考點(diǎn)06 函數(shù)的奇偶性與周期性

xx32xxxx2－2xxx3332x2xxx4402xx32xxxx2－2xxx3332x2xxx44022x1．(2018·黑龍江七臺(tái)河月考，2)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是

(A)A．()＝2－

12

B．()sinC．f)＝2cos＋1Df()＝＋2111【解析】對(duì)于函數(shù)()＝2－，由于f(－)＝2－＝－＝－f(x，故2此函數(shù)為奇函數(shù)；對(duì)于函數(shù)f()＝

sinx，由于f(－)＝－

(－sin)

sin＝f(x，故此函數(shù)為偶函數(shù)；對(duì)于函數(shù)f()＝＋1，由于f(－x)＝2cos(－x＋1＝2cos＋1＝(x)故此函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)于函數(shù)f()＝x＋由于f(－x＝－x)＋2＝x＋－≠f(x)，且f(－xf()，故此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．故選2．(2018·河南鄭州月考，6)已知＝f(x是定義在上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是①y＝(|x|)；②y＝()；③＝xf)；④＝f()＋x.

(D)A．①③

B．②③

C．①④

D．②④【解析】由奇函數(shù)的定義，f(－)＝－()驗(yàn)證，①f－|)＝(|x|)故為偶函數(shù)；②f(－(－))＝(x＝－f(－x，為奇函數(shù)；③－xf(－)＝－x·[f()]＝xf(x，為偶函數(shù)；④f(－x＋－x)＝－[(x)＋]，為奇函數(shù)．綜上可知②④正確，故選D.3河北邯鄲月考，4)已知f(x為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)f()＝2＋m則f(－＝

(A)A．－3

B．－

5C.

D．3【解析】由()為上的奇函數(shù)，知f(0)＝0，即(0)＝2＋＝，解得＝－1，則f－＝－f－(2－＝－4．(2018·山東濱州月考，下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(1，2)內(nèi)單調(diào)遞減的是

(B)A．()＝

B．(x

1x

C．f()＝2＋2

D．f)＝－cos【解析】對(duì)于A函數(shù)與單調(diào)遞減均不滿足對(duì)于B合題意對(duì)于C，第1頁(yè)

2222222259922222222599不滿足單調(diào)遞減；對(duì)于D，不滿足單調(diào)遞減，故選B.＋2x，x≥0，5河北衡水調(diào)研已知函數(shù)f(x＝2x，x<0.則a取值范圍是

若f(－a)＋(a)≤2f(1)，(C)A．[－1，0)

B．[0，1]C．[－1，1]D．[－22]【解析】由函數(shù)方程可知f()是偶函數(shù)，故f(－a＝f()，原不等式等價(jià)于f(a)≤(1)，即(|a≤f(1)，而函數(shù)在[，＋∞)單調(diào)遞增，故≤1，解得－1≤a≤1.6．(2018·遼寧撫順模擬，7)已知(x在上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝()，當(dāng)x∈，時(shí)，f(x＝2x，則f(7)＝

(B)A．2

B．－2．－98D．98【解析】因?yàn)閒(＋f()所以函數(shù)f()的周期T4.f()在R上是奇函數(shù)，所以f(7)＝(8－f(－1)＝－(1)＝－7．(2018·黑龍江大慶月考，函數(shù)f(x在上為奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f()＝－x，則當(dāng)x＜0時(shí)，()＝－－x．【解析】函數(shù)f()在R上為奇函數(shù)f－)＝－f()且x＞0時(shí)fx則當(dāng)x＜0，f()＝－f－)＝－(＋x＝－x－.

－x，8．(2018·貴州適應(yīng)性考試，已知f(x是奇函數(shù)，(x＝

2＋（x）f（）

.g(2)＝3，則g－2)＝－【解析】由題意可得g(2)＝

2＋（2）f（2）

＝，則f1.f是奇函數(shù)，則f(－＝－1，所以g－2)＝

2＋（－）2－1＝＝－f（－）－19(2018·東揭陽(yáng)月考已知函數(shù)f()是周期為的奇函數(shù)，當(dāng)∈，1]，f(x＝lg(x＋1)，則f(

20165

)＋18__1__．20164【解析】由函數(shù)f()周期為2的奇函數(shù)，得f()＝f()＝()5542016f()＝－＝lg，故f(55

5)＋lg18＝lg＋lg18＝lg101.10湖北武漢月考，若定義在R上的偶函數(shù)()和奇函數(shù)g(x滿足f(x)第2頁(yè)

xxxxx222xxxe－exxxxx222xxxe－e11212＋g＝eA．－e【解析】

，則g(＝111B.(e＋－)C.(e－)D.－e)x∈R時(shí)，(x＋gx＝e，①

(D)用－x代替x得f－xg(－)＝－，又f(－x＝f()，g(－x)＝－g()所以f(x－g()＝－，②由①②可解得g(x＝

x－2

.11．四川成都五校聯(lián)考，9)設(shè)函數(shù)f(奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－＝0則f(＜0解集是A．{x－3＜＜x＞3}．{－或0＜x＜3}C．{|＜－3x＞D．{x|－3＜x＜或＜＜3}

(B)【解析】

∵f(x是奇函數(shù)，f(－＝0，∴f(－＝－f(3)＝0解得f(3)＝0.∵函數(shù)f(x)在0＋∞內(nèi)是增函數(shù)，∴當(dāng)0＜x＜3，f()0；當(dāng)x＞3，f()0.∵函數(shù)f(x是奇函數(shù)，∴當(dāng)－＜＜0，f(x)0；當(dāng)x＜－3時(shí)，()＜0.則不等式f(x＜0的解集是0＜3＜－故選B.12湖南衡陽(yáng)八中月考，若f()是定義在－∞，＋∞上的偶函數(shù)，，f(x)f()x∈[0＋∞)(≠，有2，則2122A．(3)f(1)＜f(－2)B．(1)＜(－2)＜f(3)C．f(－＜f(1)f(3)D．f(3)＜(－2)＜f(1)

(D)【解析】

f(x)f()∵?，∈[0，＋∞≠x)，有1，∴當(dāng)x0時(shí)，2函數(shù)f(x為減函數(shù)，∴(3)＜(2)＜(1)．f()定義在(－∞，∞)上的偶函數(shù)，∴f(3)＜(－＜f，故選D.13河北石家莊模擬，15)若函數(shù)f)＝＋sinx對(duì)任意的m∈[－2，2]，有f(mx－3)＋f(x恒成立，則x的取值范圍是(－3，．【解析】易知()是R上的奇函數(shù)，由f＋cosx>0，f(x為增函數(shù)，∵f(mx－3)＋f(x)<0可變形為f(mx－3)<(－)∴mx－3<－x，∴3＋x<0.設(shè)gm＝xm－3＋x，由題意知當(dāng)∈[－2，2]時(shí)，g(m)<0恒成立，則當(dāng)x≥0，g，即2x－3＋x，第3頁(yè)

2121121221211212則0≤x<1；當(dāng)x時(shí)，g(－2)<0，即－2x－3＋<0，則－∴所求x的取值范圍是(－，．14廣西貴港月考設(shè)定義在R上的函數(shù)f(同時(shí)滿足以下條件①f(x)＋f(－x＝0(x)＝f(≤≤1時(shí)x＝2

x

1－1.則()＋(1)＋()225＋f(2)＋()__2__．21【解析】依題意知函數(shù)()為奇函數(shù)且周期為2的周期函數(shù))＋f(1)23111＋()＋()＝f)＋f＋()＋f＋()＝f()＋f(0)＝－122222＋2

1

－1＋2

0

－1＝15河北滄州一中月考，16)已知函數(shù)f()是R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意x∈R，都有f6)f(＋f(3)成立，當(dāng)x，∈[0，3]，且x≠時(shí)，都有122f（）－f（x）＞0.給出下列命題：x－12①f(3)＝0；②直線x＝－6是函數(shù)＝f)的圖象的一條對(duì)稱軸；③函數(shù)y＝()在[－9，－為增函數(shù)；④函數(shù)y＝()在[－9，有四個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確命題的序號(hào)為①②④．【解析】對(duì)于任意∈R，都有f(x＋6)＝(x)＋(3)成立，x＝－3，則f(－3＋6)＝(－＋f．又因?yàn)閒()是R上的偶函數(shù)，所以f(3)＝0.故①正確；由①知f(x＋＝f()，所以f(x)的周期為6.又因?yàn)閒(x是R上的偶函數(shù)，所以f(x＋＝f(－)而(x)的周期為6所以f＋6)＝f(－6＋x)(－)＝(－x－，所以(－6)f(－＋x，所以直線x＝－6是函數(shù)y＝(x的圖象的一條對(duì)稱軸．故②正確；f（）－f（x）當(dāng)x，∈[0，3]，且≠x時(shí)，都有＞0所以函數(shù)＝f()x－1在[0，3]上為增函數(shù)．因?yàn)閒)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)＝f(x在[－3，0]上為減函數(shù)而()的周期為6以函數(shù)＝f(x在[－9－6]上為減函數(shù)故第4頁(yè)

1222212222③錯(cuò)誤；f(3)＝0f()的周期6所以f(－＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0所以函數(shù)y＝()在[9，9]上有四個(gè)零點(diǎn)．故④正確．16.(2006全國(guó)文)已知函數(shù)

f(x)

2

1x

，若f_2遼文已知函數(shù)f()＝＋x－x)＋1，則f＋A－1BC1D2答案D解析gxlg(x3)(x)1(xlg(19x3)lggx)xx

1f(lg)2

等于()11∴g()∴(lg2)1(lg)12)(lg)02(lg2)

1f(lg)2

2.18(2005江西理)若函數(shù)f()log(x)是奇函數(shù)，則=.【思路點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶,由函數(shù)的奇偶性的定義可求.【正確解答】解法：由題意可知，

f(x)()

，即

2

2

122

，因此

a

，

a

22

解法2的定義域?yàn)镽,又為函故其圖象必過(guò)原點(diǎn)即f(0)=0,所以|a|2a推出答案a得即2

log

(0n

0a)

【解后反思】對(duì)數(shù)學(xué)概念及定理公式的深刻理解是解數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān),論函數(shù)的奇偶性,其前提條件是函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì).若函數(shù)f(x)為函數(shù)

f(()f()

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若函數(shù)f(x)為函數(shù)

f(f(xyf(x)

的圖象關(guān)于y軸稱.19(2005江文若函數(shù)

fxlog(x

)

是奇函數(shù)則a=.【思路點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶,由函數(shù)的奇偶性的定義可求.【正確解答】解法：由題意可知，

f(x)()

，即

22

122

，因此

2