清華大學(xué)版理論力學(xué)課后習(xí)題答案大全第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程習(xí)題解

*第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和第二類拉格朗日方程13－1圖示均質(zhì)細(xì)桿OA長(zhǎng)為l，重力為P，在重力作用下可在鉛垂平面內(nèi)擺動(dòng)，滑塊O質(zhì)量不計(jì)，斜面傾角，略去各處摩擦，若取x及為廣義坐標(biāo)，試求對(duì)應(yīng)于x和的廣義力。解：應(yīng)用幾何法，令δx0；δ0xl/2xOlPsinδδW1Plsin2Q則：則：δδ2AP令δx0；δ0習(xí)題13－1圖δWPsinδxQxPsinδxδx13－2圖示在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)，已知固定齒輪半徑為R，均質(zhì)行星齒輪半徑為r，質(zhì)量為m，均質(zhì)桿OA質(zhì)量為m1，桿受矩為M的力偶作用而運(yùn)動(dòng)，若取為廣義坐標(biāo)，試求相應(yīng)的廣義力。A解：應(yīng)用幾何法，設(shè)對(duì)應(yīng)于的虛位移δ0MO則：δWMδMQδδ習(xí)題13-2圖13－3在圖示系統(tǒng)中，已知：均質(zhì)圓柱A的質(zhì)量為M、半徑為R，物塊B的質(zhì)量為m，光滑斜面的傾角為，滑輪質(zhì)量忽略不計(jì)，并假設(shè)斜繩段平行斜面。若以和y為廣義坐標(biāo)，試分別用動(dòng)力學(xué)普遍方程和第二類拉格朗日方程求：（1）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程；（2）圓柱A的角加速度和物塊B的加速度。Ay解：（1）在系統(tǒng)上施加慣性力如圖（a）所示。其中：FMyR；Fmy()BIAIB12JMR2M習(xí)題13-3圖IAA應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程，(mgFFMgsin)δ(yFRMMgIAsinR)δ0MIBIAIAIA可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：ymgmyM(yR)Mgsin0AMgFFIBIA1MyRR2MR2MgsinR0()Bmg整理后有：(mM)yMR(Msinm)g0（a）32Rygsin01應(yīng)用第二類拉格朗日方程：11112；Tmy2MRM(yR)VmgyMgsin(yR)22222121112my2MRM(yR)mgyMgsin(yR)22LTV2222dLLmgMgsinmyM(yR)；dtyydLLdtyy0；(mM)yMR(Msinm)g0（a）dL1LMRRM(yR)2MgsinR；2dtdLL3；20Rygsin0（b）dt（2）求圓柱A的角加速度和物塊B的加速度。由式（b）得：y3Rgsin代入式（a），有23(mM)(Rgsin)MR(Msinm)g022(1sin)mg3(1sin)mg(3mMsin)ggsin解得：A；ya(M3m)RM3mM3mB13－4在圖示系統(tǒng)中，已知滑塊A的質(zhì)量為M，至于光滑水平面上，其上作用有水平力F，均質(zhì)桿AB長(zhǎng)2b，質(zhì)量為m，若選取x和作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，試建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方x程。解：應(yīng)用第二類拉格朗日方程。對(duì)應(yīng)于FA廣義坐標(biāo)x和的廣義力分別為：QF；QmgsbinbxMgCx桿AB質(zhì)心C的速度為：mgB2v(xbcos)(bsin)C2習(xí)題13-4圖系統(tǒng)的動(dòng)能為：111TMx2m4b1m(x22xbcosb)222222122dTT02；Mxmxmb(cossin)dtxxdTTQ；(mM)xmbcosmbsinF02x（a）（b）dtxxdT1Tmbsinxmb(xcossinx)；2mb3mb2dtdTT4Q；3b2bcosxgbsin0dt式（a）、（b）即為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。213－5在圖示系統(tǒng)中，已知：均質(zhì)圓輪A的質(zhì)量為M、半徑為r，擺球B的質(zhì)量為m、擺長(zhǎng)為b，彈簧剛度為k，彈簧及剛桿AB質(zhì)量不計(jì)，圓盤在水平面上作純滾動(dòng)。若選取和作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，設(shè)=0時(shí)彈簧為原長(zhǎng)。試分別用動(dòng)力學(xué)普遍方程和第二類拉格朗日方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。kA解：（1）在系統(tǒng)上施加慣性力如圖（a）所示。1其中慣性力為：FMr；MIAJMr22IAAbFmr；Ftmb；IBeIBr應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程，2FnmbIBrB(FrMFrFrFtrcosFnrsin)δ0IAIAIBeIBrIBr習(xí)題13-5圖M(mgsinFcosFtb)δ0IBeIBrIAkFA可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程（F=kr）：3(Mm)rkrmb(cosFIA2Mgsin)02bmrcosmbmgsin0BF整理后有：IBeFtIBrFnmgIBr22)2(cos(3Mmrmbsin)2kr0（a）mrcosmbmgsin0應(yīng)用第二類拉格朗日方程：11112；TM(r)Mrm[(rbcos)(bsin)]222222212Vmgcosbk(r)22LTV31mgcosb1kr()2M(r)2m[(r)22rbcos(b)]2242dL3LMrmrmrb(cossin)2；kr222dt2dLL0；(2m3M)r2mb(cossin)2kr02（a）dtdLdtLsinsinmrbmgbmbmbr(cossin)2；dLL0；mrcosmbmgsin0dt（b）式（a）、（b）即為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。x13－6圖示系統(tǒng)由擺長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的擺錘和兩kkA根彈簧剛度為k的彈簧組成，彈簧、滑塊A及剛桿AB的質(zhì)量均不計(jì)，水平面光滑。若選取x和作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，試用第二類拉格朗日方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。lB3習(xí)題13-6圖2解：擺錘B的速度為：v(xlcos)(lsin)2B系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能分別為：1Tm(x22xlcosl)；Vmgcoslkx22221mgcoslkx)2LTVmxxll2(2cos222dLL2kxmxml(cossin)2；dtxxdLL0；mxmlcosmlsin2kx02（a）dtxxdLdtLmlsinxmgslinmlml(xcossinx)2；dLL0；ml2mlcosxmgslin0（b）dt式（a）、（b）即為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。13－7在圖示系統(tǒng)中，已知：物塊A質(zhì)量為m，均質(zhì)圓柱B質(zhì)量為M、半徑為r，彈簧剛度為k，自然長(zhǎng)度為d，圓柱B相對(duì)于物塊A作純滾動(dòng)，物塊A沿光滑水平面運(yùn)動(dòng)。若選取x和作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，試用第二類拉格朗日方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。解：系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能分別為：1x11kT2mx24Mr222M(xr)2；Bk11()V2k(xd)2kr22ALTVdLLmxM(xr)；xk(xd)習(xí)題13-7圖dtxdLLdtxx0；(mM)xMrk(xd)0（a）dL1LkrMrMr(xr)22；dt2dLL3；Mx2Mrkr00（b）dt式（a）、（b）即為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。13－8在圖示系統(tǒng)中，已知：擺球B的質(zhì)量為m、擺長(zhǎng)為b，彈簧的剛度系數(shù)為k，其他物體質(zhì)量不計(jì)。若選取y從點(diǎn)A的靜平衡位置算起）和作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，試用第二類拉格朗日方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。解：應(yīng)用第二類拉格朗日方程：k112Tm(y22bysinb)；VmgcosbkyA2222LTVybB4習(xí)題13-8圖dLLykymymb(sincos)2；dtydLL0；mymbsinmbcosky02（a）dtyydLdtLmbcosymgsinbmbmb(ysincosy)2；dLL0；bysingsin0dt（b）式（a）、（b）即為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。13－9重力為P的楔塊B放在光滑水平面上，鉛直桿重力P，均質(zhì)圓盤重力P，如圖312所示。在楔塊上作用一水平力F。若圓盤在楔塊斜面上作純滾動(dòng)，斜面與水平面的夾角為，A試求楔塊的加速度。解：此系統(tǒng)只有一個(gè)自由度，若選取x為廣義坐標(biāo)，應(yīng)用第二類拉格朗日方程：1PT2g1P3vO1PP22gxr(2)2vvO1232O4grsinxDOv如圖所示圓盤的速度瞬心在點(diǎn)D，且vx，BFBvrsinB則：vBOxtanrcos1PTx2g1Px1PP34gcos習(xí)題13-9圖22g23tan2x2122Fδx(PP)δrQxFPPO()tan；（δrδxtan）2δx323OdTPxP3PPTtan2x；0x2123gdtxg2gcosxdTT2Pcos1P2(PP)sin22xF(PP)tanQ3；322gcos23dtxxx2[F(PP)tan]cos2ax2g2(Pcos2322Psin)P(12sin)321213－10在圖示系統(tǒng)中，已知：均質(zhì)桿AB質(zhì)量為m、長(zhǎng)為b，光滑斜面的傾角為，滾輪A的質(zhì)量不計(jì)。若選取x和作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，試用第二類拉格朗日方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。解：桿AB質(zhì)心的速度為：xObb[cos()]2[sin()]vx2C22A系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能分別為：T1m[xxbcos()b2]112mb22224212B5習(xí)題13-10圖bVmgsxinmg2cosmgsxinmgbcos2LTV1m[xxbcos()b2]124mb222224dLLxmgsinb)sin(mxm[cos(2)]2；dtxdLL0mxmbcos(b)m2sin()mgsin0（a）2；dtxx2dLbbbmmm[xcos(22)sin()x]；dt4122Lb)xmgbsinmsin(22dLL1；31mb22mb10cos()x2mgsbin0（b）dt式（a）、（b）即為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。13－11系統(tǒng)由定滑輪A和動(dòng)滑輪B以及三個(gè)重物組成，如圖所示。重物M，M，M312，m，m，且m<m+m，m>m，滑輪的質(zhì)量忽略不計(jì)，若初瞬時(shí)系統(tǒng)靜止，3的質(zhì)量分別是m1231223下降，質(zhì)量m，m和m之間的關(guān)系。1試求欲使M123、x如圖所示。A解：選取廣義坐標(biāo)x12111x1Tmx2m(xx)2m(xx)2222B11212312M1x2Vmgxmg(xx)mg(xx)M1LTVdL12123122M3L習(xí)題13-11圖mgmgmg123mxm(xx)m(xx)；dtxx1112123121dLL0dtxx11)(mmmx(mmxmmmg)()0（a）（b）123132212L3dLm(xx)m(xx)；dtxmgmg3x221231222dLL0；(mm)x(mm)x(mm)g0dtxx2321322232由式（b）可得：x(mm)(xg)2331，將此式代入式（a），得：mm22(mm)2()((mmm)x)0xgmmmg32mm1231112323[(mmm)(mm)(mm)]x[(mm)(mmm)(mm)]g32212323321321232(mm4mmmm)x(mmmm4mm)g21123213113234mm當(dāng)x1>0時(shí)，有mmmm4mm0，即：m1mm2312132323613－12圖示系統(tǒng)由均質(zhì)圓柱和平板AB組成，圓柱體重力為P、半徑為R，平板AB重力為Q，