導數(shù)的概念、導數(shù)公式與應用

導數(shù)的概念及運算知識點一：函數(shù)的平均變化率〔1〕概念：函數(shù)中，如果自變量在處有增量，那么函數(shù)值y也相應的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函數(shù)從到+△x的平均變化率，即。假設，，那么平均變化率可表示為，稱為函數(shù)從到的平均變化率。注意：①事物的變化率是相關(guān)的兩個量的“增量的比值〞。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；②函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢，當取值越小，越能準確表達函數(shù)的變化情況。③是自變量在處的改變量，；而是函數(shù)值的改變量，可以是0。函數(shù)的平均變化率是0，并不一定說明函數(shù)沒有變化，應取更小考慮。〔2〕平均變化率的幾何意義函數(shù)的平均變化率的幾何意義是表示連接函數(shù)圖像上兩點割線的斜率。如下圖，函數(shù)的平均變化率的幾何意義是：直線AB的斜率。事實上，。作用：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率。知識點二：導數(shù)的概念：1．導數(shù)的定義：對函數(shù)，在點處給自變量x以增量，函數(shù)y相應有增量。假設極限存在，那么此極限稱為在點處的導數(shù)，記作或，此時也稱在點處可導。即：〔或〕注意：①增量可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)；②導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率。2．導函數(shù)：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù),稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)。注意：函數(shù)的導數(shù)與在點處的導數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。3．導數(shù)幾何意義：〔1〕曲線的切線曲線上一點P(x0，y0)及其附近一點Q(x0+△x,y0+△y)，經(jīng)過點P、Q作曲線的割線PQ，其傾斜角為當點Q(x0+△x,y0+△y)沿曲線無限接近于點P(x0，y0)，即△x→0時，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點P處的切線。假設切線的傾斜角為，那么當△x→0時，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。即：。(2)導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點x0的導數(shù)是曲線上點〔〕處的切線的斜率。注意：①假設曲線在點處的導數(shù)不存在，但有切線，那么切線與軸垂直。②，切線與軸正向夾角為銳角；，切線與軸正向夾角為鈍角；,切線與軸平行。(3)曲線的切線方程如果在點可導，那么曲線在點〔〕處的切線方程為：。4．瞬時速度：物體運動的速度等于位移與時間的比，而非勻速直線運動中這個比值是變化的，如何了解非勻速直線運動中每一時刻的運動快慢程度，我們摘用瞬時速度這一概念。如果物體的運動規(guī)律滿足s=s(t)(位移公式)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體t到t+△t這段時間內(nèi)，當△t→0時平均速度的極限，即。如果把函數(shù)看作是物體的位移公式〕，導數(shù)表示運動物體在時刻的瞬時速度。規(guī)律方法指導1．如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步〞法：①作差：求出和②作商：對所求得的差作商，即。注意：〔1〕，式子中、的值可正、可負，但的值不能為零，的值可以為零。假設函數(shù)為常數(shù)函數(shù)時，。〔2〕在式子中，與是相對應的“增量〞，即在時，?！?〕在式子中，當取定值，取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率不同；當取定值，取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率也不一樣。2．如何求函數(shù)在一點處的導數(shù)〔1〕利用導數(shù)定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)，通常用“三步法〞。①計算函數(shù)的增量：；②求平均變化率：；③取極限得導數(shù)：?！?〕利用根本初等函數(shù)的導數(shù)公式求初等函數(shù)的導數(shù)。3．導數(shù)的幾何意義①設函數(shù)在點的導數(shù)是，那么表示曲線在點〔〕處的切線的斜率。②設是位移關(guān)于時間的函數(shù)，那么表示物體在時刻的瞬時速度；③設是速度關(guān)于時間的函數(shù)，那么表示物體在時刻的加速度；4．利用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟①求出在處的導數(shù)；②利用直線方程的點斜式得切線方程為。類型一：求函數(shù)的平均變化率1、求在到之間的平均變化率，并求，時平均變化率的值.思路點撥：求函數(shù)的平均變化率，要緊扣定義式進行操作.舉一反三：【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間[2，2+]內(nèi)的平均變化率?！咀兪?】函數(shù)，分別計算在以下區(qū)間上的平均變化率：〔1〕[1，3]；〔2〕[1，2]；〔3〕[1，1.1]；〔4〕[1，1.001].【變式3】自由落體運動的運動方程為，計算t從3s到3.1s，3.01s，3.001s各段內(nèi)的平均速度〔位移s的單位為m〕。【變式4】過曲線上兩點和作曲線的割線，求出當時割線的斜率.類型二：利用定義求導數(shù)2、用導數(shù)的定義，求函數(shù)在x=1處的導數(shù)。舉一反三：【變式1】函數(shù)〔1〕求函數(shù)在x=4處的導數(shù).〔2〕求曲線上一點處的切線方程。【變式2】利用導數(shù)的定義求以下函數(shù)的導數(shù)：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.思路點撥：從函數(shù)在一點處的導數(shù)定義可求得函數(shù)y=x3+2x在x=1處的導數(shù)值，再由導數(shù)的幾何意義，得所求切線的斜率，將x=1代入函數(shù)可得切點坐標，從而建立切線方程.舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過哪一點的切線：〔1〕平行于直線y=4x―5；〔2〕垂直于直線2x―6y+5=0；〔3〕與x軸成135°的傾斜角。知識點三：常見根本函數(shù)的導數(shù)公式〔1〕〔C為常數(shù)〕，〔2〕〔n為有理數(shù)〕，〔3〕，〔4〕，〔5〕，〔6〕，〔7〕，〔8〕，知識點四：函數(shù)四那么運算求導法那么設，均可導〔1〕和差的導數(shù)：〔2〕積的導數(shù)：〔3〕商的導數(shù)：〔〕知識點五：復合函數(shù)的求導法那么或即復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù)。注意：選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關(guān)鍵。求導時需要記住中間變量，逐層求導，不遺漏。求導后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。規(guī)律方法指導1．求復合函數(shù)的導數(shù)的一般步驟①適中選定中間變量，正確分解復合關(guān)系；②分步求導〔弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導〕；③把中間變量代回原自變量〔一般是x〕的函數(shù)。整個過程可簡記為分解——求導——回代，熟練以后，可以省略中間過程。假設遇多重復合，可以相應地屢次用中間變量。類型一：利用公式及運算法那么求導數(shù)1、求以下函數(shù)的導數(shù)：〔1〕；〔2〕〔3〕；〔4〕y=2x3―3x2+5x＋4舉一反三：【變式】求以下函數(shù)的導數(shù)：〔1〕；〔2〕〔3〕y=6x3―4x2+9x―62、求以下各函數(shù)的導函數(shù)〔1〕；〔2〕y=x2sinx;〔3〕y=；〔4〕y=舉一反三：【變式1】函數(shù)在處的導數(shù)等于()A．1B．2C．3D．4【變式2】以下函數(shù)的導數(shù)〔1〕；〔2〕【變式3】求以下函數(shù)的導數(shù).〔1〕；〔2〕；〔3〕.類型四：復合函數(shù)的求導3、求以下函數(shù)導數(shù).〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.舉一反三：【變式1】求以下函數(shù)的導數(shù)：〔1〕；〔2〕〔3〕y=ln〔x＋〕；〔4〕類型五：求曲線的切線方程4、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.舉一反三：【變式1】求曲線在點處的切線的斜率，并寫出切線方程.【變式2】，是曲線上的兩點，那么與直線平行的曲線的切線方程是________.【變式3】曲線.〔1〕求曲線上橫坐標為1的點處的切線的方程；〔2〕第〔1〕小題中的切線與曲線是否還有其他的公共點？【變式4