排列組合萬能解題方法

高二數(shù)內(nèi)資排組設人管坤審人畢翔教目進一理和用步計原和類數(shù)理掌握決列合問的用略;能用題略決單綜應題提高生決題析題能力學會用學想方法決列合題復鞏分類數(shù)理加原理完一事有類法在第1類辦中m種同方，第2類法有種同方，，第類辦中不的法那完成件共：Nm1種同方．分步數(shù)理乘原理完一事需分個步，第1步有種同方，么成件共：

種同方，第2步有

種同方，，第

n

步N1種同方．分類數(shù)理步數(shù)原區(qū)分計原方相獨，何種法可獨地成件事分計原各相依，步的法成件一階，不完整事．解排組綜性題一過如:認真題清做么事怎樣才完所做的,采分還分,是步分同進行確分少及少。確定一或一是排問(序還組(無)題元總是少及出少元.解決列合合問題往類步叉因必掌一常的題略一特元和殊置先略例1.由0,1,2,3,4,5以成少沒重數(shù)五奇.解由末和位特要,該先安,免合求元占這個置.先末共

13然排位有

14最排它置有

34由步數(shù)理

C132884

A

若再,需再練題7種不的種排一的盆,兩葵花種中，不在端花里問多不的種？二相元捆策例2.7人成排,其甲相且丁鄰共有少不的法.解可將乙元素綁整并成個合素，同時丁看一個合素再與它素行列同對鄰素部行排由步數(shù)理得有丙丁甲乙

A2A4805

種同排要求某幾個元素必須排在一起的問題,以用捆綁法來解決問題即將需要相鄰的元素合并為一個元素,與其它元素一起作排,時要注意合并元素內(nèi)部也必須排.1

練題某射8槍，中4槍4槍中好槍在起情的同數(shù)為20三不鄰題空略例3.一個會節(jié)有4個蹈,個聲,個唱,蹈目能續(xù)場,節(jié)的場序多種解分步行一排2個聲3個唱有

55

種第步4舞插入一排的6元中包首尾個位有

A

不的方,分計原,目不順共54

種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩練題某新聯(lián)會定節(jié)已成目，演又加了個節(jié).果這個節(jié)插原目中且個節(jié)不鄰那不插的數(shù)30四定問倍空插策例4.7人排隊其甲丙3人序定有少同排法解(縮)于幾元順一的列題,可先把幾元與他素起行列,然后用排數(shù)除這個素間全列,共不排種是

/37空位)想7把子除乙丙外四就共

A

種法其的個置乙共種坐法，則有A種法7思:以讓乙就嗎（入)排乙三人,有種排,把余4四依插共定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插

方練題10人身各相,成后排每5人,求左右高漸加共多排法

C五重問求策例5.把6名習生配個車間習共多種同分解完此共六:第名習分到間有7種分.第名習分到間有7種依類推由步數(shù)理有種同排允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元的位置，一般地n不的元素沒有限制安排在m個位置上的排列數(shù)為

種練題．某班年歡原的5個節(jié)已成節(jié)單開演又加兩新目如果這個目入節(jié)單中那不插的數(shù)42某8層樓樓梯來8名客,們各的層電,電梯方

7

8六環(huán)問線策例6.8人桌坐,有少坐?解圍而與成排不點于坐圓沒首之，所固一A4并從此置圓展直4其7人有8-1種法CDBEA

！ABCDEFGHAF

G

H一般地n個同元素作圓排,有n-1)!種排法如果從n個同元素中取出m個素作圓形排列共有

1n

mn2

練題6顆色同鉆，穿幾鉆圈120七多問直策例7.8人排成后排每4人其中乙前,在排共有少法解8排前兩,當8人8把椅子可以椅排一.特元有

24

種再后4位上特元丙

1種,其的5人在5個置任排有5種,共A1545

種前排

后排一般地,元分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再段研練題有排位前11個座，后12個座位現(xiàn)排2人座定排間3個位能坐并這人不右鄰那不排的數(shù)346八排組混問先后策例8.有5個同的球裝4個同盒,盒少一個,有少同裝.解第步5個中出2組成復元有

25

種法再4個素包一復合素裝4個同的內(nèi)

4方，據(jù)步數(shù)原裝的法有C2A444解決排列組合混合問先選后排是最基的指導思.此法與相鄰元素捆綁策略相似練題一班6戰(zhàn),中副長各人從選人完四不的務,人成種務且副班有只1人加則不的法192種九小團題整后部略例9.用1,2,3,4,5組成有復字的位其恰兩偶夾1,在個數(shù)間這樣五數(shù)多個解把,,,當一小團３隊有

A

種法，排集內(nèi)共2A22

種法由步數(shù)理有

2222

種法3小集團排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進行處理。練題１計展10不的畫其幅水畫４油,幅畫,排一陳,求一

品的須連一，且彩不兩，么有列式種為

24255男和女站一照像男相,生也鄰排有

2A5525

種十元相問隔策例10.有個動名，給7個，班至一,多種配案解因10個名沒差，它排一。鄰額間成個空。９空中６位插隔，把額成份對地給個級每種板法對一分共

69

種法一班

二班

三班

四班

五班

六班

七班將n個相同的元素分成份，為正整數(shù)）每至少一個元可用m-1隔板，插入n個素排成一排n-1空隙中，所有分法數(shù)為

n

3

種,會的5人中有種,會的5人中有人上唱人CC練題．10個相同球5個中,盒少有少法

9.

xy

求個程的然解組

C103十.難反體汰略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十數(shù)中出個，其為小于10的數(shù)不的取有少？解這題如直求小10偶很難可總淘汰。十數(shù)中5個數(shù)個奇,所取三數(shù)有3個數(shù)取有3,只含1個數(shù)取法

1C5

和為數(shù)取共

1

再淘和于10的數(shù)9種，合件取共

C23555有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷以先求出它的反面再從整體中淘汰練題我班有43位學,中抽5人正副班、支書至有人內(nèi)抽有少?十.均組題法略例12.6本不的平分堆每2本有少法？解分三取得

C2CC42

種法但這出重計的象不妨6本為ABCDEF若一取AB,第二步取CD,三步取EF

該分法記為則

26

24

22

中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共A種取法,這分僅是AB,CD,EF)3一分,共

/A

種法平均分成的組不管它們的順序如何都一種情況,所分組后要一定要除以A(n為均分的組數(shù))避免重復計數(shù)。練題13個球分組一5個,它組4個,有少法（

513

8

44

/

22

）2.10名生成3組其一4人另兩3人正班長能在一,多種同分方（）某校二級有個班，從地入4名學，安到年的個級每安排名，不的排案數(shù)_（

22/290262

）十.合理分與步略例13.在次演會共10名演,中8人能能歌5人跳,要演一2人唱2人舞的目有少派法解10演員有5人只唱，2人會舞3人全演。上歌員標進研只唱5人中有選唱人共

213534

種只唱5人只2人上歌員有C221C1C2種35

C5

種由類數(shù)理有解含有約束條件的排列組合問題按元素的性質(zhì)進行分類事件發(fā)生的連續(xù)過程分步到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。練題從名生3名生選4人加個有34

談，這4人中須有生又女，不的法4

3成人2孩船游,號船多3人2號船多,號船能1人他任只或只船但孩能獨一船這3人有少船法.（27）本還如分標：以3個能員是選唱人為準以3個能員是選跳人為準以只跳的2人否上舞員標都經(jīng)到確果十.造型略例14.馬上編為的九只路,要掉中盞但能掉鄰盞或3盞也不關兩的盞,滿條的燈法多種解把問當一排模在6盞燈5個隙插個亮燈35一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型占位填空模型排隊模型裝模型等，可使問題直觀解決練題某共10個座位若4人坐每左兩都空，么同坐有少？（120十.際作舉略例15.有號1,2,3,4,5的五球編1,2,3,4,5的個子現(xiàn)5個球入五盒內(nèi),要求個子放個，且好兩球編與子編相,多投法解從5個中出2個盒對有種剩3球3盒序號能應用實際作如剩5號,3,4,5號3號球裝4盒，4,5號有有1種法同3號裝5號盒,號有也有種裝,分計原有

2C

25

種534號盒4號5號盒對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果練題同一室4人每寫張年集起來然后人拿張人賀卡則張年不的分方有多種(9)給圖區(qū)涂,求相區(qū)域同,現(xiàn)4種選色,則不的色法十.分解與成略例16.30030能被多個同偶整分：把30030分解質(zhì)數(shù)乘形×35×7××13依意知因必取2,再從余5個數(shù)中任若個成積

2

所的因為

15

5

35

45

55練:方的8個頂點連多對面線解我先8個點任4個點成體有共

C48

58

每個面有對異直,方中8個點連

3174

對面線分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略把一個復雜問題分解成幾個小題逐一解決后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu)分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成從而得到問題的答案,個比較復雜的問題都要用到這種解題策略十.歸略例17.25人排×方,從中3人,要3人在一也不同列不的法多種？解這問退成9人排成×3方,從選3人,求3人在一也在一,多少法5

這每必1人其的行選人,這所的列都掉如繼下.3×方中3人的法

1131

種再5×5方選3×方陣便解決題從5×方隊選3行3列

CC35

選所從×5方選不在一也在一的3人有

C33C1C52

選。練題某市街由12全的形組其實表示路A走到B的短徑多種(

37

)B處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題過決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題A十.字序題字策例18．由012345六數(shù)可以成少沒重的324105大數(shù)解

5

4

3

A22

A1

,練:這六個字成有復四偶,這些字小大列來第71個數(shù)3140十.圖略例19．人互球,甲始球并為一傳經(jīng)過次傳后球回甲的中則同傳方有_____

對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結(jié)果練:分別編1235號碼人椅中i人坐i號

i2

不坐有多種

44二.雜類題格略例20有、、色球只分別有、BCDE五個字,從取5只,求字均且三齊備則有少不的法解

紅111223黃