新版【考前三個月】(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)程序方法策略篇-專題1-五種策略搞定所有填空題

PAGE五種策略搞定所有填空題[題型解讀]填空題是高考兩大題型之一，主要考查根底知識、根本方法以及分析問題、解決問題的能力，試題多數(shù)是教材例題、習(xí)題的改編或綜合，表達(dá)了對通性通法的考查．該題型的根本特點是：(1)具有考查目標(biāo)集中、跨度大、知識覆蓋面廣、形式靈巧、答案簡短、明確、具體，不需要寫出求解過程而只需要寫出結(jié)論等特點；(2)從填寫內(nèi)容看，主要有兩類：一類是定量填寫型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，高考題中多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn)；另一類是定性填寫型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對象或填寫給定的數(shù)學(xué)對象的某種性質(zhì)，如命題真假的判斷等．近幾年出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇的填空題．方法一直接法直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運用定義、定理、公式、性質(zhì)、法那么等知識，通過變形、推理、計算等，得出正確結(jié)論，使用此法時，要善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺地、有意識地采用靈巧、簡捷的解法．例1直線x＝a(0<a<eq\f(π,2))與函數(shù)f(x)＝sinx和函數(shù)g(x)＝cosx的圖象分別交于M，N兩點，假設(shè)MN＝eq\f(1,5)，那么線段MN中點的縱坐標(biāo)為________．答案eq\f(7,10)解析由題意，知M(a，sina)，N(a，cosa)，那么MN的中點為P(a，eq\f(1,2)(sina＋cosα))．而|MN|＝|sina－cosa|＝eq\f(1,5).①設(shè)sina＋cosa＝t，②①②兩式分別平方，相加，得2＝eq\f(1,25)＋t2，解得t＝±eq\f(7,5).又0<a<eq\f(π,2)，所以t＝sina＋cosa>0，故t取eq\f(7,5).所以線段MN中點的縱坐標(biāo)為eq\f(1,2)×eq\f(7,5)＝eq\f(7,10).故填eq\f(7,10).拓展訓(xùn)練1曲線f(x)＝xn＋1(n∈N*)與直線x＝1交于點P，設(shè)曲線y＝f(x)在點P處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為xn，那么log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013的值為________．答案－1解析由題意知f′(x)＝(n＋1)xn，設(shè)點P處切線的斜率為k，那么k＝f′(1)＝n＋1，點P(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，即xn＝eq\f(n,n＋1).設(shè)an＝log2014xn＝log2014eq\f(n,n＋1)＝log2014n－log2014(n＋1)，那么a1＋a2＋…＋a2013＝(log20141－log20142)＋(log20142－log20143)＋…＋(log20142023－log20142014)＝－log20142014＝－1.故填－1.方法二特殊值法當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，我們只需把題中的參變量用特殊值(或特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、圖形特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到結(jié)論．例2如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，過點M的直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點P、Q，假設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，那么eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.答案2解析由題意可知，eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)的值與點P、Q的位置無關(guān)，而當(dāng)直線BC與直線PQ重合時，那么有λ＝μ＝1，所以eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2.拓展訓(xùn)練2在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，假設(shè)a，b，c成等差數(shù)列，那么eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝________.答案eq\f(4,5)解析令a＝3，b＝4，c＝5，那么△ABC為直角三角形，且cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝0，代入所求式子，得eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝eq\f(\f(4,5)＋0,1＋\f(4,5)×0)＝eq\f(4,5)，故填eq\f(4,5).方法三排除法填空題中的排除法主要用于多項選擇題，判斷正確命題的標(biāo)號類的題目，解決方法是根據(jù)條件和相關(guān)的知識來逐個驗證排除，從而確定出正確的命題或說法．例3設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝2x，那么有①2是函數(shù)f(x)的周期；②函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，在(2,3)上是增函數(shù)；③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正確命題的序號是________．答案①②解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，那么有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函數(shù)f(x)的周期，故①正確；當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝2x是增函數(shù)，那么f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性知，函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，在(2,3)上是增函數(shù)，故②正確；在區(qū)間[－1,1]上，f(x)的最大值為f(1)＝f(－1)＝2，f(x)的最小值為f(0)＝1，故③錯誤．拓展訓(xùn)練3在實數(shù)集R中，定義的大小關(guān)系“>〞為全體實數(shù)排了一個“序〞，類似地，在平面向量集D＝{a|a＝(x，y)，x∈R，y∈R}上也可以定義一個稱為“序〞的關(guān)系，記為“>〞．定義如下：對于任意的兩個向量a1＝(x1，y1)，a2＝(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)“x1>x2”或“x1＝x2且y1>y2”時，a1>a2成立．按上述定義的關(guān)系“>〞，給出以下四個命題：①假設(shè)e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，0＝(0,0)，那么e1>e2>0；②假設(shè)a1>a2，a2>a3，那么a1>a3；③假設(shè)a1>a2，那么對于任意a∈D，a1＋a>a2＋a；④對于任意向量a>0，0＝(0,0)，假設(shè)a1>a2，那么a·a1>a·a2.其中是真命題的有________．(寫出所有真命題的編號)答案①②③解析對于①，e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，因為橫坐標(biāo)1>0，由定義可知e1>e2，e2＝(0,1)，0＝(0,0)，由橫坐標(biāo)0＝0且縱坐標(biāo)1>0可知e2>0，所以e1>e2>0，故①正確；對于②，a1>a2當(dāng)且僅當(dāng)“x1>x2”或“x1＝x2且y1>y2”，a2>a3當(dāng)且僅當(dāng)“x2>x3”或“x2＝x3且y2>y3”，可得“x1>x3”或“x1＝x3且y1>y3”，故可得a1>a3，故②正確；對于③，設(shè)a＝(x，y)，那么a1＋a＝(x1＋x，y1＋y)，a2＋a＝(x2＋x，y2＋y)，又a1>a2時，“x1>x2”或“x1＝x2且y1>y2”，所以有“x1＋x>x2＋x〞或“x1＋x＝x2＋x且y1＋y>y2＋y〞，即a1＋a>a2＋a，故③正確；對于④，舉反例，設(shè)a＝(0,1)，滿足a>0，假設(shè)a1＝(2,0)，a2＝(1,0)，a1>a2，但a·a1＝0×2＋1×0＝0，a·a2＝0×1＋1×0＝0，此時，a·a1＝a·a2，故④錯誤．方法四數(shù)形結(jié)合法對于一些含有幾何背景的填空題，假設(shè)能數(shù)中思形，以形助數(shù)，那么往往可以借助圖形的直觀性迅速作出判斷，簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果．Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)圖象，以及方程的曲線等都是常用的圖形．例4在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，O為△ABC的外心，P為劣弧AC上一動點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y∈R)，那么x＋y的取值范圍為________．答案[1,2]解析如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓O的半徑為1，∵∠B＝eq\f(π,3)，∴A(－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))，C(eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))．設(shè)P(cosθ，sinθ)，那么θ∈[eq\f(7π,6)，eq\f(11π,6)]，∵sinθ＝－eq\f(x＋y,2)，∴x＋y＝－2sinθ∈[1,2]．拓展訓(xùn)練4假設(shè)不等式eq\r(4x－x2)>(a－1)x的解集為A，且A?{x|0<x<2}，那么實數(shù)a的取值范圍是________．答案[2，＋∞)解析在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝eq\r(4x－x2)和函數(shù)y＝(a－1)x的圖象(如圖)，由圖可知斜率a－1≥1，即a≥2.所以實數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞)．方法五估算法當(dāng)題目中的條件有時不能很好地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或者條件中涉及的量在變化時，我們不方便很好地定量計算，這時往往采用估算法來解決．例5點G是△ABC的重心，點P是△GBC內(nèi)一點，假設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，那么λ＋μ的取值范圍是________．答案(eq\f(2,3)，1)解析當(dāng)P點在G點位置時，λ＝μ＝eq\f(1,3)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3)，當(dāng)P點位于B點位置時λ＝1，μ＝0，λ＋μ＝1，當(dāng)P點位于C點位置時，λ＝0，μ＝1，λ＋μ＝1，綜上，λ＋μ范圍為(eq\f(2,3)，1)．拓展訓(xùn)練5不等式eq\r(1＋lgx)>1－lgx的解集為________．答案(1，＋∞)解析先求x的取值范圍得x≥eq\f(1,10)，假設(shè)x>1那么eq\r(1＋lgx)>1,1－lgx<1不等式成立．假設(shè)eq\f(1,10)≤x≤1，那么eq\r(1＋lgx)≤1－lgx，原不等式不成立．故正確答案為x>1.1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B＝60°，2b2＝3ac，那么角A的大小為________．答案eq\f(π,6)或eq\f(π,2)解析由2b2＝3ac及正弦定理可知，2sin2B＝3sinAsinC，故sinAsinC＝eq\f(1,2)，cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC＝cosAcosC－eq\f(1,2)，即cosAcosC－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)，cosAcosC＝0，故cosA＝0或cosC＝0，可知A＝eq\f(π,6)或eq\f(π,2).2．如下圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，那么eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.答案18解析方法一∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，∵AP⊥BD，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0.又∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AP,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠BAP＝|eq\o(AP,\s\up6(→))|2，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|2＝2×9＝18.方法二把平行四邊形ABCD看成正方形，那么P點為對角線的交點，AC＝6，那么eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝18.3．x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤4，,x＋2y≤4，,x≥0，y≥0，))那么z＝x＋y的最大值為________．答案eq\f(8,3)解析作出不等式組對應(yīng)的可行域，如圖中陰影局部所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直線y＝－x，由圖象可知當(dāng)直線y＝－x＋z經(jīng)過點B時，直線y＝－x＋z的截距最大，此時z最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝4，,x＋2y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(4,3)，))即B(eq\f(4,3)，eq\f(4,3))，代入z＝x＋y得z＝eq\f(4,3)＋eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).4．在△ABC中，∠A＝60°，M是AB的中點，假設(shè)AB＝2，BC＝2eq\r(3)，D在線段AC上運動，那么eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))的最小值為________．答案eq\f(23,16)解析在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，根據(jù)余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即12＝b2＋4－2b，即b2－2b－8＝0，解得b＝4.設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，那么eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－λeq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－λeq\o(AC,\s\up6(→)))＝λ2|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－eq\f(3,2)λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝16λ2－6λ＋2，當(dāng)λ＝eq\f(3,16)時，16λ2－6λ＋2最小，最小值為eq\f(23,16).5．定義：min{a1，a2，a3，…，an}表示a1，a2，a3，…，an中的最小值．f(x)＝min{x,5－x，x2－2x－1}，且對于任意的n∈N*，均有f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)＋f(2n)≤kf(n)成立，那么常數(shù)k的取值范圍是________．答案[－eq\f(1,2)，0]解析∵f(x)＝min{x,5－x，x2－2x－1}，∴f(1)＝－2，f(2)＝－1，∴f(1)＋f(2)≤kf(1)，即－3≤－2k，解得k≤eq\f(3,2)；同理，f(3)＝2，f(4)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)≤kf(2)，即－2－1＋2＋1≤k×(－1)，解得k≤0.由以上可知k為非正數(shù)．當(dāng)n≥3時，{f(n)}是以2為首項，－1為公差的等差數(shù)列，f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)＋f(2n)≤kf(n)，即－2－1＋eq\f(2＋5－2n,2)×(2n－2)≤k(5－n)，2n2－9n＋10≥k(n－5)，又2n2－9n＋10≥2×32－9×3＋10＝1，k(n－5)≤k(3－5)＝－2k，∴k≥－eq\f(1,2).綜上所述，常數(shù)k的取值范圍是[－eq\f(1,2)，0]．6．(2023·無錫模擬)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連結(jié)AF，BF.假設(shè)|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，那么C的離心率e＝________.答案eq\f(5,7)解析如圖，設(shè)|BF|＝m，由題知，m2＋100－2×10mcos∠ABF＝36，解得m＝8，所以△ABF為直角三角形，所以|OF|＝5，即c＝5，由橢圓的對稱性知|BF|＝|AF′|＝8，(F′為右焦點)所以a＝7，所以離心率e＝eq\f(5,7).7．f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，假設(shè)同時滿足條件：①?x∈R，f(x)>0或g(x)>0；②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.那么實數(shù)m的取值范圍是________．答案(0,8)解析當(dāng)f(x)，g(x)滿足條件①時，m≤0顯然不合題意；當(dāng)m>0時，f(0)＝1>0，假設(shè)對稱軸x＝eq\f(4－m,2m)≥0，即0<m≤4，結(jié)論顯然成立，假設(shè)對稱軸x＝eq\f(4－m,2m)<0，即m>4，只要方程2mx2－2(4－m)x＋1＝0的判別式Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)<0即可，又m>4，可得4<m<8，所以m∈(0,8)．當(dāng)f(x)，g(x)滿足條件②時，對于m∈(0,8)，x∈(－∞，－4)，g(x)<0恒成立，由①可知，必存在x0∈(－∞，－4)，使得f(x0)>0成立，故可得m∈(0,8)．8．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋6x＋e2－5e－2，x≤e，,x－2lnx，x>e))(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，且e≈2.718)．假設(shè)f(6－a2)>f(a)，那么實數(shù)a的取值范圍是________．答案－3<a<2解析∵f′(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋6，x≤e，,1－\f(2,x)，x>e，))當(dāng)x≤e時，f′(x)＝6－2x＝2(3－x)>0，當(dāng)x>e時，f′(x)＝1－eq\f(2,x)＝eq\f(x－2,x)>0，∴f(x)在R上單調(diào)遞增．又f(6－a2)>f(a)，∴6－a2>a，解之得－3<a<2.9．函數(shù)f(x)＝x|x－2|，那么不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)的解集為________．答案[－1，＋∞)解析函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，由不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)知，eq\r(2)－x≤eq\r(2)＋1，從而得到不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)的解集為[－1，＋∞)．10．平行四邊形ABCD，點P為四邊形內(nèi)部或者邊界上任意一點，向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，那么0≤x≤eq\f(1,2)，0≤y≤eq\f(2,3)的概率是________．答案eq\f(1,3)解析由平面向量根本定理及點P為ABCD內(nèi)部或邊界上任意一點，可知0≤x≤1且0≤y≤1，又滿足條件的x，y滿足0≤x≤eq\f(1,2)，0≤y≤eq\f(2,3)，所以P(A)＝eq\f(\f(2,3)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(1,3).11．(2023·遼寧)等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項和．假設(shè)a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根，那么S6＝________.答案63解析∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，那么公比q＝2，因此S6＝eq\f(1×1－26,1－2)＝63.12．如下圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)答案DM⊥PC解析易得BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.13．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝eq\r(3)x，它的一個焦點與拋物線y2＝16x的焦點相同，那