萬有引力定律公式、例題及其應用

萬有引力定律及其應用知識網(wǎng)絡:教學目標：1．掌握萬有引力定律的內(nèi)容并能夠應用萬有引力定律解決天體、衛(wèi)星的運動問題2．掌握宇宙速度的概念3．掌握用萬有引力定律和牛頓運動定律解決衛(wèi)星運動問題的基本方法和基本技能教學重點：萬有引力定律的應用教學難點：宇宙速度、人造衛(wèi)星的運動教學方法：講練結合，計算機輔助教學教學過程：一、萬有引力定律：（1687年）適用于兩個質點或均勻球體；r為兩質點或球心間的距離；G為萬有引力恒量（1798年由英國物理學家卡文迪許利用扭秤裝置測出）G二6.67x10-11N-m2/kg2二、萬有引力定律的應用1．解題的相關知識：（1） 在高考試題中，應用萬有引力定律解題的知識常集中于兩點：一是天體運動的向小Mm v2 4n2心力來源于天體之間的萬有引力，即G 二m=m r=mw2r；二是地球對物r2 r2 T2mM體的萬有引力近似等于物體的重力，即G =mg從而得出GM=R2goR22n（2） 圓周運動的有關公式：w=〒，v=Wr。討論：v學r越大,v越小。Mm②由G =v學r越大,v越小。Mm②由G =mo2r可得:r2:'GM/3 「越大,3越小。Mm③由G =mr22r可得：T=2nA-r3GMr越大，T越大。Mm④由G=ma可得：a=r2 向 向r2GMr越大，a向越小。Mmv2①由G 二m可得:r2 r2點評:需要說明的是，萬有引力定律中兩個物體的距離，對于相距很遠因而可以看作質點的物體就是指兩質點的距離；對于未特別說明的天體，都可認為是均勻球體，則指的是兩個球心的距離。人造衛(wèi)星及天體的運動都近似為勻速圓周運動。2．常見題型萬有引力定律的應用主要涉及幾個方面:（1）測天體的質量及密度:（萬有引力全部提供向心力）Mmr2（Mmr2（2兀）2=m——rIT丿4兀2r3GT23兀r3GT2r3到它的自轉周期為T=3o到它的自轉周期為T=3os。問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉而瓦解。計算時星體可視為均勻球體。（引力常數(shù)G=6.67x10-iim3/kg.s2）解析:設想中子星赤道處一小塊物質，只有當它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時，中子星才不會瓦解。設中子星的密度為P，質量為M，半徑為自轉角速度為o,位于赤道處的小物塊GMm 廠 2兀 4c質量為m則有 =mo2Ro= M=-nR3pR2 T 33兀由以上各式得P二，代入數(shù)據(jù)解得：P二1.27x1014kg/m3。GT2點評：在應用萬有引力定律解題時，經(jīng)常需要像本題一樣先假設某處存在一個物體再分

析求解是應用萬有引力定律解題慣用的一種方法。2）行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：（重力近似等于萬有引力）表面重力加速度：Mm?/表面重力加速度：Mm?/G =mgR2 0GMg0=茁軌道重力加速度：GMm GM軌道重力加速度：（R+h'）2―叫…&h=（R+h'）2【例2】一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運動，已知行星表面的重力加速度為g°,行星的質量M與衛(wèi)星的質量m之比M/m=81,行星的半徑R0與衛(wèi)星的半徑R之比R0/R=3.6，行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑R0之比r/R0=6O。設衛(wèi)星表面的重力加速度為g,則在衛(wèi)GMm星表面有 =mg......r2經(jīng)過計算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600o上述結果是否正確？若正確，列式證明；若有錯誤，求出正確結果。解析：題中所列關于g的表達式并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動的向心加速度。正確的解法是Gm GM R mg衛(wèi)星表面=g行星表面 =g0即（土）2 =-R2 R20 RMg00即g=0.16g0o（3）人造衛(wèi)星、宇宙速度：人造衛(wèi)星分類（略）：其中重點了解同步衛(wèi)星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度與發(fā)衛(wèi)星發(fā)射速度的區(qū)別）【例3】我國自行研制的“風云一號”“風云二號”氣象衛(wèi)星運行的軌道是不同的?！耙惶枴笔菢O地圓形軌道衛(wèi)星。其軌道平面與赤道平面垂直，周期是12h；“二號”是地球同步衛(wèi)星。兩顆衛(wèi)星相比 號離地面較高；號觀察范圍較大； 號運行速度較大。若某天上午8點“風云一號”正好通過某城市的上空，那么下一次它通過該城市上空的時刻將是 o解析：根據(jù)周期公式T=2兀r3知，高度越大，周期越大，則“風云二號”氣象衛(wèi)星GM離地面較高；根據(jù)運行軌道的特點知，“風云一號”觀察范圍較大；根據(jù)運行速度公式V=；GM知，高度越小，速度越大，則“風云一號”運行速度較大，由于“風云一號”衛(wèi)'r星的周期是12h,每天能對同一地區(qū)進行兩次觀測，在這種軌道上運動的衛(wèi)星通過任意緯度的地方時時間保持不變。則下一次它通過該城市上空的時刻將是第二天上午8點?！纠?】可發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，使其圓軌道滿足下列條件（）A、 與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓B、 與地球表面上某一經(jīng)度線是共面的同心圓C、 與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對地面是運動的D、 與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對地面是靜止的解析：衛(wèi)星繞地球運動的向心力由萬有引力提供,且萬有引力始終指向地心，因此衛(wèi)星的軌道不可能與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓，故A是錯誤的。由于地球在不停的自轉，即使是極地衛(wèi)星的軌道也不可能與任一條經(jīng)度線是共面的同心圓，故B是錯誤的。赤道上的衛(wèi)星除通信衛(wèi)星采用地球靜止軌道外，其它衛(wèi)星相對地球表面都是運動的，故C、D是正確的?！纠?】偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件的情況下全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設地球半徑為R，地面處的重力加速度為g,地球自轉的周期為To解析：如果周期是12小時，每天能對同一地區(qū)進行兩次觀測。如果周期是6小時，每天能對同一緯度的地方進行四次觀測。如果周期是姑小時，每天能對同一緯度的地方進行nn次觀測。Mm 4兀2（h+R）設上星運行周期為X，則有G =m1 （h+R）2 T21GMm 如2兀l（h+R）3物體處在地面上時有亠=mg解得：T=—R2 0 1R\g在一天內(nèi)衛(wèi)星繞地球轉過的圈數(shù)為T，即在日照條件下有T次經(jīng)過赤道上空，所以每11、 門2兀R2兀Rr c4兀2i'（h+R）3次攝像機拍攝的赤道弧長為S= = T，將T］結果代入得S=TT1 1 T*g亍1【例6】在地球（看作質量均勻分布的球體）上空有許多同步衛(wèi)星，下面說法中正確的是（）

它們的質量可能不同 B.它們的速度可能不同C.它們的向心加速度可能不同 D.它們離地心的距離可能不同解析：同步衛(wèi)星繞地球近似作勻速圓周運動所需的向心力由同步衛(wèi)星的地球間的萬有引力提供。設地球的質量為M,同步衛(wèi)星的質量為地球半徑為尺，同步衛(wèi)星距離地面的高度為力，由F引=爲G =m—(R+h)得：h=度為力，由F引=爲(R+h)2 T2 4兀2心的距離是一定的。mM由G(R+mM由G(R+h)2=m化得::GM"='：RZh，所以同步衛(wèi)星的速度相同。由G -=ma得：a=G -即同步衛(wèi)星的向心加速度相同。(R+h)2 (R+h)2由以上各式均可看出地球同步衛(wèi)星的除質量可以不同外，其它物理量值都應是固定的。所以正確選項為Ao點評：需要特別提出的是：地球同步衛(wèi)星的有關知識必須引起高度重視，因為在高考試題中多次出現(xiàn)。所謂地球同步衛(wèi)星，是相對地面靜止的且和地球有相同周期、角速度的衛(wèi)星。其運行軌道與赤道平面重合。a2b2c【例7】地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由r3= 求出，已知式中a的單位是m，4n2b的單位是s,c的單位是m/s2,貝a是地球半徑，b是地球自轉的周期，C是地球表面處的重力加速度；a是地球半徑。b是同步衛(wèi)星繞地心運動的周期，C是同步衛(wèi)星的加速度；a是赤道周長，b是地球自轉周期，C是同步衛(wèi)星的加速度a是地球半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運動的周期，C是地球表面處的重力加速度。解析：由萬有引力定律導出人造地球衛(wèi)星運轉半徑的表達式，再將其與題給表達式中各項對比，以明確式中各項的物理意義。AD正確?！纠?】我國自制新型“長征”運載火箭，將模擬載人航天試驗飛船“神舟三號”送入預定軌道，飛船繞地球遨游太空t=7天后又順利返回地面。飛船在運動過程中進行了預定的空間科學實驗，獲得圓滿成功。①設飛船軌道離地高度為h,地球半徑為R,地面重力加速度為g.則“神舟三號”飛船繞地球正常運轉多少圈?(用給定字母表示)o②若h=600km,R=6400km,則圈數(shù)為多少?解析：（解析：（1）在軌道上GmM(R+h)22兀（R+h）片 T ②GmM在地球表面： =mg③R2聯(lián)立①②③式得：T聯(lián)立①②③式得：T=故n=t二 tR I故n=t二 tR IgT_2k(R+h)R+h②代人數(shù)據(jù)得：n=105圈（4）雙星問題:【例9】兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩星中心距離為R,其運動周期為T,求兩星的總質量。解析：設兩星質量分別為M］和M2,都繞連線上0點作周期為T的圓周運動，星球1和星球2到0的距離分別為厶和/2。由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得MgG沁=M1(T)2IG沁=M1(T)2I】4k2R2l]???m2= 1GT2對m2：GM1M2R22k=M2（〒）2l24k2R2l2?M= 21 GT2、 4k2R2兩式相加得M]+M2=GT24k2R3q+八"GT2（5）有關航天問題的分析：【例10】無人飛船“神州二號”曾在離地高度為H=3.4X105m的圓軌道上運行了47小時。求在這段時間內(nèi)它繞行地球多少圈？（地球半徑R=6.37xi06m,重力加速度g=9.8m/s2）解析：用r表示飛船圓軌道半徑r=H+R==6.71xi°6m。M表示地球質量，m表示飛船質量，?表示飛船繞地球運行的角速度，G表示萬有引

力常數(shù)。由萬有引力定律和牛頓定律得一—=mw2rr2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"M gR2 2n 一利用G =g得 =w2由于w= ,T表示周期。解得\o"CurrentDocument"R2 r3 T\o"CurrentDocument"2兀r■r tT= ，又n=代入數(shù)值解得繞行圈數(shù)為n=31。R\g T【例11】2003年10月16日北京時間6時34分，中國首位航天員楊利偉乘坐“神舟”五號飛船在內(nèi)蒙古中部地區(qū)成功著陸，中國首次載人航天飛行任務獲得圓滿成功。中國由此成為世界上繼俄、美之后第三個有能力將航天員送上太空的國家。據(jù)報道，中國首位航天員楊利偉乘坐的“神舟”五號載人飛船，于北京時間十月十五日九時，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征二號F”型運載火箭發(fā)射升空。此后，飛船按照預定軌道環(huán)繞地球十四圈，在太空飛行約二十一小時，若其運動可近似認為是勻速圓周運動，飛船距地面高度約為340千米，已知萬有引力常量為G=6.67X10ri牛?米2/千克2,地球半徑約為6400千米，且地球可視為均勻球體，則試根據(jù)以上條件估算地球的密度。（結果保留1位有效數(shù)學）解析：設地球半么為地球質量為M,地球密度為P；飛船距地面高度為力，運行周期為T,飛船質量為m?！眛21x3600據(jù)題意題T= = s=5400sn14飛船沿軌道運行時有F引飛船沿軌道運行時有F引mM(R+h)24兀2m(R+h)

T24=pV=p?—兀R33由①②③式得：3由①②③式得：3兀(R+空GT2R3代入數(shù)據(jù)解得P=u6x103kg/m33x3.14x(6400x103+340x代入數(shù)據(jù)解得P=u6x103kg/m36.67x10-11x54002x(6400x103)3（6）天體問題為背景的信息給予題近兩年，以天體問題為背景的信息給予題在全國各類高考試卷中頻頻出現(xiàn)，不僅考查學生對知識的掌握，而且考查考生從材料、信息中獲取有用信息以及綜合能力。這類題目一般由兩部分組成：信息給予部分和問題部分。信息給予部分是向學生提供解題信息，包括文字敘述、數(shù)據(jù)等，內(nèi)容是物理學研究的概念、定律、規(guī)律等，問題部分是圍繞信息給予部分來

展開，考查學生能否從信息給予部分獲得有用信息，以及能否遷移到回答的問題中來。從題目中提煉有效信息是解決此類問題的關鍵所在?！纠?2】地球質量為M,半徑為R,自轉角速度為?。萬有引力恒量為G,如果規(guī)定物體在離地球無窮遠處勢能為0，則質量為m的物體離地心距離為r時，具有的萬有引力勢Mm能可表示為E=-G 。國際空間站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大氣層pr上空繞地球飛行的一個巨大人造天體，可供宇航員在其上居住和科學實驗。設空間站離地面高度為力，如果雜該空間站上直接發(fā)射一顆質量為m的小衛(wèi)星，使其能到達地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運行，由該衛(wèi)星在離開空間站時必須具有多大的動能？Mmmv21Mm解析：由G= 得，衛(wèi)星在空間站上動能為E=—mv2=Gr2r k2 2（R+h）Mm衛(wèi)星在空間站上的引力勢能為E=-GP （R+h）機械能為Ei機械能為Ei=&+已卩Mm

2(R+h)TOC\o"1-5"\h\z小Mm ,1MG同步衛(wèi)星在軌道上正常運行時有G =mo2r故其軌道半徑r=3,\o"CurrentDocument"r2 \o2廠 —Mm 1 ^―― 由上式可得同步衛(wèi)星的機械能E=-G =—怎m3.G2M2022 2r 2衛(wèi)星運動過程中機械能守恒，故離開航天飛機的衛(wèi)星的機械能應為E2設離開航天飛機1I Mm時衛(wèi)星的動能為E則E=E—E=——m3G2M202+G—kxkx2p2 R+h【例13】1997年8月26日在日本舉行的國際學術大會上，德國MaxPlanck學會的一個研究組宣布了他們的研究成果：銀河系的中心可能存在大黑洞，他們的根據(jù)是用口徑為3.5m的天文望遠鏡對獵戶座中位于銀河系中心附近的星體進行近六年的觀測所得的數(shù)據(jù)。他們發(fā)現(xiàn)，距離銀河系中約60億千米的星體正以2000km/s的速度圍繞銀河系中心旋轉。根據(jù)上面數(shù)據(jù)，試在經(jīng)典力學的范圍內(nèi)（見提示2）通過計算確認，如果銀河系中心確實存在黑洞的話，其最大半徑是多少？（引力常數(shù)是G=6.67X10-20km3?kg-is-2）解析：表面上的所有物質，即使速度等于光速c也逃脫不了其引力的作用。本題的題源背景是銀河系中心的黑洞，而題目的“提示”內(nèi)容則給出了本題的基本原理（：1）它是一個“密度極大的天體”，表面引力強到“包括光在內(nèi)的所有物質都逃脫不了其引力的作用”，（2）計算采用“拉普拉斯黑洞模型”。這些描繪當代前沿科學的詞匯令人耳目一新，讓人感到高深莫測。但是反復揣摩提示就會看到，這些詞句恰恰是本題的“眼”，我們據(jù)此可建立起“天

體環(huán)繞運動模型”且可用光速C作為“第一宇宙速度”來進行計算。設位于銀河系中心的黑洞質量為M,繞其旋轉的星體質量為m,星體做勻速圓周運動,則有：Mm v2則有：G=mr2r根據(jù)拉普拉斯黑洞模型有：MmG—MmG—R2c2=mR聯(lián)立上述兩式并代入相關數(shù)據(jù)可得：R=2.67X105km三、針對訓練1．利用下列哪組數(shù)據(jù),可以計算出地球質量：（）已知地球半徑和地面重力加速度已知衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運動的軌道半徑和周期已知月球繞地球作勻速圓周運動的周期和月球質量已知同步衛(wèi)星離地面高度和地球自轉周期“探路者”號宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發(fā)現(xiàn)人、B兩顆天體各有一顆靠近表面飛行的衛(wèi)星,并測得兩顆衛(wèi)星的周期相等,以下判斷錯誤的是天體人、B表面的重力加速度與它們的半徑成正比兩顆衛(wèi)星的線速度一定相等天體人、B的質量可能相等天體人、B的密度一定相等已知某天體的第一宇宙速度為8km/s，則高度為該天體半徑的宇宙飛船的運行速度為A.2*2km/s B.4km/sC.4\2km/s D.8km/s探測器探測到土星外層上有一個環(huán).為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群,可以測量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關系來確定若yxR,則該環(huán)是土星的一部分若V2*R,則該環(huán)是土星的衛(wèi)星群若v*1/R,則該環(huán)是土星的一部分若V2*1/R，則該環(huán)是土星的衛(wèi)星群2002年12月30日凌晨，我國的“神舟”四號飛船在酒泉載人航天發(fā)射場發(fā)射升空，按預定計劃在太空飛行了6天零18個小時，環(huán)繞地球108圈后，在內(nèi)蒙古中部地區(qū)準確著陸，圓滿完成了空間科學和技術試驗任務，為最終實現(xiàn)載人飛行奠定了堅實基礎?若地球的質量、半徑和引力常量G均已知，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可估算出“神舟”四號飛船的A.離地高度 B.環(huán)繞速度C.發(fā)射速度 D.所受的向心力航天技術的不斷發(fā)展，為人類探索宇宙創(chuàng)造了條件.1998年1月發(fā)射的“月球勘探者號”空間探測器，運用最新科技手段對月球進行近距離勘探，在月球重力分布、磁場分布及元素測定等方面取得最新成果?探測器在一些環(huán)形山中央發(fā)現(xiàn)了質量密集區(qū)，當飛越這些重力異常區(qū)域時探測器受到的月球對它的萬有引力將變大探測器運行的軌道半徑將變大探測器飛行的速率將變大探測器飛行的速率將變?。?998年全國卷）宇航員站在某一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經(jīng)過時間r,小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為厶。若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為￡3厶。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為G。求該星球的質量M。我國自制新型“長征”運載火箭，將模擬載人航天試驗飛船“神舟三號”送入預定軌道，飛船繞地球遨游太空1=7天后又順利返回地面.飛船在運動過程中進行了預定的空間科學實驗，獲得圓滿成功。（1） 設飛船軌道離地高度為力，地球半徑為R,地面重力加速度為g.則“神舟三號”飛船繞地球正常運轉多少圈?（用給定字母表示）.（2） 若h=600km，R=6400km,則圈數(shù)為多少？（2004年全國理綜第23題，16分）在勇氣號火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來。假設著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h速度方向是水平的，速度大小為v°,求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計火星大氣阻力。已知火星的一個