2020-2021高二數學人教版2-2學案：2.2.2反證法含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年高二數學人教A版選修2-2學案：2.2.2反證法含解析2．2.2反證法[目標］1.了解反證法是間接證明的一種基本方法。2。理解反證法的思考過程，會用反證法證明數學問題．［重點］反證法的邏輯思維過程與邏輯思維方法．［難點]利用反證法解決有關問題．知識點反證法［填一填]1．反證法是間接證明的一種基本方法．2．一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結論不成立）,經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立,這種證明方法叫做反證法．3．反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾,這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等．[答一答］1．在證明命題“若p則q"的過程中，雖然否定了結論q，但在證明過程中，沒有把“綈q”當作條件利用，也推出了矛盾或證得了結論，這種證明是反證法嗎？提示:不是,反證法是在假設原結論不成立的條件下推出矛盾的，也就是說,之所以推出了矛盾，就是因為我們假設了原結論不成立，故在用反證法時,必須把結論的否定作為條件使用，否則，就不是反證法．2．用反證法證明命題“如果a>b，那么eq\r(3,a)〉eq\r（3,b)”時,假設的內容應是什么?提示：應假設eq\r（3，a）≤eq\r(3,b)。類型一用反證法證明否定性命題【例1】已知三個正數a，b，c成等比數列，但不成等差數列，求證：eq\r(a),eq\r(b)，eq\r（c）不成等差數列．【思路分析】由題目可獲取以下主要信息：①a、b、c三個正數成等比數列,但不成等差數列．②求證eq\r（a)，eq\r(b)，eq\r(c）不成等差數列．不成的反面是“能成”．解答本題可選用反證法，關鍵是利用等差、等比中項．【證明】假設eq\r（a），eq\r（b),eq\r(c)成等差數列，則eq\r（a）＋eq\r(c）＝2eq\r(b),即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r（ac),∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac）,∴（eq\r（a）－eq\r（c）)2＝0。即eq\r(a）＝eq\r(c），從而a＝b＝c，與a,b，c不成等差數列矛盾，故eq\r（a）,eq\r（b)，eq\r(c)不成等差數列．1.結論中含有“不”、“不是"、“不可能”、“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適于應用反證法。2.反證法屬邏輯方法范疇，它的嚴謹體現在它的原理上，即“否定之否定等于肯定",其中：第一個否定是指“否定結論假設"；第二個否定是指“邏輯推理結果否定了假設”。反證法屬“間接解題方法”，書寫格式易錯之處是“假設”易錯寫成“設”.已知函數f(x）＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)（a〉1）．(1)證明:函數f（x）在（－1，＋∞)上為增函數;（2)用反證法證明方程f（x)＝0沒有負數根．解:(1）證明：任取x1,x2∈(－1，＋∞）,不妨設x1<x2，則x2－x1>0，ax2－x1〉1，且ax1>0,∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)〉0。又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq\f(x2－2，x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f(x2－2x1＋1－x1－2x2＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(3x2－x1,x1＋1x2＋1)〉0，∴f（x2）－f(x1）＝ax2－ax1＋eq\f（x2－2,x2＋1)－eq\f（x1－2，x1＋1)〉0。故函數f（x）在（－1，＋∞）上為增函數．(2)證法1：假設存在x0〈0（x0≠－1），滿足f(x0）＝0，則ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1），且0〈ax0〈1，∴0<－eq\f(x0－2,x0＋1)〈1.即eq\f（1，2）<x0〈2，與假設x0<0矛盾，故方程f(x0)＝0沒有負數根．證法2:假設存在x0<0（x0≠－1)，滿足f（x0)＝0.①若－1〈x0〈0，則eq\f（x0－2,x0＋1）〈－2,ax0〈1,∴f（x0）<－1與f（x0)＝0矛盾．②若x0〈－1，則eq\f(x0－2,x0＋1）>0，ax0〉0，∴f(x)〉0與f(x0)＝0矛盾．故方程f（x)＝0沒有負數根．類型二用反證法證明唯一性命題【例2】已知：一點A和平面α.求證：經過點A只能有一條直線和平面α垂直．【思路分析】eq\x(\a\al(分析點A和平，面α的位置關系））—eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（→\x（\a\al(用反證法證明點在,平面α內命題成立））—，→\x（\a\al(用反證法證明點在，平面α外命題成立)）—)）→eq\x(命題成立）【證明】根據點A和平面α的位置關系，分兩種情況證明．（1)如圖，點A在平面α內,假設經過點A至少有平面α的兩條垂線AB、AC，那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于經過點A的一條直線a.因為AB⊥平面α，AC⊥平面α,a?α，所以AB⊥a，AC⊥a,在平面β內經過點A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經過直線上一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾．（2）如圖，點A在平面α外，假設經過點A至少有平面α的兩條垂線AB和AC(B、C為垂足）,那么AB、AC是兩條相交直線,它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于直線BC,因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC。在平面β內經過點A有兩條直線都和BC垂直,這與平面幾何中經過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾．綜上,經過一點A只能有平面α的一條垂線．證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性。當證明結論以“有且只有”、“只有一個"、“唯一存在”等形式出現的命題時，由于反設結論易于導出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡單明了。已知直線m與直線a和b分別交于A，B且a∥b，求證：過a、b、m有且只有一個平面．證明:如圖，∵a∥b,∴過a、b有一個平面α。又m∩a＝A,m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m?α。即過a、b、m有一個平面α。假設過a、b、m還有一個平面β異于平面α.則a?α，b?α，a?β，b?β，這與a∥b,過a、b有且只有一個平面相矛盾．因此，過a、b、m有且只有一個平面．類型三用反證法證明“至多"、“至少”型命題【例3】用反證法證明：如果函數f（x）在區(qū)間[a，b］上是增函數，那么方程f(x）＝0在區(qū)間［a，b]上至多有一個實數根．（不考慮重根）【證明】假設方程f（x）＝0在區(qū)間［a，b］上至少有兩個實數根，設α，β為它的兩個實數根,則f(α）＝f(β)＝0。因為α≠β，不妨設α〈β，又因為函數f(x)在［a，b］上是增函數,所以f(α)〈f（β),這與f（α）＝f(β)＝0矛盾，所以方程f（x)＝0在區(qū)間［a，b]上至多有一個實數根．用反證法證明“至少”“至多”型命題，否定結論時,需弄清楚結論的否定是什么,以免出現錯誤.還應仔細體會“至少有一個”“至多有一個”等表達的意義.若x，y都是正實數，且x＋y〉2,求證：eq\f（1＋x,y）<2與eq\f（1＋y,x)<2中至少有一個成立．證明:假設eq\f（1＋x，y)<2和eq\f（1＋y，x）<2都不成立，則有eq\f(1＋x，y）≥2和eq\f（1＋y,x)≥2同時成立．∵x>0且y>0，∴1＋x≥2y,且1＋y≥2x，兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，∴x＋y≤2,這與已知條件x＋y>2相矛盾，∴eq\f（1＋x,y）<2與eq\f(1＋y,x)〈2中至少有一個成立．反證法未用到結論的反設致誤【例4】已知實數p滿足不等式(2p＋1）(p＋2）〈0，用反證法證明：關于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實數根．【錯解】假設方程x2－2x＋5－p2＝0有實數根，由已知實數p滿足不等式（2p＋1）（p＋2)<0，解得－2〈p〈－eq\f（1,2），而關于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判別式Δ＝4(p2－4）．∵－2<p〈－eq\f（1,2)，∴eq\f(1，4)〈p2〈4，∴Δ<0，即關于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實數根．【錯因分析】錯解在解題的過程中并沒有用到假設的結論,故不是反證法．【正解】假設方程x2－2x＋5－p2＝0有實數根，則該方程的根的判別式Δ＝4－4(5－p2)≥0,解得p≥2或p≤－2①,而由已知實數p滿足不等式（2p＋1)(p＋2)〈0，解得－2<p<－eq\f（1，2）②。數軸上表示①②的圖形無公共部分,故假設不成立，從而關于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實數根．設｛an｝是公比為q的等比數列．設q≠1，證明:數列{an＋1｝不是等比數列．證明:假設｛an＋1｝是等比數列，則對任意的k∈N＊，(ak＋1＋1)2＝（ak＋1）(ak＋2＋1)，aeq\o\al(2,k＋1)＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aeq\o\al（2，1）q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0,∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，這與已知矛盾．∴假設不成立，故｛an＋1｝不是等比數列．1．應用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些作為條件使用(C)①結論的否定；②已知條件；③公理、定理、定義等；④原結論．A．①② B．②③C．①②③ D．①②④2．實數a、b、c不全為0的條件為(D)A．a、b、c均不為0B．a、b、c中至多有一個為0C．a、b、c中至少有一個為0D．a、b、c中至少有一個不為03．已知a，b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b的位置關系為（C）A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線解析：假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b,這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．4．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內的一點，∠APB〉∠APC，求證：∠BAP<∠CAP.用反證法證明時應分：假設∠BAP＝∠CAP和∠BAP>∠CAP兩類．解析:反證法對結論的否定是全面否定，∠BAP〈∠CAP的對立面就是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.5．已知：非零實數a、b、c構成公差不為0的等差數列，求證：eq\f（1，a），eq\f(1，b),eq\f（1，c)不可能成等差數列．證明：假設eq\f(1,a)，eq\f(1，b),eq\f(1，c)成等差數列，則eq\f(2,b）＝eq\f（1，a)＋eq\f(1，c)，∴2ac＝bc＋ab，①又a、b、c成等差數列，∵2