物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法

1引言物理學(xué)的理論是通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、抽象、假說(shuō)等研究方法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)建立起來(lái)的。所以，物理學(xué)從根本上講是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)，科學(xué)實(shí)驗(yàn)在物理學(xué)的形成和發(fā)展中處于主導(dǎo)地位。在物理學(xué)的發(fā)展中，人類積累了豐富的實(shí)驗(yàn)方法，創(chuàng)造出各種精密的儀器設(shè)備，促進(jìn)了物理實(shí)驗(yàn)技術(shù)的提高。物理實(shí)驗(yàn)中的研究方法、觀察與分析手段、各種常規(guī)和精密的儀器設(shè)備在現(xiàn)代科學(xué)和工程實(shí)踐中均具有極大的普遍性、綜合性、多樣性和廣延性，促進(jìn)了物理學(xué)的發(fā)展、自然科學(xué)的變革、以及工業(yè)技術(shù)的革命。物理實(shí)驗(yàn)是人為地創(chuàng)造出一種條件，按照預(yù)定計(jì)劃，以確定順序重現(xiàn)一系列物理過(guò)程或物理現(xiàn)象，其目的不僅要讓學(xué)生受到嚴(yán)格的、系統(tǒng)的物理實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練，掌握物理科學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本知識(shí)、方法和技術(shù)，更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)思維能力和創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際、分析和解決問(wèn)題的能力。科學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的是為了找出事物的內(nèi)在規(guī)律，或檢驗(yàn)?zāi)撤N理論的正確性，或準(zhǔn)備作為以后實(shí)踐工作的依據(jù)。在物理實(shí)驗(yàn)中，我們要對(duì)一些物理量進(jìn)行測(cè)量，得到與之相關(guān)的數(shù)據(jù)，而對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄、整理、計(jì)算、作圖和分析，去粗取精，去偽存真，得到最終結(jié)論和實(shí)驗(yàn)規(guī)律的過(guò)程稱為數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)處理是否科學(xué)，決定科學(xué)結(jié)論能否建立與推廣，它是物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)?zāi)芰退刭|(zhì)的重要環(huán)節(jié)。數(shù)據(jù)處理的中心內(nèi)容是估算待測(cè)量的最佳值，估算測(cè)量結(jié)果的不確定度或?qū)で蠖鄠€(gè)待測(cè)量間的函數(shù)關(guān)系。不會(huì)處理數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)處理方法不當(dāng)，就得不到正確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由此可知，數(shù)據(jù)處理在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中有著舉足輕重的地位。在物理實(shí)驗(yàn)中常用的數(shù)據(jù)處理方法有列表法、作圖法、圖解法、逐差法和最小二乘法（直線擬合）等，下面就各方法的內(nèi)容作詳細(xì)的介紹。2列表法2.1列表法的基本概述列表法就是將實(shí)驗(yàn)中測(cè)量的數(shù)據(jù)、計(jì)算過(guò)程數(shù)據(jù)和最終結(jié)果等以一定的形式和順序列成表格。列表法是記錄和處理數(shù)據(jù)的基本方法，也是其他數(shù)據(jù)處理方法的基礎(chǔ)，一個(gè)好的數(shù)據(jù)處理表格，往往就是一份簡(jiǎn)明的實(shí)驗(yàn)報(bào)告。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)既可以是同一個(gè)物理量的多次測(cè)量值及結(jié)果，也可以是相關(guān)幾個(gè)量按一定格式有序排列的對(duì)應(yīng)的數(shù)值。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，對(duì)一個(gè)物理量進(jìn)行多次測(cè)量或研究幾個(gè)量之間的關(guān)系時(shí)，我們往往借助的就是列表法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。然而，表格的格式需要按照不同的實(shí)驗(yàn)事先設(shè)計(jì)，一般要求把各個(gè)自變量（實(shí)驗(yàn)中測(cè)量的量）數(shù)據(jù)、計(jì)算過(guò)程數(shù)值、因變量數(shù)值、最后結(jié)果按照一定的順序列成兩維表格。可以采用首行是符號(hào)欄，首列是序號(hào)欄，其余是數(shù)據(jù)欄的格式。根據(jù)需要還可以列出除原始數(shù)據(jù)以外的計(jì)算欄目和統(tǒng)計(jì)欄目等。2.2列表法的優(yōu)點(diǎn)列表法簡(jiǎn)單易行，結(jié)構(gòu)緊湊、條目清晰，既可以簡(jiǎn)明地反映有關(guān)量之間的函數(shù)關(guān)系，便于及時(shí)檢查和發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中存在的問(wèn)題，判斷測(cè)量結(jié)果的合理性；又有助于分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，找出有關(guān)物理量之間存在的規(guī)律性聯(lián)系，進(jìn)而求出經(jīng)驗(yàn)公式。不僅如此，列表還可以提高處理數(shù)據(jù)的效率，減少和避免差錯(cuò)。根據(jù)需要，把某些計(jì)算中間項(xiàng)列出來(lái)，不但有利于進(jìn)行有效數(shù)字的簡(jiǎn)化處理，避免不必要的重復(fù)計(jì)算；還能隨時(shí)與原始數(shù)據(jù)進(jìn)行核對(duì)，判斷運(yùn)算是否有錯(cuò)。所以，設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)明醒目、合理美觀的數(shù)據(jù)表格，是每一位學(xué)生都要掌握的基本技能。2.3列表法遵循的原則列表雖然沒(méi)有統(tǒng)一的格式，但所設(shè)計(jì)的表格要能充分反映上述優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)遵循以下原則:表的上方應(yīng)有表頭，寫(xiě)明所列表格的名稱;標(biāo)題欄目要簡(jiǎn)單明了、分類清楚，便于顯示有關(guān)物理量之間的關(guān)系;各欄目（縱或橫）均應(yīng)注明所記錄的物理量的名稱及單位，若名稱用自定義符號(hào)，則應(yīng)加以說(shuō)明;欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計(jì)算順序，力求簡(jiǎn)明、齊全、有條理；列表中的數(shù)據(jù)主要應(yīng)是原始測(cè)量，數(shù)據(jù)不應(yīng)隨便涂改，處理過(guò)程中的一些重要的中間計(jì)算結(jié)果也應(yīng)列入表中;對(duì)數(shù)據(jù)的表格，應(yīng)提供必要的說(shuō)明和參數(shù)，包括表格名稱、主要測(cè)量?jī)x器的規(guī)格（型號(hào)、量程、準(zhǔn)確度級(jí)別或最大允許誤差等）、有關(guān)環(huán)境參數(shù)等;必要時(shí)附加說(shuō)明?？偠灾斜淼倪^(guò)程就是整理實(shí)驗(yàn)思緒的過(guò)程，只有在清楚了解并通盤(pán)考慮實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹⒃?、方法、步驟以及誤差處理要求的基礎(chǔ)上，才能列出科學(xué)、合理、實(shí)用、方便的數(shù)據(jù)處理表格。例2.1測(cè)量電阻的伏安特性，記錄數(shù)據(jù)如下表：序號(hào)(_2) 3J t1 iL 5)() 78ckJ10V/V(.0):.01. L.0):.04.0. r.0i 6.07.08.0c.0I/mA(.0):.0? Z.0L (.1、7.97(.7)11.813.816.017.9表2.1測(cè)電阻伏安特性數(shù)據(jù)記錄表10.09.93.作圖法3.1作圖法的基本概述物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的各物理量之間的關(guān)系，可以用函數(shù)式表示，也可以用各種圖線表示，后者稱為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的圖線表示法。實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的大量數(shù)據(jù)其相互之間的關(guān)系不是很直觀，僅僅通過(guò)這些數(shù)據(jù)的觀察是難以把握它們之中所蘊(yùn)涵的科學(xué)內(nèi)涵的。然而通過(guò)動(dòng)手作圖能有效地幫助人們形象地，有聯(lián)系地“看到”這些數(shù)據(jù)，從而更有效地進(jìn)行處理分析與推理，這正是數(shù)據(jù)的可視化。它把形象思維和邏輯思維有機(jī)地聯(lián)系在一起，從而達(dá)到啟迪思維、促進(jìn)科學(xué)創(chuàng)新的目的。工程師和科學(xué)家一般對(duì)定量的圖線很感興趣，因?yàn)槎繄D線的形象直觀、一目了然，不僅能簡(jiǎn)明地顯示物理量之間的相互關(guān)系、變化趨勢(shì)，而且能方便地找出函數(shù)的極大值、極小值、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、周期和其他奇異性，特別是對(duì)那些尚未找到適當(dāng)解析函數(shù)表達(dá)式的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以從圖示法所畫(huà)出的圖線中去尋找相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式，從而提出物理量之間的變化規(guī)律。3.2作圖法的優(yōu)點(diǎn)利用作圖分析物理量之間的關(guān)系有以下優(yōu)點(diǎn)：作圖法具有簡(jiǎn)明、直觀、形象地顯示物理量之間關(guān)系的特點(diǎn)。尤其是對(duì)多條圖線進(jìn)行比較時(shí)，比列表法更形象。可以根據(jù)圖線的形狀和變化趨勢(shì)分析研究物理量之間的變化規(guī)律，找出相互對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，甚至外推某些規(guī)律或得到所求的參量?？梢宰鞒鰞x器的校準(zhǔn)曲線。曲線改值。在用圖像法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，物理量之間可能存在各種各樣的函數(shù)關(guān)系。如果通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，將物理量之間的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)關(guān)系，則圖像將由曲線轉(zhuǎn)化為直線。這樣物理量之間的關(guān)系會(huì)變得更加直觀，研究問(wèn)題的分析也會(huì)更加簡(jiǎn)便。3.3作圖法所遵循的規(guī)則作圖并不復(fù)雜，但對(duì)于許多學(xué)生來(lái)說(shuō)，卻是一種困難的科學(xué)技巧，這是由于他們?nèi)狈镜挠?xùn)練，而在思想上對(duì)作圖又沒(méi)有足夠的重視所致。只要認(rèn)真對(duì)待，并遵循一定的作圖的一般規(guī)則進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，是能夠繪制出相當(dāng)好的圖線的。制作一副完整的、正確的圖線，其基本步驟包括：圖紙的選擇，坐標(biāo)的分度和標(biāo)記，標(biāo)出每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，作出一條與許多實(shí)驗(yàn)點(diǎn)基本符合的圖線，以及注解和說(shuō)明等。圖紙的選擇

作圖必須用坐標(biāo)紙。當(dāng)決定了作圖的參量以后，根據(jù)情況選擇直角坐標(biāo)紙（毫米方格紙）、極坐標(biāo)紙或其他坐標(biāo)紙。直線是最容易繪制的圖線，也便于使用，所以在已知函數(shù)關(guān)系的情況下，作兩個(gè)變量之間的關(guān)系圖線時(shí)，最好通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q將某種函數(shù)關(guān)系的曲線改為線性函數(shù)的直線。例如：①y=ax+b,y與x為線性函數(shù)關(guān)系，所以選用直角坐標(biāo)系就可以得直線。=a—=a—+bxu=——，若令x，則得y=au+b,歹與“為線性函數(shù)關(guān)系，以y、u作坐標(biāo)時(shí)，在線性直角坐標(biāo)紙上也是一條直線。③y=axb，取對(duì)數(shù)，則lgy=lga+blgx，lg歹與仗X為線性函數(shù)關(guān)系，應(yīng)選用對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙，不必對(duì)x、y作對(duì)數(shù)計(jì)算，就能得到一條直線。④y=aebx，取自然對(duì)數(shù)，則lny=lna+bx，lny與兀為線性函數(shù)關(guān)系，應(yīng)選用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙。圖紙大小的選擇，原則上以不損失實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效位數(shù)為原則并能包括所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)作為選取圖紙大小的最低限度，即圖上的最小分格至少應(yīng)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中最后一位準(zhǔn)確數(shù)字相當(dāng)。坐標(biāo)的分度及標(biāo)記對(duì)于直角坐標(biāo)系，要以自變量為橫軸，以因變量為縱軸。用粗實(shí)線在坐標(biāo)紙上描出坐標(biāo)軸，標(biāo)明其所代表的物理量（或符號(hào)）及單位，在軸上每隔一定間距標(biāo)明該物理量的數(shù)值。坐標(biāo)紙的大小及坐標(biāo)軸的比例，要根據(jù)測(cè)得值的有效數(shù)字和結(jié)果的需要來(lái)定。原則上講，數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中應(yīng)為可靠的，而最后一位的估讀數(shù)在圖中亦是估計(jì)的，即不能因作圖而引進(jìn)額外的誤差。在坐標(biāo)軸上每隔一定間距應(yīng)均勻地標(biāo)出分度值，標(biāo)記所有有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與原始數(shù)字的有效位數(shù)相同，單位應(yīng)與坐標(biāo)軸的單位一致。坐標(biāo)的分度應(yīng)以不用計(jì)算便能確定各點(diǎn)的坐標(biāo)為原則，為便于讀圖通常只用1、2、5、10等進(jìn)行分度，而不用3、7等進(jìn)行分度。為了充分利用坐標(biāo)紙并使圖線布局合理，坐標(biāo)分度不一定從零開(kāi)始，可以用低于原始數(shù)據(jù)的某一整數(shù)作為坐標(biāo)分度的起點(diǎn)，用高于測(cè)量所得最高值的某一整數(shù)作為終點(diǎn)，這樣的圖線就能充滿所選用的整個(gè)圖紙。（4）標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)要根據(jù)所測(cè)得的數(shù)據(jù)，用明確的符號(hào)準(zhǔn)確地表明實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，要做到不錯(cuò)不漏。常用的符號(hào)表示有“+”“X”“O”“△”等符號(hào)標(biāo)出。若在同一圖紙上畫(huà)不同圖線，標(biāo)點(diǎn)應(yīng)該用不同符號(hào)，以便區(qū)分。同時(shí)應(yīng)在不同的曲線旁邊上文字標(biāo)注，以便識(shí)別。還可用不同顏色對(duì)不同的曲線加以區(qū)分。（5）連接實(shí)驗(yàn)圖線把實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連接成圖線。由于每個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都有一定的誤差，所以圖線不一定要通過(guò)每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。應(yīng)該按照實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的總趨勢(shì)，把實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連成光滑的曲線（儀表的校正曲線不在此列），使大多數(shù)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)落在圖線上，其他的點(diǎn)在圖線兩側(cè)均勻分布，這相當(dāng)于在數(shù)據(jù)處理中取平均值。對(duì)于個(gè)別偏離圖線很遠(yuǎn)的點(diǎn)，要重新審核，進(jìn)行分析后決定是否應(yīng)剔除。在確信兩物理量之間的關(guān)系是線性的，或所有的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)都在某一直線附近時(shí)，將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連成一直線。（6）注解和說(shuō)明作完圖后，在圖的明顯位置上標(biāo)明圖名、作者和作圖日期，有時(shí)還要附上簡(jiǎn)單的說(shuō)明，如實(shí)驗(yàn)條件等，使讀者能一目了然，最后要將圖粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告上。圖為3.1銅絲電阻與溫度之間的關(guān)系曲線。溫度77"C圖3.1銅絲的電阻與溫度的關(guān)系曲線4圖解法4.1圖解法的概述利用已作好的圖線，定量地求得待測(cè)量或得出經(jīng)驗(yàn)公式，稱為圖解法。例如，可以通過(guò)圖中直線的斜率或截距求得待測(cè)量的值；可以通過(guò)內(nèi)插或外推求得待測(cè)量的值；還可以通過(guò)圖線的漸近線，以及通過(guò)圖線的疊加、相減、相乘、求導(dǎo)、積分、求極值等來(lái)得出某些待測(cè)量的值。這里主要介紹直線圖解法求出斜率或截距，進(jìn)而得出完整的直線方程，以及插值法求待測(cè)量的值。4.2圖解法的步驟圖解法就是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作好的圖線，用解析法找出相應(yīng)的函數(shù)形式。實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、對(duì)數(shù)曲線。特別是當(dāng)圖線是直線時(shí)，采用此方法更為方便。一般步驟如下：選點(diǎn)在直線上選兩點(diǎn)A(xl,y1)和B(x2,y2),A、B兩點(diǎn)一般不為實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。為了減小誤差，A、B兩點(diǎn)應(yīng)相隔遠(yuǎn)一些。如果兩點(diǎn)太靠近，計(jì)算斜率時(shí)會(huì)使結(jié)果的有效數(shù)字減少；但也不能超出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的范圍以外,因?yàn)檫x這樣的點(diǎn)無(wú)實(shí)驗(yàn)依據(jù)。用與表示實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不同的符號(hào)將A、B兩點(diǎn)在直線上標(biāo)出，并在旁邊標(biāo)明其坐標(biāo)值。求斜率將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)值分別代入直線方程y=kx+b，可解得斜率y-y214—1)x-x4—1)21求截距如果橫坐標(biāo)的起點(diǎn)為零，則直線的截距可從圖中直接讀出；如果橫坐標(biāo)的起點(diǎn)不為零，則可用下式計(jì)算直線的截距：b二"2叮3歹2x2-x1 (4—2)將求得的k、b的數(shù)值代入方程y=kX+b中，就得到經(jīng)驗(yàn)公式。下面介紹用圖解法求2個(gè)物理量線性的關(guān)系，并用直角坐標(biāo)紙作圖驗(yàn)證歐姆定律。給定電阻為R=500Q，所得數(shù)據(jù)見(jiàn)表1-2和圖1-1。表1-1驗(yàn)證歐姆定律數(shù)據(jù)表次序0序12345678910U1234567891/V.00.00.00.00.00.00.00.00.000.00I2467911111/mA.12.10.05.85.701.833.786.027.869.94

//mA圖0-2電流與電壓關(guān)系求直線斜率和截距而得出經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)。第一，計(jì)算點(diǎn)只能從直線上取，不能選用實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)據(jù)。從圖中不難看出，如用實(shí)驗(yàn)點(diǎn)a、b來(lái)計(jì)算斜率，所得結(jié)果必然小于直線的斜率。第二，在直線上選取計(jì)算點(diǎn)時(shí)，應(yīng)盡量從直線兩端取，不應(yīng)選用兩個(gè)靠得很近的點(diǎn)。圖0-2中如選c、d兩點(diǎn)，則因c、d靠得很近，(Ic-Id)及(Uc-Ud)的有效數(shù)字位數(shù)會(huì)比實(shí)測(cè)得的數(shù)據(jù)少很多，這樣會(huì)使斜率k的計(jì)算結(jié)果不精確。因此必須用直線兩端的A、B//mA圖0-2電流與電壓關(guān)系k_I”_/“ (19.94-2.12)mA)斜率-ua-ub=Go.oo-1.00)V)17.82弭) /、=9.00?)=1.98x10-3C)= = Q不難看出，將UA-UB取為整數(shù)值可使斜率的計(jì)算方便得多。5逐差法逐差法又稱逐差計(jì)算法，是對(duì)等間隔測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行逐項(xiàng)或隔項(xiàng)相減來(lái)獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)處理方法。它計(jì)算簡(jiǎn)便，既可以驗(yàn)證函數(shù)的表達(dá)形式，又可以充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、總結(jié)規(guī)律，起到減小隨機(jī)誤差的作用。當(dāng)兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系，且自變量為等差級(jí)數(shù)變化的情況下，常采用逐差法處理一元線性擬合問(wèn)題。逐差法不像作圖法擬合直線那樣具有較大的隨意性，且比最小二乘法計(jì)算簡(jiǎn)單而結(jié)果相近，在物理實(shí)驗(yàn)中是常用的數(shù)據(jù)處理方法。5.1逐項(xiàng)逐差逐項(xiàng)逐差可以驗(yàn)證線性函數(shù)。方法是：將對(duì)應(yīng)于各個(gè)自變量^的函數(shù)值yi逐項(xiàng)相減，如果相應(yīng)的各函數(shù)值逐項(xiàng)相減一次都得一常量，即說(shuō)明y是x的函數(shù)。對(duì)線性函數(shù)的驗(yàn)證如下所述。當(dāng)y=ax+b時(shí)，測(cè)得(X，y「)，令x=xo+加，有y二a+b(x+込兀) (i=1,2,…,n)對(duì)以上各方程逐差一次，得y廠yi_1二bAx (i-1,2,…,n)以上各式中的Ax是自變量每次的增量，但由于x是等間隔變化的，所以bAx為一恒量。因此，當(dāng)各函數(shù)值的一次逐差結(jié)果都是恒量時(shí)，則函數(shù)是線性函數(shù)。隔項(xiàng)逐差隔項(xiàng)逐差是物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常采用的數(shù)據(jù)處理方法之一，該方法一般用于等間隔線性變化的測(cè)量中。根據(jù)誤差處理，我們知道多次測(cè)量的算術(shù)平均值是測(cè)量的最佳值，為了減小隨機(jī)誤差，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中測(cè)量次數(shù)應(yīng)盡量多。但在等間隔線性變化測(cè)量中，如果仍用一般的求平均值的方法，結(jié)果將發(fā)現(xiàn)只有第一次和最后一次測(cè)量值有用，其中間值全部抵消了，這樣就無(wú)法反映出多次測(cè)量能減小隨機(jī)誤差的優(yōu)點(diǎn)。為保持多次測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)采用隔項(xiàng)逐差的方法。該方法是：將測(cè)得的數(shù)據(jù)按次序等分為前后兩組，將后一組的第一項(xiàng)與前一組的第一項(xiàng)相減，后一組的第二項(xiàng)與前一組的第二項(xiàng)相減……，再利用各項(xiàng)減項(xiàng)的差值求出被測(cè)量的算術(shù)平均值。一次逐差和二次逐差對(duì)多項(xiàng)式實(shí)施一次逐差處理，即逐差一次，稱為一次逐差。在對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行一次逐差之后，再接著進(jìn)行第二次逐差處理，即逐差二次，二次逐差要在一次逐差的基礎(chǔ)上進(jìn)行。一次逐差用于線性函數(shù)的驗(yàn)證與求值，二次逐差用于二次多項(xiàng)式的驗(yàn)證與求值。現(xiàn)僅對(duì)二次逐差作一簡(jiǎn)單介紹。當(dāng)y=a+bx+cx2時(shí)，測(cè)得(xi,y.)，則可以推到s2y=§y-5y=2c(Ax)2 (i二1,2,,n)i i+1 i其中§yi=yi+1-yi為一次逐差結(jié)果，心為自變量每次變化值(為恒定值),故若發(fā)現(xiàn)二次逐差量為定值時(shí)，可說(shuō)明y是"的二次多項(xiàng)式。關(guān)于逐差法的說(shuō)明在驗(yàn)證函數(shù)表達(dá)式的形式時(shí)，要用逐項(xiàng)逐差，不用隔項(xiàng)逐差，這些可以檢驗(yàn)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的變化是不是符合規(guī)律。在求某一物理量的算術(shù)平均值時(shí)，要用隔項(xiàng)逐差，不用逐項(xiàng)逐差；否則只有首位兩項(xiàng)數(shù)據(jù)起作用，中間數(shù)據(jù)會(huì)相互消去而白白浪費(fèi)。一次逐差用于線性函數(shù)，二次逐差用于二次多項(xiàng)式。在工科物理教學(xué)實(shí)驗(yàn)中所用到的逐差法，大多為線性函數(shù)的求值問(wèn)題，因此，對(duì)一次隔項(xiàng)逐差求算術(shù)平均值的方法，應(yīng)當(dāng)牢固掌握、熟練運(yùn)用。逐差法只適用于自變量x為等間隔變化而函數(shù)y為線性函數(shù)或多項(xiàng)式形式的函數(shù)。后者需用多次逐差，一般用來(lái)驗(yàn)證多項(xiàng)式形式的函數(shù)關(guān)系逐差法的局限性逐差法有其局限性，如非線性函數(shù)線性化以后，如果原來(lái)各個(gè)數(shù)據(jù)是等精度的，經(jīng)過(guò)函數(shù)變換以后可能成為非等精度的，此時(shí)用逐差法處理數(shù)據(jù)就是要考慮這個(gè)問(wèn)題；其次，用逐差法求多項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，是先得求出最高次項(xiàng)系數(shù)，再逐步推其低次項(xiàng)系數(shù)，而高次項(xiàng)系數(shù)是經(jīng)n次逐差而得到的，在某些情況下可以較準(zhǔn)確，而在許多情況下往往是不太準(zhǔn)確的。由于誤差的傳遞，低次項(xiàng)系數(shù)的精確度就更差了。因此，逐差法處理數(shù)據(jù)除一次項(xiàng)逐差法外，較少求低次項(xiàng)系數(shù)。但是，由于逐差法只是需要用簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算就可以進(jìn)行計(jì)算，其處理方法的物理內(nèi)涵明確，方法簡(jiǎn)單易懂。因此，作為基本的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法的訓(xùn)練內(nèi)容，在基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)中還是一種良好的處理方法。在拉伸法測(cè)量鋼絲的楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)中，已知望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺讀數(shù)x和加砝碼質(zhì)量m之間滿足線性關(guān)系m=kx，式中k為比例常數(shù)，現(xiàn)要求計(jì)算k的數(shù)值，

見(jiàn)表1-2表1-2、序欠12345678910ni 0112233445/kg.500.000.500.000.500.000.500.000.500.000x1111111222/cm5.956.557.187.808.409.029.630.220.841.47如果用逐項(xiàng)相減，然后再計(jì)算每增加0.500kg砝碼標(biāo)尺讀數(shù)變化的平均值A(chǔ)x，即iAxiYAxAxii-i=1 n一x■2 1一x■2 1-x)+■3 2 +(x10 9(x-x)21.47-15.95—io 1-=9=9=0.613(cm)于是比例系數(shù)Axik二Am=1.23(cm/kg)=1.23X10-2(m/kg)這樣中間測(cè)量值x9，兀8，…，x2全部未用，僅用到了始末2次測(cè)量值xio數(shù)據(jù)分成后組（x10，x9 ，數(shù)據(jù)分成后組（x10，x9 ，x8 ，x7，兀6）和前組（兀5， ，x3，x2，xi），-x-x)+(x-x)+(x-x) 3 7 2 6 1—5(x-x)+(x-x)+(x10 5 9 4 ；Ax_5=丄=5[(21.47-18.40)+(20.84-17.80)+(20.22-17.18)+(19.63—16.55)+

(19.02-15.95)]1=5(3.07+3.04+3.04+3.08+3.07)=3.06(cm)于是，25 3.06k二5m=5x0.500=1.22(cm/kg)=1.22X10亠(m/kg)A“5是每增加5個(gè)砝碼，標(biāo)尺讀數(shù)變化的平均值。這樣全部數(shù)據(jù)都用上，相當(dāng)于重復(fù)測(cè)量了5次。應(yīng)該說(shuō)，這個(gè)計(jì)算結(jié)果比前面的計(jì)算結(jié)果要準(zhǔn)確些，它保持了多次測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)，減少了測(cè)量誤差。5最小二乘法（線性回歸）由一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出一條最佳直線，常用的方法是最小二乘法。設(shè)物理量y和x之間的滿足線性關(guān)系，則函數(shù)形式為y=a+bx最小二乘法就是要用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定方程中的待定常數(shù)a和b，即直線的斜率和截距。我們討論最簡(jiǎn)單的情況，即每個(gè) “圖5-1y的測(cè)量偏差i￡n，見(jiàn)圖5-1。這樣，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（x,，y,）測(cè)量值都是等精度的，且假定x和y值中只有y有明顯的測(cè)量隨機(jī)誤差。如果x和y均有誤差，只要把誤差相對(duì)較小的變量作為x即可。由實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到一組數(shù)據(jù)為W，y,;=12n），其中x=x.時(shí)對(duì)應(yīng)的y=y,。由于測(cè)量總是有誤差的，我們將這些誤差歸結(jié)為y圖5-1y的測(cè)量偏差i￡n，見(jiàn)圖5-1。這樣，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（x,，y,）y-(a+bx)=￡111y-(a+bx)=￡222y-(a+bx)=￡nnn我們要利用上述的方程組來(lái)確定a和b，那么a和b要滿足什么要求呢？顯然，比較合理的a和b是使￡1，￡n數(shù)值上都比較小。但是，每次測(cè)量的誤差不會(huì)相同，反映在￡1，￡然，比