2016年概率論期末試卷集合

誠信應(yīng)考，考試作弊將帶來嚴(yán)重后果!

華南理工大學(xué)期末試卷

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試卷A卷

(2學(xué)分用)(注：此份試卷初認(rèn)為是07年1月考，2005級)

注意事項：1.考前請將密封線內(nèi)各項信息填寫清楚；

2.解答就答在試卷上；

3.考試形式：閉卷；

4.本試卷共八大題，滿分100分，考試時間120分鐘。

>.

題號一二三四五八七八總分

得分

評卷人

注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值

①(2.33)=0.9901；①(2.48)=0.9934；①(1.67)=0.9525

一、選擇題(每題3分，共18分)

1.設(shè)A、B均為非零概率事件，且AuB成立，則()

A.P(AUB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(A|B)=^^D.P(A-B)=P(A)-P(B)

P(B)

2.擲三枚均勻硬幣，若A=｛兩個正面，一個反面｝，則有P(A)=()

A.1/2B.1/4C.3/8D.1/8

3.對于任意兩個隨機(jī)變量J和〃，若E(J〃)=EJE〃，則有()

A.D(g〃)=DJD〃B.D(g+〃)=D&+D〃

C.&和〃獨立D.4和〃不獨立

4.設(shè)P(x)=J2sinx，'若p(x)是某隨機(jī)變量的密度函數(shù)，則常數(shù)人=()

0,x仁［0,

A.1/2B.1/3C.1D.3/2

16

5.若Q,42,…，彳6相互獨立，分布都服從N(u,/),則i)2的密度函

bi=l

數(shù)最可能是()

畜產(chǎn),z〉。

B.f(-)=-L=e：2,'2

A.f(z)=<z,-oo<z<4-oo

J12.

0,z<0

~,z〉。

_72/19

C.f(z)=—-：：—c’,-00<z<+00D.f(z)=

0,z<0

6.設(shè)(J,〃)服從二維正態(tài)分布，則下列說法中錯誤的是()

A.必,〃)的邊際分布仍然是正態(tài)分布

B.由(J,〃)的邊際分布可完全確定(J，〃)的聯(lián)合分布

C.(自，為二維連續(xù)性隨機(jī)變量

D.J與〃相互獨立的充要條件為異與"的相關(guān)系數(shù)為0

二、填空題(每空3分，共27分)

1.設(shè)隨機(jī)變量X服從普阿松分布，且P(X=3)=—e-2,則EX=。

3-----------

2.已知DX=25,DY=36,rXY=0.4,貝Ucov(X,Y)=.

3.設(shè)離散型隨機(jī)變量X分布率為P{X=k}=5A(3"(k=l,2,…)，則A=.

2--------

4.設(shè)自表示10次獨立重復(fù)試驗中命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.6,則42的

數(shù)學(xué)期望E42)=.

\--^r>o

5.設(shè)隨機(jī)變量J的分布函數(shù)F(x)=/e'(2>0),則4的密度函數(shù)

0,x<0

p(x)=,EJ=,DJ=.

6.設(shè)X?N(2,er?),且P{2<X<4}=0.3,則P{X<0}=

7.袋中有50個乒乓球，其中20個黃的，30個白的。現(xiàn)在兩個人不放回地依次從袋中隨機(jī)

各取一球，則第二人取到黃球的概率是。

三、（本題8分）在房間里有10個人，分別佩戴從1到10號的紀(jì)念章，任選3人紀(jì)錄其紀(jì)

念章的號碼，試求下列事件的概率：

（1）A="最小號碼為6"；（2）B="不含號碼4或6”。

四、（本題12分）設(shè)二維隨機(jī)變量（J,77）具有密度函數(shù)

Ce-2（x+y）,x>0,y>0

其它

試求（1）常數(shù)C；（2）P（J+〃<1）;（3）J與〃是否相互獨立？為什么？

（4）J和〃的數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差。

五、（本題8分）已知產(chǎn)品中96%為合格品?，F(xiàn)有一種簡化的檢查方法，它把真正的合格品

確認(rèn)為合格品的概率為0.98,而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05.求在這種簡化檢查下被認(rèn)

為是合格品的一個產(chǎn)品確實是合格品的概率？

六、（本題8分）一個復(fù)雜的系統(tǒng)由100個相互獨立起作用的部件所組成。在運行期間，每

個部件損壞的概率為0.1,而為了使整個系統(tǒng)正常工作，至少必須有85個部件工作。求整

個系統(tǒng)正常工作的概率。

七、（本題12分）有一類特定人群的出事率為0.0003,出事賠償每人30萬元，預(yù)計有500

萬以上這樣的人投保。若每人收費M元（以整拾元為單位，以便于收費管理。如122元就取

為130元、427元取成430元等），其中需要支付保險公司的成本及稅費，占收費的40%,問

M至少要多少時才能以不低于99%的概率保證保險公司在此項保險中獲得60萬元以上的利

潤？

八、（本題7分）敘述大數(shù)定理，并證明下列隨機(jī)變量序列服從大數(shù)定理。

’-0匹、

n=2,3,4…

1-2/n

2005級概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷A卷參考答案

、

1.C

注釋：由“AuB成立”得P（A）=P（AB）

P(AB)

故P(AIB)=P(A)

P(B)雨

2.C

3.B

注釋：參考課本86頁

4.B

注釋:j；2sinxdx=l

?5.

6.B

A項參見課本64頁，D項參見課本86頁

二、

1.2

注釋：若X服從Poisson分布，貝l」EX=/l,DX=2a(課本84頁)

2.12

注釋：cov(X,Y)=rxyyjDXDYo(參考課本86頁)

3.1/5

注釋：運用等比求和公式s=)

i-q

4.38.4

注釋：5/2)=。4+(后92,對于4B(n,p),E^=np,D^=npq

Ae~u,x>Q

5.p(x)=<

0,x<0

6.0.2

注釋：類似2006級試卷填空題第6題

7.2/5

三、

(1)1/20;(2)14/15

C；

注釋：(1)P(A)=,C：表示從7、8、9、10這四個數(shù)中選兩個;

C,3o

(2)萬="三個號碼中既含4又含6”

四、(1)C=4;

⑵P{J+〃<1}=1dx4e-2"+?dy=l-3e2;

⑶

x>Q_2e^2y_y>0

，p〃(y)

x<0-0y<0

因「式工卜0/田二漢匕:^故^與〃獨立

?⑷

g與〃獨立，所以cov(J,77)=0

=0x.2e-lxdx=I，E$=「x?.2e-2xdx=^

故”=塔2_(即2=j.

4

同理，En=Dn--

24

五、0.9979

注釋：運用全概率公式，類似2006級試卷第三題

六、0.9525

注釋：設(shè)這100個部件中沒有損壞部件數(shù)為X,

則X服從二項分布8(100,0.9),且有

______EX=np=100x0.9=90,DX=npq=90x0.1=9

由拉普拉斯定理，

P(a<X<b}?0(-0(

故至少須有85個部件工作的概率為：

85-90

P{X>85)?1-0>(―『)=1-0)(-1.67)=0>(1.67)=0.9525

七、M=160

注釋：設(shè)出事人數(shù)為X,則有XB(5000000,0.0003)

EX=5000000x0.0003=1500,DX=5000000x0.0003x0.9997?1500

若要以99%的概率保證保險公司在此項保險中獲得60萬元以上的利潤,

則P{5000000Mx(1-40%)-Xx300000>600000}>99%

^P{X<10M-2}>99%

故需滿足P{軟10M-2-1500

<}>99%

V1500

10M-2-1500

即①()>99%?O(2.33)

V1500

解得MN159.22,故M=160

八、(1)課本98頁辛欣大數(shù)定理

(2)

由于E@)=0-(1--)+Vn-—+(-V?)--=0

nnn

D?)=E?2)_[E?)]2=E?2)

=0-(l--)+(V^)2--+(-Vn)2--=2

nnn

__1n+I__1〃+1

令衛(wèi)=-Z左左=2,3,…，則E(刁=—￡>4)=0

〃k=2〃k=2

__i"+Iin

D(1)==Z°(&.)==?2〃=—

幾k=2""

由契比雪夫不等式，對任意的￡>0,有

——2

P{/-E?)1<￡}21—-7

nc

故有l(wèi)imP{E,-E?,)l<￡}=l

nToo

即{￡}服從大數(shù)定律

誠信應(yīng)考，考試作弊將帶來嚴(yán)重后果!

華南理工大學(xué)期末考試

n|r>《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試卷A卷

W

接（2學(xué)分用）

注意事項：1.考前請將密封線內(nèi)各項信息填寫清楚；

2.可使用計算器，解答就答在試卷上；

3.考試形式：閉卷；

4.本試卷共八大題，滿分100分?？荚嚂r間120分鐘。

題號一二三四五七八總分

得分

評卷人

聆注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值

①(1.0)=0.8413,①(2.33)=0.99010(2.5)=0.99380(2.42)=0.9922

選擇題（每題分，共分）

S-I—315

必

回:

施;1、設(shè)X?N（u,。2）,則概率p(X^l+u)=()

堤

耕M：A）隨R的增大而增大；B）隨U的增加而減小;

斑：

翦：C）隨。的增加而增加；D）隨。的增加而減小.

2、設(shè)A、B是任意兩事件，則P(A-8)=()

A)P(A)—P(B)B)P(A)-P⑻+P(AB)

C)P(A)-P(AB)D)P(A)+P(B)-P(AB)

3、設(shè)自是一個連續(xù)型變量，其概率密度為<p(x),分布函數(shù)為F(x),則

對于任意x值有()

A)P&=x)=OB)F(x)=(p(x)

C)P化=x)=(p(x)D)P《=x)=F(x)

4、對于任意兩個隨機(jī)變量x和y,若E(xy)=E(x>E(y),則()

A)D(XY)=D(X)D(Y)B)D(X+Y)D(X)+D(Y)

C)x和y獨立D)x和y不獨立

5、設(shè)孑的分布律為

4012

P0.250.350.4

而/(x)=P化<x},貝ljF(后)=()

A)0.6,B)0.35,C)0.25,D)0

二、填空題(每空3分，共21分)

1、某射手有5發(fā)子彈.，射一次命中的概率為0.75。如果命中了就停

止射擊，否則就一直射到子彈用盡。則耗用子彈數(shù)匕的數(shù)學(xué)期望

為O

2、已知DY=36,cov(X,Y)=12,相關(guān)系數(shù)以丫=0.4,則DX=。

3、三次獨立的試驗中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率

為g,則每次試驗成功的概率為。

4、設(shè)乂~8(3,p),y~B(4,p),且X、Y相互獨立，則x+y服從二項分

布O

5、若X~U(0,5),方程/+2Xx+5X-4=0有實根的概率。

6、設(shè)3X+5~N(11Q2),且P{2<X<4}=0.15,則P{X<0}=

7、相關(guān)系數(shù)是兩個隨機(jī)變量之間程度的一種度量。

三、（10分）

設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)

的分別為5箱、3箱、2箱，三廠產(chǎn)品的次品率依次為0.1,0.2,0.3,

從這10箱中任取一箱，再從這箱中任取一件，求這件產(chǎn)品為正品的

概率。若取出的產(chǎn)品為正品，它是甲廠生產(chǎn)的概率是多少？

四、（8分）

離散型隨機(jī)變量x的分布函數(shù)

0%<-1

0.3

尸(x)=<求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望。

0.81<x<3

1x>3

五、（15分）

設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為：

/3）=卜-閨，—00<X<+00

求：（l）x的概率分布函數(shù)，（2）X落在（-5,10）內(nèi)的概率；（3）求X

的方差。

六、(10分)

設(shè)由2000臺同類機(jī)床各自獨立加工一件產(chǎn)品，每臺機(jī)床生產(chǎn)的

次品率均服從(0.005,0.035)上的均勻分布。問這批產(chǎn)品的平均次

品率小于0.025的概率是多少？

七、(15分)

22

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域：二+、41上服從均勻分布。(1)

Q-b~

求(X,Y)的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度；(2)已知。X=25,OY=4,

求參數(shù)。、b；(3)判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互獨立？

八、（6分）

設(shè)隨機(jī)變量X服從（0,1）上均勻分布，Y服從參數(shù)為九=5的指

數(shù)分布，且X,Y獨立。求2=1市11{*,Y}的分布函數(shù)與密度函數(shù)。

2006級概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷A卷參考答案

注釋：P(X41+“)=尸(二"+"-")=0)(工)

2.C

注釋：參考課本第8頁

3.A

注釋：連續(xù)型隨機(jī)變量在某一個點上的概率取值為零，故A正確

?B項是否正確

4.B

注釋：參考課本86頁

5.A

1.1.33(或者填心1359)

1024

2.25

注釋：參考課本86頁

3.0.25

4.(X+Y)?B(7,p)

注釋：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;

D(X)=3p(l-p),D(Y)=4p(l-p)且X、Y獨立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)=3p(l-p)+4p(l-p)

E(X+Y)=7p=nP

設(shè)(X+Y)?B(n,P),則有《

D(X+Y)=3p(l-p)+4p(l-p)=nP(l-P)

解得n=7,P=p

5.2/5

X的密度函數(shù)為/(x)=，

方程有實根，則必須滿足△=!?—4ac=(2X)2—4xlx(5X—4)N0,

即X<1或者X>4.

2

故方程有實根的概率p一dx+I—dx

55

6.0.35

由后(3乂+5)=11得破=2

2

由￡>(3X+5)=/得ox==-

93

2-2X-24-2

因尸{2<X<4}=0.15,故「{<<}=0.15

CTCT

77I

2

所以①(—)(0)=0.15

(J

7

所以①(土)-O(―)=0.3

cra

y3

0-2,/—2、—「1小/2、

P{X<O}=P{^-^<------}=0(----)=[1一中(一)-①(―)1/2

(y(y(y(7CT

777?7

=[1-0.3]/2=0.35

?7.相關(guān)

-=2.、

設(shè)人="取出的產(chǎn)品是正品”；

B,1l=取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”

B^=取出的產(chǎn)品是乙廠生產(chǎn)的”

B|AJ=取出的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的”

則P(A)=P(AB甲)+P(AB乙)+P(AB內(nèi))

=0.5x0.9+0.3x0.8+0.2x0.7=0.83

PSBT;I_HBwAPSlBQ_O.SxOg四、

P(B,pIA)=0.54

P(A)P(A)0.83-1_1_3、

X

0.3一0.5一0.2,

EX=(—1)X0.3+1X0.5+3X0.2=0.8

五、

一/____x<0

⑴由題意/1(x)=，

-e-xx>0

〔2一

~ex____x<0

故尸(x)=f

\--e-xx>0

I2-

⑵P(—5<X<10)=(l——g/5)

(3)EX=,長；6'公+廣r3""龍=；［(》—1)/匕+；［(—x—

______=0

2x

EX2=『x.-edx+C^-e-'dx

J-co2Jo2

—=；［x2ex-2xex+2ex匕+；［~x2e-x-2xe-x-2e-x簟=2

DX=EX2-(EX)2=2

?六、

設(shè)X,為第i臺機(jī)床生產(chǎn)的次品率

Xjt/(0.005,0.035)

2

EX,=。。*。。35=002,DX.=_L(0.035-0.005)=0.000075

(注：對于均勻分布X,U(a⑼，有EX,.=，,DXj=gs-a)2)

2000

設(shè)總次品率y=￡x,

1=1

若要滿足這批產(chǎn)品的平均次品率小于0.025,則y<0.025X2000=50

y-2000x0.0250-2000x0.02

P{Y<50}=P{<}=0(25.8)

72000x0.00007572000x0.000075

?試卷中沒有給出①(25.8)的值，月一直觀上感覺中(25.8)的值太大了，故不能肯定題中的做

法是否可行

七、

橢圓=兀曲

1

-a<x<a,-h<y<h

故6,丫）的聯(lián)合密度函數(shù)￡6,丫）=^^

0其它

2

-a<x<a

X的邊緣密度函數(shù)fx（x）=<7ia

0其它

2

-b<y<b

Y的邊緣密度函數(shù)fy（y）=帥

0_其它

(2)￡X=fx--^-dx-0,EY-fy--dy-0,

A”兀a7tb'

4〃24b2

DX=EX?—(EX)?=——=25,DY^EY2-(EY)2=—=4

3兀3兀

解得"字’)=癡

(3)-a<x<a,-b<y<加寸，

221

fx(x)?￡、,(>)=------H---，故X與Y不獨立

7ianb〃ab

八、

Z的分布函數(shù)F(z)=P{Z<z}=l-P(Z>z)=l-P{min(X,Y)>z}

=l-P(X>z,Y>z)=l-P(X>z)-P(Y>z)

當(dāng)z40時,P(X>z)=P(Y>z)=l

故F(z)=bl=0

當(dāng)0<z41時，P(X>z)=fldx=l-z

P(Y>z)=f5e-5xdx=產(chǎn)—/

故尸仁)=1-(1一％)?金一丁)

當(dāng)z>l時，P(X>z)=0

故尸(z)=l-0=1

0__________________z<0

所以尸(z)=4l—(1一z)-(e-5z_e-5)_(KzWl

1z>l

0z<0

f(z)="6e~5z-5ze~5z-e~50<z<1

07>1

：誠信應(yīng)考,考試作弊將帶來嚴(yán)重后果！

:華南理工大學(xué)期末考試

i《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試卷A卷

:(2學(xué)分用)

事注意事項：L考前請將密封線內(nèi)各項信息填寫清楚；

：2.可使用計算器，解答就答在試卷上；

：3.考試形式：閉卷；

：4.本試卷共十大題，滿分100分。考試時間120分鐘。

號一二三四五七八九十總分

分

今隊

曲

:注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值

①(1.0)=0.8413,中(2.575)=0.9950①(2.81)=0.9975①(2.42)=0.9922

0(1.285)=0.9,①(1.645)=0.95,①(1.96)=0.975,①(2.33)=0.99

(

熊一、(10分)假設(shè)一枚彈道導(dǎo)彈擊沉航空母艦的概率為L擊傷的

i：3

題:概率為《，擊不中的概率為!，并設(shè)擊傷兩次也會導(dǎo)致航空母艦

-娛K-

釉M

-郛=沉沒，求發(fā)射4枚彈道導(dǎo)彈能擊沉航空母艦的概率？

-需

-序

-)

-

-

-

-

-

-

-

-

-

叩

卷

都

.

.

.

.

.

.

N.

烹.

二、（12分）在某種牌賽中，5張牌為一組，其大小與出現(xiàn)的概率有

關(guān)。一付52張的牌（四種花色：黑桃、紅心、方塊、梅花各13

張，即2-10、J、Q、K、A）,

求（1）同花順（5張同一花色連續(xù)數(shù)字構(gòu)成）的概率；

（2）3張帶一對（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字相同構(gòu)成）的概率；

（3）3張帶2散牌（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字不同構(gòu)成）的概率。

三、(10分)某安檢系統(tǒng)檢查時，非危險人物過安檢被誤認(rèn)為是危險

人物的概率是0.02；而危險人物又被誤認(rèn)為非危險人物的概率是

0.05o假設(shè)過關(guān)人中有96%是非危險人物。問：

(1)在被檢查后認(rèn)為是非危險人物而確實是非危險人物的概率？

(2)如果要求對危險人物的檢出率超過0.999概率，至少需安設(shè)多

少道這樣的檢查關(guān)卡？

四、(8分)隨機(jī)變量X服從N(〃Q2),求丫=^,?！?的密度函數(shù)

五、(12分)設(shè)隨機(jī)變量X、Y的聯(lián)合分布律為:

-1012

-2a000

-10.14b00

00.010.020.030

10.120.130.140.15

已知E(X+Y)=O,求：(l)a,b；(2)X的概率分布函數(shù)；(3)E(XY)0

六、（10分）某學(xué)校北區(qū)食堂為提高服務(wù)質(zhì)量，要先對就餐率P進(jìn)行

調(diào)查。決定在某天中午，隨機(jī)地對用過午餐的同學(xué)進(jìn)行抽樣調(diào)查。

設(shè)調(diào)查了n個同學(xué)，其中在北區(qū)食堂用過餐的學(xué)生數(shù)為加，若要求以

大于95%的概率保證調(diào)查所得的就餐頻率與p之間的誤差上下在

10%以內(nèi)，問n應(yīng)取多大？

七、(10分)

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域：｛0<x<a,0<y<b｝上服從均勻分

布。(1)求(X,Y)的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度；(2)已知

OX=12,OF=36,求參數(shù)a、b；(3)判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互

獨立？

八、（8分）證明：如果E?3=C存在,則

九、（12分）設(shè)（X,Y）的密度函數(shù)為

Axy,0<x<1,0<y<1

f(x,y)=?

0其他

求(1)常數(shù)A；(2)P(X<0.4,Y<1.3)；(3)Ee'x+sY；(4)EX,DX,

Cov(X,Y)o

十、(8分)電視臺有一節(jié)目“幸運觀眾有獎答題”：有兩類題目，A

類題答對一題獎勵1000元，B類題答對一題獎勵500元。答錯無獎

勵，并帶上前面得到的錢退出；答對后可繼續(xù)答題，并假設(shè)節(jié)目可無

限進(jìn)行下去(有無限的題目與時間)，選擇A、B類型題目分別由拋

硬幣的正、反面決定。

已知某觀眾A類題答對的概率都為0.4,答錯的概率都為0.6；B

類題答對的概率都為06答錯的概率都為0.4o

(1)求該觀眾答對題數(shù)的期望值。

(2)求該觀眾得到獎勵金額的期望值。

誠信應(yīng)考，考試作弊將帶來嚴(yán)重后果！

華南理工大學(xué)期末考試

n|r>《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試卷A卷

(2學(xué)分用)

可注意事項：1.考前請將密封線內(nèi)各項信息填寫清楚;

2.可使用計算器，解答就答在試卷上；

：3.考試形式：閉卷；

4.本試卷共十大題，滿分100分?？荚嚂r間120分鐘。

六

號一二三四五七八九十總分

分

京隊

.注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值

①(1.0)=0.8413,①(2.575)=0.99500(2.81)=0.99750(2.42)=0.9922

0(1.285)=0.9,①(1.645)=0.95,0(1.96)=0.975,①(2.33)=0.99

(幕-、(10分)假設(shè)一枚彈道導(dǎo)彈擊沉航空母艦的概率為L擊傷的

基.3

.

題.概率為工，擊不中的概率為工，并設(shè)擊傷兩次也會導(dǎo)致航空母艦

K.

.26

M,.

.

.

郛.

.

F朝.

.

T搦.

T.

T)

沉沒，求發(fā)射4枚彈道導(dǎo)彈能擊沉航空母艦的概率?

解：設(shè)凡=｛第i枚彈道導(dǎo)彈擊沉航空母艦｝,與=｛第i枚彈道導(dǎo)彈擊傷航空母艦｝

G=｛第i枚彈道導(dǎo)彈沒有擊中航空母艦｝,i=l，2,3,4

D={發(fā)射4枚彈道導(dǎo)彈能擊沉航空母艦}

P（Aj=J,P（Cj=:，i=l,2,3,4

3Zo

D=C{C2C3CJJBXC2C3C4UC{B2C3C4UCXC2B3C4UCXC2C3B4

P（n）=P（C1C2C3C4）+P（B1C2C3C4）+P（C1B2C3C4）+P（C1C2B3C4）+P（C1C2C3B4）

2+4x

6J

1Q

P（￡＞）=1—P（7）=1—/=0.99

二、（12分）在某種牌賽中，5張牌為一組，其大小與出現(xiàn)的概率有

關(guān)。一付52張的牌（四種花色：黑桃、紅心、方塊、梅花各13

張，即2-10、J、Q、K、A）,

求（1）同花順（5張同一花色連續(xù)數(shù)字構(gòu)成）的概率；

（2）3張帶一對（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字相同構(gòu)成）的概率；

（3）3張帶2散牌（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字不同構(gòu)成）的概率。

解：（1）A=｛同花順（5張同一花色連續(xù)數(shù)字構(gòu)成）｝

P（A）=4x（l「）=耳（只要說明順子的構(gòu)成，分子40也算對）

C52C52

（2）A=｛3張帶一對（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字相同構(gòu)成）｝

P（A）=G'CC：2c

052

（3）A=｛3張帶2散牌（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字不同構(gòu)成）｝

C52

三、（10分）某安檢系統(tǒng)檢查時，非危險人物過安檢被誤認(rèn)為是危險

人物的概率是0.02；而危險人物又被誤認(rèn)為非危險人物的概率是

0.05o假設(shè)過關(guān)人中有96%是非危險人物。問:

（1）在被檢查后認(rèn)為是非危險人物而確實是非危險人物的概率?

（2）如果要求對危險人物的檢出率超過0.999概率，至少需安設(shè)多

少道這樣的檢查關(guān)卡？

解：（1）設(shè)人=｛被查后認(rèn)為是非危險人物｝,B=｛過關(guān)的人是非危險人物）,則

P（A）=P⑻P（A忸）+P（5）P（A|5）=0.96X0.98+0.04x0.05=0.9428

P（8|4）="⑻,（產(chǎn)）=0998

V'7P（A）

（2）設(shè)需要n道卡，每道檢查系統(tǒng)是相互獨立的，則

Ci=｛第i關(guān)危險人物被誤認(rèn)為非危險人物｝,P｛C,??<?｝=0.05\所以

心那’即〃In0.0001

999,+1=[3.0745]+1=4

In0.005

四、（8分）隨機(jī)變量X服從N（〃02）,求y=〃x,〃〉o的密度函數(shù)

解：當(dāng)a=l時一，r=1,則％(y)=1°v-1

[1y>1

當(dāng)0<“<1時，當(dāng)y<0時，耳(y)=P(y<y)=0,力(》)=迫3=0

dy

當(dāng)y>0時，F(xiàn)y(y)=P(pX<y)=P(XIna<Iny)

FKG)=pfx>M=i-pfx<M=i-a)fM

IInaJIInaJ\lnay

Iny),

於二空3不

dyyina

當(dāng)a〉l時，當(dāng)y40時，4(y)=P(V<y)=0,人(),)=附3=0

dy

當(dāng)y>0時，4(y)=p(x<學(xué))=中(4]

(InaJIInaJ

坦-〃尸

4)=也;」『J"

dyyInaa42/r

五、（12分）設(shè)隨機(jī)變量X、Y的聯(lián)合分布律為:

-1012

-2a000

-10.14b00

00.010.020.030

10.120.130.140.15

已知E(X+Y)=0,求：(1>,b；(2)X的概率分布函數(shù);(3)E(XY)O

解:(1)E(X+Y)=

￡(X+/)=-3a-2x0.14-/7-1x0.01+1x0.03+1x0.13+2x0.14+3x0.15

=—3a—Z?+0.6=0

a+0.14+:+0.01+0.02+0.03+0.12+0.13+0.14+0.15=a+4+0.74=1

聯(lián)立解得：a=0.17,b=0.09

(2)X的概率分布函數(shù)：

-2-101

X

0.170.230.060.54

(3)E(XY)=2x0.17+1x0.14-lx0.12+1x0.14+2x0.15=0.8

六、(10分)某學(xué)校北區(qū)食堂為提高服務(wù)質(zhì)量，要先對就餐率P進(jìn)行

調(diào)查。決定在某天中午，隨機(jī)地對用過午餐的同學(xué)進(jìn)行抽樣調(diào)查。設(shè)

調(diào)查了n個同學(xué)，其中在北區(qū)食堂用過餐的學(xué)生數(shù)為相，若要求以大

于95%的概率保證調(diào)查所得的就餐頻率與p之間的誤差上下在10%

以內(nèi)，問n應(yīng)取多大？

m

一1-----P

<

解：P---p<0.1>20.95,因一j卡工

.“Jp(l-p)

Vn

〃N(19.6)2p(l—p)；因為p(i-p)4i/4,取〃z(19.6)2/4=96.04即〃=97

七、(10分)

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域：｛0<x<a,0<y<H上服從均勻分

布。(1)求(X,Y)的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度；(2)已知

DX=12,DY=36,求參數(shù)a、b;(3)判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互

獨立？

解：(1)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度:

1/ah,0<x<。,0<y<h

/(x,y)=<

0,others

1/a,0<x<a[1//?,0<y<b

邊緣概率密度：f(x)=<網(wǎng))=[o,others

x0,others

(2)DX=(l/12)a2=12,Dr=(1/12)/?2=36,a=12,/?=12>/3

(3)隨機(jī)變量X與Y相互獨立,因為f(x,y)=/x(%)4(y)

八、(8分)證明：如果E曰3=c存在，則尸(后>f)4?

t

角軋P(IQ〉f)=pF(x)<j￥/(x)WjbL!ijF(x)=^1^=4

Ulxl.rl>rtIAI>0'''

九、（12分）設(shè)（X,Y）的密度函數(shù)為

Axy,0<x<1,0<y<1

f(x,y)=<

0其他

求(1)常數(shù)A；(2)P(X<0.4,Y<1.3)；(3)Ee'x+sY；(4)EX,DX,

Cov(X,Y)o

解：(1)(x,y)dxdy=1〔但必卜=?=1,A=4

(2)P(X<0.4,Y<1.3)=((2心卜=0.16

(3)EQ"=((fe/x+x>Axydy^dx=k4｛正]--卜>Nydx

(4)EX=^px2yc/yji/x=|,EX?=工(14/必)公=g

DX=￡X2-(EX)2=i-1=1,E(XY)=[^Ax2y2dy^dx=

422

Cov(X,Y)=EXY-EX-EY----x—=0

933

十、（8分）電視臺有一節(jié)目“幸運觀眾有獎答題”：有兩類題目，A

類題答對一題獎勵1000元，B類題答對一題獎勵500元。答錯無獎

勵，并帶上前面得到的錢退出；答對后可繼續(xù)答題，并假設(shè)節(jié)目可無

限進(jìn)行下去（有無限的題目與時間），選擇A、B類型題目分別由拋

硬幣的正、反面決定。

已知某觀眾A類題答對的概率都為0.4,答錯的概率都為0.6；B

類題答對的概率都為06答錯的概率都為0.4o

（1）求該觀眾答對題數(shù)的期望值。

（2）求該觀眾得到獎勵金額的期望值。

解：（1）設(shè)《表示該觀眾答對題數(shù),4=0,1,2,…

則第&+1次解答答錯（即首次出錯）。

答對一題的概率為

P（答對題）=P（答對A題|選擇A題卜（選擇A題片P（答對B題|選擇B題卜（選擇B題）

=0.4x0.5+0.6x0.5=0.5

答錯一題的概率為0.5

所以尸（孑=%）=0.5"x0.5=0.5t+1；==1

￡=0

（2）觀眾得到獎勵金額T1的期望值:

1,答對A題

令X=卜,'123、

答對8題,貝Ux~

,0.20.30.5,

3,答錯題

Er]=E(E(r]IX))=0.2x￡(1000+〃)+0.3x￡(500+〃)+0.5x0

：,Er/=700

或：答對一題得到獎金的期望為：0.5x0.4x1000+0.5x0.6x500=350

進(jìn)入第k題答題環(huán)節(jié)的概率為：OS"」

因此，總獎金的期望為：f350xQ5i=700

k=]

誠信應(yīng)考,考試作弊將帶來嚴(yán)重后果！

華南理工大學(xué)期末考試

n|r>《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試卷A卷

徵

（2學(xué)分用）

注意事項：1.考前請將密封線內(nèi)各項信息填寫清楚;

2.可使用計算器，解答就答在試卷上；

3.考試形式：閉卷；

4.本試卷共九大題，滿分100分?？荚嚂r間120分鐘。

六

題號一三四五七八九總分

得分

評卷人

分位數(shù)值：“0.995=2.58,%嬴(9)=19,7^(9)=2.70

一、（10分）有位同學(xué)去某校宿舍樓A看望他老鄉(xiāng)，此樓只有編號1?9的九個

寢室，但他到學(xué)生宿舍樓下時忘記了老鄉(xiāng)寢室號碼。學(xué)校管理規(guī)定：要求訪

問者說出兩個寢室號碼，其中有一個正確就能進(jìn)入，否則不能進(jìn)入。問此同

學(xué)能進(jìn)入此大樓的概率？

二、(12分)有某個工礦企業(yè)存在大量可疑肺癌病人，這些病人中從事某職業(yè)的

人占45%。據(jù)以往記錄，此職業(yè)的可疑病人中有90%確患有肺癌，在不從事

此職業(yè)的可疑病人中僅有5%確患有肺癌

(1)在可疑病人中任選一人，求他患有肺癌的概率；

(2)在可疑病人中選一人，已知他患有肺癌，求他從事該職業(yè)的概率。

三、(12分)零件可以用兩種工藝方法加工制造，在第一種情況下需要通過三道

工序，其