1a1a2；又概率介于0~1a11a 2 212（200江三題習(xí)隨變量X分列P(Xk)a 2

（中k123則a ．8【答案】7

1

1

13 8 8【解析】依題意a2

2

2

1，解得a .故填7 7 202X(單位：克)，如果PX100.3,PX300.4，那么PX30等于 .【答案】0.3【解析】根據(jù)隨機變量的概率分布的性質(zhì),可知PX10P10X30PX301,故P(X30)10.30.40.3.202XP(Xn)為常數(shù)，則P(1X5)的值為（）.2 2

an(n

(n1,2,3,4),其中a2 3 4 5A． B． C． D．3 4 5 6【答案】DPXn

an(n

(n1aaa

1.2 6 12 20∴a5∴P(1X5)P(XP(X2)51+51=5

故選D.4 2 2 4 2 4 6 6【強化訓(xùn)練】201夏川中二理中大相的5鋼別有1235個碼，有放回地依次取出2個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機變量X，則X所有可能值的個數(shù)是（ ）A．25 B．10 C．9 D．5【答案】C【解析】依據(jù)題意，分析可得，這是有放回的抽樣，號碼之和可能的情況有：2,3,4,5,6,7,8,9,109C208林朝族學(xué)三時習(xí)后擲枚地勻骰子5次,么能為機量的是 ( )A．出現(xiàn)2點的次數(shù)B．出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)C．出現(xiàn)7點的次數(shù)D．出現(xiàn)的點數(shù)大于2小于6的次數(shù)【答案】C1,2,3,4,5,6770，不能作為隨機變量.C.（200江三題習(xí)袋有小同紅球6，球5，袋每任取一球直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量則的可能取值為( )A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…【答案】B6201蘇二理入機量后列法確有 （寫所正的號）.①隨機事件個數(shù)與隨機變量一一對應(yīng)；②隨機變量與自然數(shù)一一對應(yīng)；③隨機變量的取值是實數(shù).【答案】③【解析】引入隨機變量,使我們可以研究一個隨機實驗中的所有可能結(jié)果，所以隨機變量的取值是實數(shù)，故③正確.202江三題習(xí)機量ξ從點布,且P(=1)0.8η=ξ-2則Pη=-2= .【答案】0.2【解析】當(dāng)η=-2時,ξ=0,所以P(η=-2)=P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=0.2.（201蘇二中理在01布，設(shè)PX01則EX .32【答案】3PX1123 3

EX232本題正確結(jié)果：3（200隨機變量X－101Pabc其中成等差數(shù)列，則，公差的取值范圍是 .2【答案】

1,13

33【解析】由于a,b,c成等差數(shù)列，故2bac，由于abc1，所以3b1,b1,ac2.所以3 3P

1ac2.3由于a1d,c1d，且01d2,01d2，解得1d1，所以d的取值范圍是3 31,1.

3 3 3 3 3 333（2076【答案】見解析536536（2071028102ξ；108108251234見解析.【解析】個正品；次取得次品．51202在1034310件產(chǎn)品中任取3件．求：3X的分布列；3311

.120題意知X的所有可能取值為0，12，3，且X服從參數(shù)為N10M3n3的超幾何分布，

CkC3k

C0C3

35 7因此PXk37k2,3．所以PX037 ；CC3 3CC10

120 24C1C2

63 21

C2C1

21 7

C3C0 11010PX37 ； PX237 ；PX337 ．1010CCC103 120 40CCC10

3 120 40

3 120故X的分布列為:X0123P724214074011202設(shè)“取出的3A12，2233，A，C2 3 7 1而P33 ，PAPX2 ，PAPX3 ，C40403 2 C404010

120所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為：PAPAPAPA

37131．1 2

40 40 120 1201202·6，6和455(111(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.5【答案】（1）18

2（1）AB的事件數(shù)為C4，總的事件數(shù)為C51 1 8 10C4 70 5受甲種心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的概率為8 .C101 1C10（2）X的所有可能取值為0,1,2,3,4.

5 252 18C0C5 1

C1C4 5

C2C3 10

C3C2 5C2121PX046 X46 X24C2121

X346 ，CCC42215 5CCC422110 10

5 510 10C4C1 1PX446 X的分布列為：C425C4210X01234P1425211021521142120285333的分布列.【答案】詳見解析C0C3 5 C1C2 15【解析】X的可能取值為2,3，PX035 ，PX35 ，CC883 28 3 28CC88C2C1 15 C3C0 1PX235 ，PX335 X的分布列為：CC883 56 3 56CC88X0123P528152815561561202·每年的12月4209年12月4480人、36036010104進行作答，所抽取的4個問題全部答對的學(xué)生將在全校給予表彰.⑴求各個年級應(yīng)選取的學(xué)生人數(shù)；⑵若從被選取的10名學(xué)生中任選3人，求這3名學(xué)生分別來自三個年級的概率；101073X表示該名學(xué)生答對X的分布列及數(shù)學(xué)期望.3（1）4人，高二年級應(yīng)選取3人，高三年級應(yīng)選取3人.（2）10（3）詳見解析433104人，高二年級應(yīng)選取3人，高三年級應(yīng)選取3人.由（1）知，被選取的104人、3人、3人，所以，從這10名學(xué)C1C1 3生任選3名，且3名學(xué)生分別來自三個年級的概率為4 3 3 .C3C10X的所有可能取值為4，Ck4CC4且X服從超幾何分布，PXk73 （k2,3,4）.C410所以，隨機變量X的分布列為X1234P1303101216所以，隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為EX11233141.2 6 51201理208100102[2[46，第四組[，[810分別求第三，四，五組的頻率；6①已知甲同學(xué)和乙同學(xué)均在第三組，求甲、乙同時被選中的概率624的分布列和數(shù)學(xué)期望．1【答案】（1）第三組的頻率是0.3，第四組的頻率是0.2，第五組的頻率是0.1（2）①145

②詳見解析【解析】（1）第三組的頻率是0.150×2＝0.3,第四組的頻率是0.100×2＝0.2,第五組的頻率是0.050×2＝0.1,6×0.5＝3100×0.3＝30C1 1所以甲乙兩名同學(xué)同時被選中的概率為P28 ,C303 145C30②第四組共有X名同學(xué),所以X的取值為0,1,2C