考點(diǎn)12 基本不等式(新高考地區(qū)專(zhuān)用)

2222考12基不式知理一．基本不等式公式R,bR,a

2

2

2ab，且僅當(dāng)ab取=”0,aab,當(dāng)且僅當(dāng)ab取“=”二．幾個(gè)重要結(jié)論a2＋(1)≥22ba(2)＋≥2(ab>0)．a(chǎn)ba＋(3)ab≤≤2

a2

＋2

2(a>0b>0)三．利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x，>0，則(1)如果積是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)＝y(tǒng)，＋有小值2.(記：積定和最)p(2)如果和x＋y是值p那么當(dāng)且僅當(dāng)＝有大值.(簡(jiǎn)：和定積最)4考分考一公的接用【例（2020·遼高三期中）知

a

，那么

的最小值是（）A．1【答案】

BC

D【解析根據(jù)題意，則故選：

4a

當(dāng)僅當(dāng)a時(shí)號(hào)成立即的小值是4；新高考數(shù)學(xué)

【法結(jié)利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1正二定三相等正就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2”就是要求和的最小，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3等是利用基本不等求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方【舉一反三】1河北高三月考）已知數(shù)a，滿(mǎn)，4a【答案】

的最小值為_(kāi)_____.【解析】因?yàn)?2423612.當(dāng)僅當(dāng)

4ab

，即

，b時(shí)等號(hào)，所以a

的最小值為12，故答案為：122．(必修5P例1改編)若，>0，且＋＝18，則xy的最大值為?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)閤＋＝18所以xy≤

x＋＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝9，等號(hào)成立．213．(必修5P練T改)設(shè)a，9＋的最值()AC【答案】1【解析】因?yàn)閍>0，所以9a＋≥2a

BD11119×＝6當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即＝時(shí)，a＋取最小值6.aa3考二配型【例全高三專(zhuān)練習(xí)）當(dāng)

時(shí)，則

yx(8x)

的最大值為（）A．

B．4

C．

D．

（2全高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)

yx

x

(

的最小值是（）A．

B．新高考數(shù)學(xué)

C．23

D．（3四省閬中東風(fēng)中學(xué)校高三月考正數(shù)a滿(mǎn)a

且

則

4b的最小值為（）A．4BC．9D．16(4)（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)已知()＝

2

x

，則)在,3上的最小值為（）A．

12

B．

C．－1【答案（2）D（3）C(4)D

D【解析）∵

x，8，2xx)

)

]2

，當(dāng)

x，x時(shí)號(hào)成立，∴，即最大值為，選.（2因?yàn)?/p>

，所以

13x

，且僅當(dāng)

，即

31時(shí)號(hào)成立所以數(shù)3

yx

(

的最小值是2.故：D.(3)由

，可得

，

a

，所以

44bbb

4(a當(dāng)且僅當(dāng)

b2(a

，即

a

時(shí)等號(hào)成立故選：(4)f()

2

x

＝＋－2≥2－2＝0當(dāng)且僅當(dāng)＝，＝1取等號(hào)．x又1∈,3，所以)在,3上最小值是0.選：新高考數(shù)學(xué)

yyyy【法結(jié)一兩個(gè)因式相加時(shí)，兩個(gè)因式未知數(shù)部分（不含系數(shù)）成為倒數(shù)關(guān)系一兩個(gè)因式相乘時(shí)，兩個(gè)因式因式部分成相反數(shù)（含系數(shù)）關(guān)系【舉一反三】1全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）

x

，則函數(shù)

y

x(4x)

的最大值為（）A．2

B．

C．

D．2【答案】【解析】0，4x

，11xxxxx)，當(dāng)且僅當(dāng)22成立，即函數(shù)yx(4x的最大值為.故選：

x

，即

x

時(shí)，等號(hào)2全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）知

y

x

，則的值范圍為（）A．

([2,

B．

([4,．([2,．【答案】【解析】

y

x2)xx

，若

，則(x

(x2)

，

時(shí)等號(hào)成立；若

，2)

4(x2)

x

時(shí)等號(hào)成立∴的值范圍為

([2,

，故選A.3．若

x

，則

x

x的值是。【答案】

【解析】x)x)

x1，x，由基本不等式得)x)(32412新高考數(shù)學(xué)

，

當(dāng)且僅當(dāng)

xx

，即，

x

時(shí)取等號(hào)，x(1x

取最大值時(shí)的是

x

．4．若，都是正數(shù)，且

，則

的最大值為?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意，可知：(ab

，當(dāng)且僅當(dāng)

即

時(shí)取等號(hào)；考三條型【3（1（2020·全高三專(zhuān)題練習(xí)）已知

，0且xy

，則

34x

的最小值為（A．7

B．

C．

D．7（2全高三專(zhuān)題練習(xí)）若正數(shù)x，y足x+3y=5xy則3x+4y的最值()A．

B．

CD【答案（2）C【解析）∵x，0，xy

，∴

34334x3)x)xxyxy

，當(dāng)且僅當(dāng)

3yx

，即3時(shí)等成立，∴

3x

的最小值為7.故選：．（2由已知可得

3319123x12，3)(3)5xyxy55x5y5

，所以xy

的最小值5，選答案C．【法結(jié)問(wèn)題與條件一個(gè)為整式，一個(gè)為分式，整式未知數(shù)部分配成分式分母相同新高考數(shù)學(xué)

3nyy3nyy【舉一反三】1東莞市東華高級(jí)中學(xué)三月考）已知

0,n

，則

m

的最小值是（）A．2【答案】

BC．

D【解析】因?yàn)閙0，n，

，所以

121n()())mmnm

，當(dāng)且僅當(dāng)

8，即2，4時(shí)等.選：m2河北滄州市·高三期）若

，

，則

4m

的最小值為（）A．2【答案】

BC

D【解析】因?yàn)?，m

，所以

1n(m)5n3nn

1n

4．當(dāng)且僅當(dāng)，m

，n2

時(shí)取等號(hào)故：3全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）知向量

且為正實(shí)數(shù)，若滿(mǎn)足

a

，則xy

的最小值為（）A．56C．4【答案】【解析】由題意得

ay

B．5D．31，為，為實(shí)數(shù)，則2y134xy)xy62yxy

，當(dāng)且僅當(dāng)

3x42x

，即

2y4

時(shí)取等號(hào)故選：4河津中學(xué)高三月考）x，為實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足

2xy

，則目標(biāo)函數(shù)

xy

的最小值新高考數(shù)學(xué)

為（）A．4【答案】

B．32C．16D．0【解析】由x，為實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足2，得

4

，所以

xy

2xyxxyx

，2xy當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故2y4

xy

的最小值為為16．選：考四換型【例榆縣第一中學(xué)校高三月考正x滿(mǎn)

x

的最小值）A．4

BCD．8【答案】【解析】由題意，得，y．法一：

當(dāng)僅當(dāng)

2x

即x，y2x

的最小值為5．法二：由

x

2y

，則

2y

4yyy

，當(dāng)且僅當(dāng)2x

，即，y時(shí)

2

的最小值為5．故選：．【舉一反三】1天津市）已知

xy

，則

的最小值為（）A．2【答案】

BC

D．2【解析】由

20

可得

x

y2y

，

，可得

新高考數(shù)學(xué)

4442(a)4442(a)則

2xy

2yy2

4y

當(dāng)且僅當(dāng)

4y

y

，即時(shí)得等號(hào)故：2重慶市江津中學(xué)校高期中）已知x，y，22【答案】

，則

1

的最小值為_(kāi)____.【解析】由

2

得

x

y

，所以

1y122y

當(dāng)且僅當(dāng)

y

2，即2且時(shí)取得等號(hào)故答案為：

23．若正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)

y

2

xy

，則

xy

的最小值為_(kāi)____.【答案】3【解析】由

y

2

xy可

y

x

1yy2y22yy當(dāng)且僅當(dāng)

33

時(shí)，等號(hào)成.則

xy

的最小值為3故案為：考五求數(shù)【例全高三專(zhuān)題練習(xí)）已知

，

，若不等式

1

恒成立，則m

的最大值為（）A．10【答案】

B．12C．16

D【解析】由已知

，

，若不等式

1

恒成立，所以

恒成立，新高考數(shù)學(xué)

轉(zhuǎn)化成求

y

1()b

的最小值，

4ba(a)aab

以

．故選：．【舉一反三】1全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）

，則

x

x

恒成立的一個(gè)充分條件是（）A．

a80

B．a(chǎn)80

C．

a90

D．

a90【答案】【解析】因?yàn)閤，基本不等式

20202

4505

，當(dāng)且僅當(dāng)

即時(shí)取等號(hào)，要使得

x

恒成立，則505，所以

x

x

恒成立的一個(gè)充分條件是a故：2河高三月考）已知

，

y0

，且

xy0

，若不等式

y

恒成立，則

的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．

【答案】【解析】∵

x

，∴

4

，∴

xyxy)

x4yxy

．∵

，

y

，∴

xyxyx（當(dāng)且僅當(dāng)

4，即xy

時(shí)取等號(hào)

x+a

．故選：D3江淮安市·高三期）已知x>0，>0且xy=xy，若﹣t≤x+3y恒成，則實(shí)數(shù)t的值范圍是__________.【答案】

新高考數(shù)學(xué)

xxxx【解析】因?yàn)?/p>

xy

，所以

31

，所以

x)

yx9yxxyx

，當(dāng)且僅當(dāng)

x

時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?/p>

t2x

恒成立，即

12，解得

.所以實(shí)數(shù)t

的取值范圍是故答案為：

.4全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)任意

，

x

x

恒成立，則a的值范圍是_____．【答案】

【解析】

，

x1xx112xx

，當(dāng)且僅當(dāng)

，即

x

時(shí)等號(hào)成立，a

1.故答案為：a.5強(qiáng)練1全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）知

x

，則的值范圍為（）A．

([4,

B．

(

C．

[0,

D．[6,【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，若

，x

4x

，當(dāng)且僅當(dāng)

x

x

，即

時(shí)取等號(hào)；若

，

x

4x

4x

，當(dāng)且僅當(dāng)，即x

時(shí)取等號(hào)；新高考數(shù)學(xué)

2n則2n則∴的值范圍為

([4,

.故：2福建福州市·高三期）已知

n

，則

m

的最小值為（）A．36【答案】

B．16CD．4【解析】

mn

，

111nm==8n2m116C.

n1且僅當(dāng)=時(shí)mn時(shí)等號(hào)成立m4

的最小值為8.故選：3全高三專(zhuān)題練習(xí)知點(diǎn)

(b)(,在線(xiàn)xy

上則

1aa

的最小值（）A．1

B．2C．

D．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)

(,b)(a,b0)在直線(xiàn)xy

上，所以

，因?yàn)?/p>

a

所以

aaabba

a當(dāng)僅當(dāng)b

即

時(shí)取等號(hào)，故選：C4河北張家口市·高三考）已知0

1，則a

的最小值是（）A．6【答案】【解析】∵

BC2a∴

D14aaa1a

4aa

a4a1a當(dāng)且僅當(dāng)

aa，即a時(shí)取等號(hào)故:D.aa5河南鄭州市·高三月）已知正實(shí)數(shù)

，

滿(mǎn)足

3b

，則

的最小值為（）A．32【答案】

B．34C．36D新高考數(shù)學(xué)

【解析】由a，且ab

，1得b

1b

123aabb

20

12332

，當(dāng)且僅當(dāng)

12b3b

，即

ab

1a時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，1b,8

的最小值為．選：6全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）知ab，且a

，則

11a

的最小值為（）A．2

B．3

C．2

D．32【答案】【解析】∵a，，

11bb)()baa

，當(dāng)且僅當(dāng)a

b

，等號(hào)成立，所以最小值為，選A.7山東菏澤市·高三期）若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足

，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A．有大值

B．b最小值C．

11a

有最小值4

D．a(chǎn)2有小值

【答案】【解析】a當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)號(hào)成立，即

，故A錯(cuò)；B中若

b

，有ab

，即最小值不為，誤；C中

a

，正確；D中若

24，有a22，最小值不為，誤；故選：3928江蘇南通市·三期中正數(shù)，滿(mǎn)足

x3

，則下列說(shuō)法正確的

）新高考數(shù)學(xué)

yyyx9yyyx9A．

3y

的最小值為4

B．的大值為

C．

x2y

的最小值為

D．

x

2

的最小值為

【答案】ABD【解析】因?yàn)?/p>

x所以

xyyxy

，當(dāng)且僅當(dāng)，即

xy

時(shí)等號(hào)成立，故A正確因?yàn)?/p>

x

，所以

xy

33，當(dāng)且僅當(dāng)y，即y24

時(shí)等號(hào)成立，故B正因?yàn)?/p>

yxy2xy2

，所以

x2y

的最大值為6，C錯(cuò)誤因?yàn)?/p>

x

2

y

2

xy

2

所以D正確故選：ABD9選福西山學(xué)高三期中）若

，0，且

2

，則（）A．有大值64C．有小值18【答案】BC

B．有小值64D．有小值．28【解析】因?yàn)閤，0所以1xy

，即

，所以xy64，有小值64，故選項(xiàng)B正，項(xiàng)A不確，8yxxyy1016xyx所以有小值18，故選項(xiàng)C正，選項(xiàng)D不正，故選BC

，10全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)在

ABC

中，點(diǎn)D是段

BC

上任意一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)

，則

4m

的最小值是（）A．4【答案】

B

CD．13新高考數(shù)學(xué)

2yy2yy【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D是段

上任意一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)BD則

ABAB

，因?yàn)锳D

，所以

，

，所以

．因?yàn)?/p>

，所以0

，

，則

1444mnm

，當(dāng)且僅當(dāng)

2，時(shí)，等號(hào)成立．故選：11全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)已知

x

，

xy

，則

2

的最小值為（）A．

12

B．

C．

D．2【答案】【解析】

x2xy2，yxx

，x，xy

，由基本不等式可得

2x

2x

，且當(dāng)

2

62，即x，y時(shí)等號(hào)成立因此，

2

2

的最小值為2.故選：12全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)

xy

，則

1xy

的最小值為（）A．1【答案】

BC

D【解析】由題意，正實(shí)數(shù)滿(mǎn)

xy

2，則xy)2

，當(dāng)且僅當(dāng)

xy

時(shí)，等號(hào)成立，即，新高考數(shù)學(xué)

11所以，即的小值為1.故選：xy13深市龍崗區(qū)龍城高中學(xué)高三月考知x，y且

21

若

xy

2

恒成立，則實(shí)數(shù)的值范圍是___【答案】【解析】x，0，

21

，則

1x4y4yy4yy

，當(dāng)且僅當(dāng)

x2

時(shí)，上式取得等號(hào)，若

x

2

m

恒成立，則m

解得

m

．故答案為：14衡水市中高三月考正實(shí)數(shù)n滿(mǎn)9【答案】【解析】

mmn

的最小值為_(kāi)____.因?yàn)?/p>

m

1m，所以nnmnm

，當(dāng)且僅當(dāng)

mm

，即

n

時(shí)等號(hào)成立，所以

n

的最小值為

.故答案為：9.15山日照市照中高三月考知【答案】

yy

的最小值為_(kāi)____.【解析】由

xyxy

得：

2

；新高考數(shù)學(xué)

yyyyyyyy1yxy2xxyxxy

,（當(dāng)且僅當(dāng)

2yy

，即

xy

時(shí)取等號(hào)2y的最小值為9.故答案為916江蘇鎮(zhèn)江市·高三中）已知【答案】

x,y，

，則的最小值為_(kāi)_______.【解析】

x

x

，因?yàn)?

，以22

xy

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，取到最小值故答案為417廣東佛山市·高三考）已知

，

y0

且

19

，求x的最小值為_(kāi)____.【答案】19，0且，【解析】y9xxxxyxy

（當(dāng)且僅當(dāng)

9xyy

，即

時(shí)取等號(hào).故答案為：16.min18大荔縣大荔中學(xué)高月考）已知正數(shù)滿(mǎn)

3

，則

x

的最小值為_(kāi)______.【答案】25【解析】

正數(shù)滿(mǎn)

3

，123x12yx25yxy

，當(dāng)且僅當(dāng)

312y

，即

x

時(shí)等號(hào)成立，新高考數(shù)學(xué)

x

的最小值為25.故答案為：25.19全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)已知A、、是線(xiàn)

l

上三個(gè)相異的點(diǎn)，平面內(nèi)的點(diǎn)Ol

，若正實(shí)數(shù)x1的最小值為_(kāi)_____.y滿(mǎn)足OPxOAyOB，x【答案】2【解析】∵、、是線(xiàn)上三個(gè)相異的點(diǎn)，，

OP

OA4

，所以

x

，

1yxyy4

344xy

3yx442

2，2當(dāng)且僅當(dāng)

y4y

，即x2，4時(shí)取等號(hào)，故答案為：.220省鄂州高中高三考8【答案】

y0xyx

的最小值為_(kāi)____.【解析】由

4x

，得

4y212y2x

，則

4y

8yxyx22

，當(dāng)且僅當(dāng)x，等號(hào)成.因此，

4x

的最小值為8故答案為：.21建三期中向量,na,1-)(0)//【答案】

2b

的最小值為_(kāi)__．【解析】由//n，,n)，以即，2a2b4ab，a)4

，且

ab

，新高考數(shù)學(xué)

yy當(dāng)且僅當(dāng)

4

，即

時(shí)取等號(hào)，所以

2b

的最小值為：

故答案為：

.22遼寧葫蘆島市·高月考）正實(shí)數(shù)a，滿(mǎn)3