2015高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案新人教A版必修2

【三維設(shè)計(jì)】2015高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

學(xué)案新人教A版必修2

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1平面

nyg平面

［提出問題］

寧靜的湖面、海面；生活中的課桌面、黑板面；一望無垠的草原給你什么樣的感覺？

問題1：生活中的平面有大小之分嗎？

提示：有.

問題2：幾何中的“平面”是怎樣的？

提示：從物體中抽象出來的，絕對平，無大小之分.

［導(dǎo)入新知］

1.平面的概念

幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.兒

何里的平面是無限延展的.

2.平面的畫法

(1)水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,它的銳角通常畫成45^,且橫邊長等于

其鄰邊長的2倍.如圖①.

(2)如果--個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出

來.如圖②.

圖①圖②

3.平面的表示法

圖①的平面可表示為平面a、平面ABCD、平面4c或平面BD.

［化解疑難］

幾何里的平面有以下幾個(gè)特點(diǎn)

(1)平面是平的；

(2)平面是沒有厚度的；

(3)平面是無限延展而沒有邊界的;

平面的基本性質(zhì)

［提出問題］

問題1：若把直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放在桌面上，直尺的邊緣上的其余點(diǎn)和桌面有何關(guān)

系？

提示：在桌面上.

問題2：為什么自行車后輪旁只安裝一只撐腳就能固定自行車？

提示：撐腳和自行車的兩個(gè)輪子與地面的接觸點(diǎn)不在一條直線上.

問題3：兩張紙面相交有幾條直線？

提示：一條.

［導(dǎo)入新知］

平面的基木性質(zhì)

公理內(nèi)容圖形符號

如果一條直線上的兩點(diǎn)在一

4C/,/,且脛a,

公理1個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在

^37a=>7Ca

此平面內(nèi)

過不在?條直線上的三點(diǎn),A,6,C三點(diǎn)不共線，存在唯

公理2

有且只有一個(gè)平面一的。使A,B,CGa

如果兩個(gè)不重合的平面有一

PGa,PR60aC8=1,

公理3個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只明

且飛/

有一條過該點(diǎn)的公共直線

［化解疑難］

從集合角度理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系

(1)直線可以看成無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用

“G”或“莊”表示；

(2)平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“e”或“建”

表示；

(3)直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“u”或“a”

表示.

鎖定高考,考題千變不離其宗

文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化

［例1］根據(jù)圖形用符號表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系.

(1)點(diǎn)尸與直線力合

(2)點(diǎn)C與直線AB；

_MLx

⑶點(diǎn)M與平面AC；PB

(4)點(diǎn)4與平面AC,

(5)直線48與直線SC；

(6)直線46與平面AC；

(7)平面46與平面4C

［解］⑴點(diǎn)飛直線被

⑵點(diǎn)C在直線AB-,

⑶點(diǎn)庶平面AC；(4)點(diǎn)4生平面AC；

⑸直線直線BC=點(diǎn)B；(6)直線ABU平面AC；

(7)平面46n平面直線AB.

［類題通法］

三種語言的轉(zhuǎn)換方法

(1)用文字語言、符號語言表示一個(gè)圖形時(shí).，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且

相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.

(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.

［活學(xué)活用］

1.根據(jù)下列符號表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)4

Ga,Bia■(2)a,/z?Aa=A,Ml；(3)PG1,用a,Q&l,Q&a.

解：(1)點(diǎn)力在平面a內(nèi)，點(diǎn)8不在平面a內(nèi)，如圖⑴；

(2)直線/在平面。內(nèi)，直線山與平面。相交于點(diǎn)4且點(diǎn)/不在直線/上，如圖(2)；

(3)直線)經(jīng)過平面a外一點(diǎn)夕和平面a內(nèi)一點(diǎn)0,如圖⑶.

G/Q

點(diǎn)、線共面問題

［例2］證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).

［解］已知：如圖所示，7|A72=J,12cl3=B,1-i-C.

求證：直線Z、h、A在同一平面內(nèi).

證法1:(納入平面法)

???九門二=4二1和1確定一個(gè)平面a.

?.5/3=5,

又HUa,：.B^a.

同理可證Cda.

又,：BGh,CWA,A73Ca.

二直線Z、h、A在同一平面內(nèi).

證法2：(輔助平面法)

V7,n72=A：.lx>A確定一個(gè)平面a.

,/12ch=B,：.h、△確定一個(gè)平面￡.

V^ey2,72Ca,,,.jea.

'：h,hU8,：.A&

同理可證6W。，BWB,ga,gB.

.??不共線的三個(gè)點(diǎn)4、&C既在平面a內(nèi)，又在平面￡內(nèi).

...平面。和￡重合，即直線九、h、人在同一平面內(nèi).

［類題通法］

證明點(diǎn)、線共面問題的理論依據(jù)是公理1和公理2,常用方法有

(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”；

(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面％其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面￡,再證平面

。與￡重合，即用“同一法”；

(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，用“反證法”.

［活學(xué)活用］

2.下列說法正確的是()

①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面②圓上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面

③任意四點(diǎn)確定一個(gè)平面④兩條平行線確定一個(gè)平面

A.①②B.②③

C.②?D.③④

解析：選C不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.圓上三個(gè)點(diǎn)不會在同一條直線上,

故可確定一個(gè)平面，二①不正確，②正確.當(dāng)四點(diǎn)在一條直線上時(shí)不能確定一個(gè)平面，③不

正確.根據(jù)平行線的定義知，兩條平行直線可確定一個(gè)平面，故④正確.

11共線問題

［例3］已知在平面a外，其三邊所在的直線滿足42na=P,

BCCa=Q,ACC\a=R,如圖所示.

求證：P,Q,兄三點(diǎn)共線.

［證明］法一：a=P,：.PGAB,尸G平面a.

又16U平面I%,.?/e平面46c

，由公理3可知：點(diǎn)一在平面46c與平面。的交線上，同理可證0,〃也在平面4%與

平面。的交線上.

:.P,Q,"三點(diǎn)共線.

法二："：APC\AR=A,

二直線/夕與直線川?確定平面APR.

又,.36na=P,ACHa=R,；.平面平面a=PR.

平面如元CW平面/必，.,.aU平面4％

,?0GBC,；.0G平面4PR又。e。，

AQ^PR,：.P,Q,彳三點(diǎn)共線.

［類題通法］

點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用公理3,即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別

在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其

他點(diǎn)也在其上.

［活學(xué)活用］

3.如圖所示，在正方體47CD4區(qū)G〃中，設(shè)線段4C與平面力的。交.q

于點(diǎn)0,求證：B,Q,4三點(diǎn)共線.人禧\B"

證明：如下圖所示，連接46,切.顯然6G平面46勿,“G平面4比。:\

.?.做u平面AxBCDx.

同理初U平面4閱幾

平面4864。平面A,BCDx=BD\.

：4Cn平面ABC\%=Q,

0G平面UG4.

又：4<X：平面ABC%,

：.0G平面

:.QQB仄,即氏Q,，三點(diǎn)共線.

修補(bǔ)短板.拉分題一分不丟

您額圖系列/

2.證明三線共點(diǎn)問題

［典例］如圖，在四面體4%為中，E,G分別為陽49的中點(diǎn)，戶在切上，〃在49上,

且有DF\FC^DH：例=2:3.

求證：EF,GH,即交于一點(diǎn).

欲證EF、GH、劭交于一點(diǎn)，可先證兩條線交于一點(diǎn)，再證此點(diǎn)在第三條直線上.

由DF：FC=DH：HA=2:3可得GE"FH&GE豐FH,即切%是梯形，由此得到GH與EF

交于一點(diǎn).

證明E、F、〃、C四點(diǎn)共面一?成盼為梯形一/和"'交于一點(diǎn)。一證隹平面ABD-O

e平面BCD~?平面力劭C平面BCD^BD~?OeBD~?得出結(jié)論.

［規(guī)范解答］

因?yàn)?G分別為沅，池的中點(diǎn)，所以必〃/C又因?yàn)槿纾篞ZW：胡=2：3,所以加

//AC,從而FH//GE.：.GE于FH.（4分）

19

故E,F,//,G四點(diǎn)共面.又因?yàn)橹?》4GFH=^AC,所以四邊形夕部是一個(gè)梯形，設(shè)

乙0

加和必交于一點(diǎn)0.（6分）

因?yàn)?。在平?加內(nèi)，又在平面版內(nèi)，所以。在這兩平面的交線上，而這兩個(gè)平面的

交線是（9分）

且交線只有這一條，所以點(diǎn)。在直線加上.（10分）

這就證明了陽和成的交點(diǎn)也在被上，所以即GH,劭交于一點(diǎn).（12分）

［名師批注］

如何證明四點(diǎn)共面？，根據(jù)公理2的推論可知，本題可利用切力團(tuán)即可確定及F,H,G

四點(diǎn)共面.

12

為什么67/和斯交于一點(diǎn)？，因?yàn)橥逨,H,G四點(diǎn)共面，且曲容月C,HF繪AC,所以

Zt）

GE//HF豆GE豐HF,即分粉為梯形，梯形兩腰延長線必相交于一點(diǎn).

怎樣確定第三條直線也過交點(diǎn)？

只要證明交點(diǎn)在第三條直線上，這條直線恰好是分別過G〃和仔,的兩個(gè)平面的交線.

［活學(xué)活用］

A

如圖所示，在空間四邊形各邊AB,BC,⑺上分別取區(qū)F,G,HA

四點(diǎn)，如果也，成交于一點(diǎn)尸，求證：點(diǎn)-在直線切上.1^\

證明：EFCG4P,p

:.PREF旦PGGH.

又?.?必u平面［如，面u平面物，，尸e平面且平面倒9,又Pe平面力如n

平面CBD,平面ABDC平面CBD=BD,由公理3可得P&BD.

.?.點(diǎn)尸在直線加上.

4自主演練,百煉方成鋼

［隨堂即時(shí)演練］

1.若點(diǎn)0在直線。上，8在平面￡內(nèi)，則0,b,￡之間的關(guān)系可記作（）

A.Q&bJ6B.Q&bU￡

C.gbU8D.0U6G￡

解析：選B?.?點(diǎn)0（元素）在直線。（集合）上，.??064

又???直線6（集合）在平面￡（集合）內(nèi)，.?"（=￡,.MG6U￡.

2.兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面（）

A.相交B.重合

C.相交或重合D.以上都不對

解析：選C若三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，則兩平面可能相交；若這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上,

則這兩個(gè)平面重合.

3.下列對平面的描述語句：

①平靜的太平洋面就是個(gè)平面；

②8個(gè)平面重疊起來比6個(gè)平面重疊起來厚；

③四邊形確定一個(gè)平面；

④平面可以看成空間中點(diǎn)的集合，它當(dāng)然是??個(gè)無限集.

其中正確的是.

解析：

序號正誤原因分析

①X太平洋面只是給我們以平面的形象，而平面是抽象的，且無限延展的

②X平面是無大小、無厚薄之分的

③X如三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)相連的四邊形不能確定一個(gè)平面

④V平面是空間中點(diǎn)的集合，是無限集

答案：④

4.設(shè)平面。與平面￡交于直線1,A&a,BQa,且直線則直線/8A￡

解析：Vanp=ABn1=C,C^AB,:.ABC8=C.

答案：C

5.將下列符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言.

(1)aCa,Z,na—A,昶a.

(2)aQJ3=c,aUa,6U￡,a//c,Z?Ac=P.

［課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測］

一、選擇題

1.用符號表示“點(diǎn)4在直線/上，/在平面a外”，正確的是（）

A.A^l,l&aB.A&l,Ida

C.AU1,IdaD.AUI,7$a

解析：選B注意點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面之間的關(guān)系是元素與集合間的關(guān)系，直線與平面

之間的關(guān)系是集合與集合間的關(guān)系.

2.（2012?福州高一檢測）下列說法正確的是（）

A.三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面

B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面

C.四邊形是平面圖形

D.兩條相交直線可以確定一個(gè)平面

解析：選DA錯(cuò)誤，不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.B錯(cuò)誤，-條直線和直線外一個(gè)

點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.C錯(cuò)誤，四邊形不一定是平面圖形.D正確，兩條相交直線可以確定一

個(gè)平面.

3.空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.1或3

解析：選D若三條直線兩兩相交共有三個(gè)交點(diǎn)，則確定1個(gè)平面；若三條直線兩兩相

交且交于同一點(diǎn)時(shí)，可能確定3個(gè)平面.

4.下列推斷中，錯(cuò)誤的是（）

A.A&l,jea,Bwl,BRa0lua

B.4Ga,AG8,BQa,BQ80aC8=AB

C.Ma,a

D.A,B,CEa,A,B,gB,且4B,C不共線*。，萬重合

解析：選CA即為直線/上有兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)；B即為兩平面的公共點(diǎn)

在公共直線上；D為不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故D也對.

5.在空間四邊形相切的邊/8、BC、CD、刃上分別取反F、G、〃四點(diǎn)，如果"與傷

交于點(diǎn)材，那么（）

A."一定在直線4C上

B."一定在直線加上

C."可能在直線/C上，也可能在直線做上

D.必既不在直線4c上，也不在直線班上

解析：選A點(diǎn)"一定在平面13。與平面物的交線4C上.

二、填空題

6.（2012?福州高一檢測）線段46在平面a內(nèi)，則直線46與平面。的位置關(guān)系是

解析：因?yàn)榫€段在平面。內(nèi)，所以/ea,bea,由公理1知直線45U平面a.

答案：直線4仁平面a

7.把下列符號敘述所對應(yīng)的圖形的字母編號填在題后橫線上.

⑴展a,aUa

(2)aCl￡=a,用。且再￡.

(3)a,aCa==-A_.

(4)aAfi—a,ady—c,8Cy=b,aAinc—0.

解析：⑴圖C符合廨a,aUa

(2)圖D符合aA￡=a,4a且房￡

⑶圖A符合Ma,aPla—A

⑷圖B符合an￡=a,oAY=c,BCy=b,aC\b(']c=0

答案：(DC(2)D(3)A(4)B

8.平面aC平面B=l,點(diǎn)48Ga,點(diǎn)矢平面￡且在/,ABC}1=R,設(shè)過點(diǎn)4,B,

C三點(diǎn)的平面為平面Y,則6cr=.

解析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)上￡,且點(diǎn)無Y,所以

rc/?^BA

8￡CK因?yàn)辄c(diǎn)所以點(diǎn)AWr,又"W￡,所以彳w￡ny,從而?"

BcY=CR.

答案：CR

三、解答題

9.求證：如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交，那么這四條直線共面.

解：已知：a//b//c,lC\a-A,7Db—B,lC\c—C.z—；

求證：直線a,b,c和1共面.

證明：如圖所示，因?yàn)閍〃6,由公理2可知直線a與6確定一個(gè)平面，設(shè)為a.

因?yàn)?ria=4lCb=B,所以Ida,BGb,貝lj4Ga,又因?yàn)閇G],BG1,所以

由公理1可知7Ca.

因?yàn)閎〃c,所以由公理2可知直線6與c確定一個(gè)平面￡,同理可知/U￡.

因?yàn)槠矫妗：推矫妗甓及本€6與/,且/n6=5,而由公理2的推論2知：經(jīng)過

兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，所以平面。與平面￡重合，所以直線a,b,c和/共

面.

10.已知正方體4934笈G"中，E,少分別為4G,G8的中點(diǎn)，ACCBAP,ACCEF

=Q.

求證：(1)D,B,F,￡四點(diǎn)共面;

(2)若4c交平面晰5■于A點(diǎn)，則只Q,彳三點(diǎn)共線.

證明：如圖.(1)連接瓦%:哥'是△〃氏G的中位線，廝〃

在正方體力G中，B.IX//BD,：.EF//BD.:.EF、劭確定一個(gè)平面，即〃，B,

F,￡四點(diǎn)共面.

(2)正方體力G中，設(shè)平面44CG確定的平面為a,又設(shè)平面龍仔1

為為

:.QCa.又QGEF,

則0是。與￡的公共點(diǎn)，同理P是a與B的公共點(diǎn),

anB=PQ.

又=：.R^AxC.

:.RRa,且AW￡,貝ijRWPQ.

故只Q,上三點(diǎn)共線.

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

空間兩直線的位置關(guān)系

［提出問題］

立交橋是伴隨高速公路應(yīng)運(yùn)而生的.城市的立交橋不僅大大方便

了交通，而且成為城市建設(shè)的美麗風(fēng)景.為了車流暢通，并安全地通

過交叉路口，1928年，美國首先在新澤西州的兩條道路交叉處修建了

第一座苜蓿葉形公路交叉橋.1930年，芝加哥建起了一座立體交叉

橋.1931年至1935年，瑞典陸續(xù)在一些城市修建起立體交叉橋.從此,

城市交通開始從平地走向立體.

問題1：在同一平面內(nèi)，兩直線有怎樣的位置關(guān)系？

提示：平行或相交.

問題2：若把立交橋抽象成一直線，它們是否在同一平面內(nèi)？有何特征？

提示：不共面，即不相交也不平行.

問題3：觀察一下，教室內(nèi)日光燈管所在直線與黑板的左、右兩側(cè)所在直線，是否也具

有類似特征？

提示：是.

［導(dǎo)入新知］

1.異面直線

(1)定義：不同在任何?個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

(2)異面直線的畫法

位置關(guān)系特點(diǎn)

相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

平行同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)

［化解疑難］

1.對于異面直線的定義的理解

異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.注意異面直線定義

中“任何”兩字，它指空間中的所有平面，因此異面直線也可以理解為:

在空間中找不到一個(gè)平面，使其同時(shí)經(jīng)過a、6兩條直線.例如，如圖

所示的長方體中，棱和64所在的直線既不平行又不相交，找不到

一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過這兩條棱所在的直線，故與笈G是異面直線.

2.空間兩條直線的位置關(guān)系

①若從有無公共點(diǎn)的角度來看，可分為兩類:

有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)?相交直線,

直線,平行直線,

無公共點(diǎn)

.異面直線.

②若從是否共面的角度看，也可分兩類:

相交直線,

共面直線

直線平行直線,

不共面直線：異面直線.

1Ms平行公理及等角定理

［提出問題］

1.同一平面內(nèi)，若兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.空間中是

否有類似規(guī)律？

提示：有.

觀察下圖中的//如與N40'夕.

問題2：這兩個(gè)角對應(yīng)的兩條邊之間有什么樣的位置關(guān)系？

提示：分別對應(yīng)平行.

問題3：測量一下，這兩個(gè)角的大小關(guān)系如何？

提示：相等.

［導(dǎo)入新知］

1.平行公理(公理4)

(1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞

工

a//b

(2)符號表述：=?a〃c.

b//c

2.等角定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相袖或互補(bǔ).

3.異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)。作直線a'Ha,b'//b,我們把

a'與〃所成的銳生(或直魚)叫做異面直線a與人所成的角(或夾角).

(2)異面直線所成的角的取值范圍：0。＜〃W90。.

n

(3)當(dāng)。=歹時(shí)，a與6互相垂直，記作山.

［化解疑難］

對平行公理與等角定理的理解

公理4表明了平行的傳遞性，它可以作為判斷兩直線平行的依據(jù)，同時(shí)也給出了空間兩

直線平行的一種證明方法.等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是公理4的

直接應(yīng)用，并且當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同時(shí)，它們相等，否則它們互補(bǔ).

鎖定高考,考題千變不離其宗

LES兩直線位置關(guān)系的判定

［例1］

如圖，正方體4M>—4占4〃中，判斷下列直線的位置關(guān)系：D

①直線48與直線4c的位置關(guān)系是；

②直線48與直線為C的位置關(guān)系是；

③直線4〃與直線4c的位置關(guān)系是；

④直線與直線8c的位置關(guān)系是.

［解析］直線〃〃與直線AC相交于〃點(diǎn)，所以③應(yīng)該填“相交”；直線48與直線〃C

在平面46切中，且沒有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”：點(diǎn)4、B、笈在平面

4班內(nèi)，而。不在平面4曲內(nèi)，則直線46與直線5C異面.同理,直線與直線笈C異面.所

以②④應(yīng)該填“異面”.

［答案］①平行②異面③相交④異面

［類題通法］

1.判定兩條直線平行或相交的方法

判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理4

判斷.

2.判定兩條直線是異面直線的方法

（1）定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi).

（2）重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是

異面直線.用符號語言可表示為展。，a,lUa,國/今仍與/是異面直線（如圖）.

［活學(xué)活用］

1.（2012?臺州高一檢測）如圖，44是長方體的一條棱，這個(gè)長方體中與小h異面的棱

的條數(shù)是（）

D.G

A,

/D

A

A.6B.4

C.5D.8

解析：選B與44異面的棱有比；RC、,CD,G”共4條.

2.若a,b,。是空間三條直線，a//b,a與c相交，則6與c的位置關(guān)系是.

解析：在正方體力版一4B'CD'中，設(shè)直線〃C為直線。，直線/'B'為直線a,

滿足a〃4與a相交的直線c可以是直線9C,也可以是直線如'.顯然直線夕。與b

相交，BB,與。異面，故。與c的位置關(guān)系是異面或相交.

答案：異面或相交

平行公理及等角定理的應(yīng)用

［例2］如圖，在正方體4?(力-45G〃中，MM分別是棱

和4。的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形能為平行四邊形；

(2)求證：NBMC=NB\狐G.

［證明］⑴在正方形中，.伙M分別為"、4〃的中點(diǎn)，

又,：AA娥B(yǎng)B”

:.敏狐〃BR,且謠=郎，

???四邊形步也M為平行四邊形.

(2)法一：由(1)知四邊形班也材為平行四邊形，

:BM.同理可得四邊形為平行四邊形，...GM〃◎/山平面幾何知識可知，Z

笈必和N尻協(xié)G都是銳角.

二ABMC=/尻妍G.

法二：由(1)知四邊形物腑(/為平行四邊形,

同理可得四邊形CGM"為平行四邊形，

：.C^=CM.

又,：BG=BC,:.△BCg△BsCM.

：.ZBMC=

［類題通法］

1.證明兩條直線平行的方法：

(1)平行線定義

(2)三角形中位線、平行四邊形性質(zhì)等

⑶公理4

2.空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，當(dāng)兩個(gè)角的兩

邊方向都相同時(shí)或都相反時(shí)，兩個(gè)角相等，否則兩個(gè)角互補(bǔ)，因此，在證明兩個(gè)角相等時(shí)，

只說明兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行是不夠的.

［活學(xué)活用］

3.如圖，已知反F,G,〃分別是空間四邊形4物的邊4?,BC,CD,物的中點(diǎn).

(1)求證：E,F,G,〃四點(diǎn)共面；

(2)若四邊形甌加是矩形，求證：ACX.BD.

證明：(1)如題圖，在△兒切中，

,:E,〃分別是隔，4〃的中點(diǎn)，

EH//BD.同理FG//BD,則EH//GH.

故￡,F,G,〃四點(diǎn)共面.

⑵由⑴知切/〃劭，同理｛勿而

又,四邊形四W是矩形，，以L67Z故1C_L放

兩異面直線所成的角

［例3］如圖，已知長方體4?切一484。中，AxA=AB,E、尸分別是能和/〃中點(diǎn)，求

異面直線或，￡尸所成的角的大小.

［解］取以的中點(diǎn)G,連接酩DG,

￡是初的中點(diǎn)，EG//BC,EG^BC.W是"的中點(diǎn)，且AD//BC,AgBC,：.DF//

BC,DF^BC,：.EG//DF,￡G=加，...四邊形是平行四邊形，

：.EF//DG,

ZDG仄(或其補(bǔ)角)是異面直線C仄與歷'所成的角.

又?.?4/=四，.?.四邊形/幽4,四邊形物G都是正方形，且G為山的中點(diǎn)，

CDx,

〃浙90。,

.?.異面直線切，獷'所成的角為90°.

［類題通法］

求兩異面直線所成的角的三個(gè)步驟

(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角；

(2)證：證明作出的角就是要求的角；

(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出.

可用“一作二證三計(jì)算”來概括.同時(shí)注意異面直線所成角范圍是(0°,90。］.

［活學(xué)活用］

4.已知463464〃是正方體，求異面直線4G與6C所成角的大小.

解：如圖所示，連接4〃和G。，

■:瓜C"AM

NZHG即為異面直線4G與8c所成的角.

4G,G〃為正方體各面上的對角線，

AiD^AiC\—C\Df

.?.△4G〃為等邊三角形.即NG4〃=60°.

二異面直線4G與8c所成的角為60°.

3修補(bǔ)短板，拉分題一分不丟

轡陶翁系列/

2.探究空間中四邊形的形狀問題

［典例］如圖，空間四邊形/匐?中，E,F,G,〃分別是16,BC,

CD,用的中點(diǎn).

求證：四邊形跖的是平行四邊形.

C

［證明］連接

因?yàn)榧词恰?加的中位線,

所以EH〃BD,息EH=^BD.

同理，F(xiàn)G//BD,且FG=±BD.

因此夕7〃咫

又EkFG,

所以四邊形跖弟為平行四邊形.

［多維探究］

1.矩形的判斷

本例中若加上條件"ACLB",則四邊形外切是什么形狀？

證明：由例題可知掰〃切，同理原〃47,

又BD1AC,

因此血

所以四邊形以以為矩形.

2.菱形的判斷

本例中，若加上條件“4仁的'，則四邊形所創(chuàng)是什么形狀？

證明：由例題知仍〃薇且加;加，

同理斯〃4C,且所=；然

又AC=BD,

所以EH=EF.

又跖第為平行四邊形，

所以砂6萬為菱形.

3.正方形的判斷

本例中，若加上條件“4UL加，且力。=刎’，則四邊形第第是什么形狀？

證明：由探究1與2可知，

EFGH為正方形.

4.梯形的判斷

若本例中，E、〃分別是"、相中點(diǎn)，F(xiàn)、C分別是及7,切上的點(diǎn)，豆CF；FB=CG：GD

=1：2,那么四邊形牙皿是什么形狀？

證明：由題意可知掰是的中位線，則加〃如且赤

「CFCG1

乂高存=5'

:?FG〃BD,

FGFC1

癡=獷丁

1

：.FG=~BD,

:.FG〃EH久FG不EH,

二四邊形反詡是梯形.

［方法感悟］

根據(jù)三角形的中位線、公理4證明兩條直線平行是常用的方法.公理4表明了平行線的

傳遞性，它可以作為判斷兩條直線平行的依據(jù)，同時(shí)也給出空間兩直線平行的?種證明方法.

4自主演練，百煉方成鋼

［隨堂即時(shí)演練］

i.不平行的兩條直線的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面

C.平行D.相交或異面

解析：選D若兩直線不平行，則直線可能相交，也可能異面.

2.己知ABHPQ,BC//QK,//6C=30°,則//W等于（）

A.30°B.30°或150°

C.150°D.以上結(jié)論都不對

解析：選B的兩邊與NA胛的兩邊分別平行，但方向不能確定是否相同.

:.NPQR=30°或150°.

3.已知正方體1AN一第第，則刈/與能所成的角是.

解版：'：FG〃EH,:"AHE=45°,即為■與所成的角.

答案：45°

4.正方體/G中，E,尸分別是線段G〃，比的中點(diǎn)，則直線45與直線原的位置關(guān)系是

解析：直線48與直線外一點(diǎn)￡確定的平面為48切，眄平面46四，且兩直線不平行,

故兩直線相交.

答案：相交

5.如圖所示，空間四邊形仍口中，ABVCD,E、F分別為BC、

力〃的中點(diǎn)，求跖和46所成的角.

解：如圖所示，取物的中點(diǎn)G,連接）、FG.

■:E、/分別為a1、49的中點(diǎn)，AB=CD,

：.EG//CD,GF//AB,且比=初GF=%B.

.?./涯就是項(xiàng)與46所成的角，EG=GF.

'：ABVCD,：.EGVGF.

:./EGF=9Q°.

.?.△石%為等腰直角三角形.

:.ZGFE=45°,

即跖與4?所成的角為45°.

［課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測］

一、選擇題

1.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（）

A.平行或異面B.相交或異面

C.異面D.相交

解析：選B假設(shè)a與6是異面直線，而c//a,則c顯然與6不平行（否則c//b,貼有a

//b,矛盾）.因此c與8可能相交或異面.

2.如圖所示，在三棱錐A跳快中，E、尸、G、〃分別是棱SP、MN、s

A

，”的中點(diǎn)，則跖與法的位置關(guān)系是（）

A.平行

B.相交

MGN

C.異面

D.平行或異面

解析：選AYE、尸分別是可和步的中點(diǎn)，

：.EF//PN.

同理可證HG//PN,

C.EF//HG.

3.（2012?福州高一檢測）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖則,在正方體中，和與勿的

位置關(guān)系為（）

A.相交B.平行

C.異面而且垂直D.異面但不垂直

解析：選D將展開圖還原為正方體，如圖所示.

c

”與5所成的角為60°,故選D.

4.下列命題中

①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；

②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等;

③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；

④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.

正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：選B對于①，這兩個(gè)角也可能互補(bǔ)，故①錯(cuò)；對于②，正確；對c

于③，不正確，舉反例：如右圖所示，BCA.PB,ACLPA,N/1應(yīng)的兩條邊分別

垂直于//陽的兩條邊，但這兩個(gè)角既不一定相等，也不一定互補(bǔ)；對于④，山公理4可知

正確.故②④正確，所以正確的結(jié)論有2個(gè).

5.若P是兩條異面直線卬外的任意一點(diǎn)，則（）

A.過點(diǎn)尸有且僅有一條直線與，，皿都平行

B.過點(diǎn)一有且僅有一條直線與7,而都垂直

C.過點(diǎn)夕有且僅有條直線與1,加都相交

D.過點(diǎn)?有且僅有一條直線與而都異面

解析：選B逐個(gè)分析，過點(diǎn)尸與0都平行的直線不存在；過點(diǎn)夕與/,加都垂直的

直線只有一條；過點(diǎn)P與1,必都相交的直線1條或0條；過點(diǎn)P與1,山都異面的直線有無

數(shù)條.

二、填空題

6.（2012?連云港高一檢測）空間中有一個(gè)角/月的兩邊和另一個(gè)角N8的兩邊分別平行,

N4=70°,則N8=

解析：???N/I的兩邊和N8的兩邊分別平行，

.?./4=/8或/4+/4180°.

又/4=70°,：.ZB=70°或110°.

答案：70?；?10°

7.已知正方體4夕（加-464〃中，2為G〃的中點(diǎn)，則異面直線4?與4劣所成的角的余

弦值為.

解析：設(shè)棱長為1，因?yàn)?/〃G〃，所以就是異面直線4?與4③所成的角.在4

__________\

?/,,,,<1\3RE21

/中，AE=\/l+r+7=7,cosZAEDi=-=-=-

2)Z/IE6

2

答案：3

8.如圖，點(diǎn)只Q、R、S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線/鋁與

股是異面直線的一個(gè)圖是—

解析：①中PQ//RS,②中RS//PQ,④中做和尸0相交.

答案：③

三、解答題

9.如圖所示，E、尸分別是長方體4644—/閱9的棱44GC的

中點(diǎn).

求證：四邊形8叱是平行四邊形.

證明：設(shè)0是出的中點(diǎn)，連接切、0G.

?；￡是陰?的中點(diǎn),

:.EQ糠AM.

又在矩形4AG〃中，糠BC,

."0統(tǒng)36（平行公理）.

/.四邊形為平行四邊形.，笈瓦緘GQ

又,：Q、F是DH、GC兩邊的中點(diǎn)，；.Q〃飆

...四邊形曲為平行四邊形.

：*C\Q瞅DF.

又?.?如觸C、Q,

:.B、E缺DF.

二四邊形瓦物?為平行四邊形.

10.已知三棱錐力一6"中，AB^CD,且直線四與切成60°角，點(diǎn)M,"分別是闈AD

的中點(diǎn)，求直線47和必V所成的角.

解：如圖，取〃'的中點(diǎn)只連接掰PN,因?yàn)辄c(diǎn)明川分別是圍

的中點(diǎn)，

1

且-

所以PM//AB,2-

PN//CD,且孫上之微

所以乙力州（或其補(bǔ)角）為46與繆所成的角.

所以/凡做或其補(bǔ)角）為AB與施'所成的角.

因?yàn)橹本€46與5成60°角，

所以乙"1三60°或乙"120°.

又因?yàn)樗栽氯室?

⑴若乙仍V=60°,則是等邊三角形，

所以/為伸=60°,即也與砌￥所成的角為60°.

⑵若乙仍V'=120°,則易知是等腰三角形.

所以/為伴=30°,即4?與掰V所成的角為30°.

綜上可知：股與獨(dú)￥所成角為60°或30°.

2.1.3&2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

層析教材，新知無師自通IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

空間中直線與平面的位置關(guān)系

［提出問題］

應(yīng)縣木塔，在山西應(yīng)縣城佛宮寺內(nèi)，遼清寧二年(1056年)建.塔呈平

面八角形，外觀五層，夾有暗層四級，實(shí)為九層，總高67.31米，底層直徑

30.27米，是國內(nèi)外現(xiàn)存最古老最高大的木結(jié)構(gòu)塔式建筑.塔建在4米高的

兩層石砌臺基上，內(nèi)外兩槽立柱，構(gòu)成雙層套筒式結(jié)構(gòu)，柱頭間有欄額和普

柏楊，柱腳間有地伏等水平構(gòu)件，內(nèi)外槽之間有梁橋相連接，使雙層套筒緊

密結(jié)合.暗層中用大量斜撐，結(jié)構(gòu)上起圈梁作用，加強(qiáng)木塔結(jié)構(gòu)的整體性.

問題1：立柱和地面是什么位置關(guān)系？

提示：相交.

問題2：柱腳間有地伏等水平構(gòu)件看成直線，它和地面有什么關(guān)系？

提示：在平面內(nèi).

問題3：直線和平面還有其他關(guān)系嗎？

提示：平行.

［導(dǎo)入新知］

直線