專(zhuān)題5 直線(xiàn)與圓（解析版）-2021年高考沖刺之二輪專(zhuān)題精講精析

專(zhuān)題5直線(xiàn)與圓一、單選題1．若是直線(xiàn)：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓：的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，則四邊形面積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫(huà)出圖象，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得四邊形面積，利用勾股定理可得，當(dāng)PC最小時(shí)，PA最小，面積最小，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，即可求得答案.【詳解】圓：，圓心為（-2，0）半徑，畫(huà)出圖象，如圖所示：因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，且所以四邊形面積，又，所以當(dāng)最小時(shí)，PA最小，四邊形面積的最小值，由圖象可得，最小值即為點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離，所以，所以所以四邊形面積的最小值，故選：B【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖象，根據(jù)幾何關(guān)系，得到PC最小時(shí)，面積最小，再求解，將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)距離問(wèn)題，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.2．已知圓：，從點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)直線(xiàn)反射后，光線(xiàn)恰好平分圓的周長(zhǎng)，則入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)光路可逆，易知圓心關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在入射光線(xiàn)上，由此可求得結(jié)果.【詳解】圓：，圓心為，由已知，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)，故C點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M在入射光線(xiàn)上．設(shè)，則，解得，即，且光源，所以入射光線(xiàn)的斜率，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）由光線(xiàn)恰好平分圓的周長(zhǎng)，得出所在直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心；（2）入（反）射光線(xiàn)關(guān)于反射面的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)即為反（入）射光線(xiàn).3．直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知方程得，由于時(shí)，此式恒成立，所以，解方程可得結(jié)果【詳解】解：由，得，即，因?yàn)闀r(shí)，上式恒成立所以，解得，所以直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)為，故選：D4．已知直線(xiàn)和互相平行，則實(shí)數(shù)m的值為（）A． B．2 C． D．2或4【答案】A【分析】根據(jù)兩條直線(xiàn)平行的性質(zhì)即可求出實(shí)數(shù)m的取值.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)和互相平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，與重合，不符合題意，故，故選：A5．若在直線(xiàn)上有一點(diǎn)P，它到點(diǎn)和的距離之和最小，則該最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則，從而得出答案.【詳解】點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為,如圖則,所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得等號(hào).故選：C6．已知直線(xiàn)，則該直線(xiàn)的傾斜角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線(xiàn)斜率與傾斜角之間的關(guān)系：即可求解.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，（）直線(xiàn)，所以.故選：C7．已知直線(xiàn)：和直線(xiàn)：，則與之間的距離為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】由平行線(xiàn)間距離公式計(jì)算．【詳解】由題意可知兩直線(xiàn)平行，由平行線(xiàn)之間距離公式計(jì)算可得．故選：A．8．已知直線(xiàn)，．若，則的值為（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】當(dāng)兩直線(xiàn)斜率存在時(shí)，利用斜率之積等于得解【詳解】，解得故選：B9．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線(xiàn)l與曲線(xiàn)的方程可得它們的圖形，結(jié)合圖形分析可知直線(xiàn)l與半圓相切到過(guò)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求的取值范圍.【詳解】由題意知：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，曲線(xiàn)為y軸上半部分的半圓，如下圖示：如圖，當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)l與半圓相切，到直線(xiàn)l過(guò)時(shí)，它們有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)相切時(shí)，，得，當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)時(shí)，，得，∴結(jié)合圖象知：時(shí)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn).故選：B10．圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【分析】利用配方法，求出圓心和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】?jī)蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，和，對(duì)應(yīng)圓心坐標(biāo)為O1（1，2），半徑為，和圓心坐標(biāo)O2，半徑為，則圓心距離|O1O2|，則|O1O2|，即兩圓外切，故選：C11．一束光線(xiàn)從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸上一點(diǎn)C反射后到達(dá)圓上一點(diǎn)B，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】做出圓關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圓，進(jìn)而根據(jù)圖形得即可求解.【詳解】解：如圖，圓的圓心，其關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圓的圓心為，由圖得.故選：C.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵在于求圓關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圓圓心，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化求解.12．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】方程配方，左邊配成平方和的形式，右邊為正即可表示圓．【詳解】方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，有，∴．.故選：B二、填空題13．設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，且，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是_________.【答案】【分析】利用傾斜角與斜率關(guān)系圖象得解.【詳解】由圖得當(dāng)時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】熟悉傾斜角與斜率函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵.14．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則直線(xiàn)，之間的距離為_(kāi)_________.【答案】【分析】利用直線(xiàn)平行與斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得出．【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，，則故答案為：【點(diǎn)睛】熟練運(yùn)用直線(xiàn)平行與斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，是解題關(guān)鍵．15．已知圓和圓相交于A、B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為_(kāi)_________．【答案】【分析】由兩圓方程相減可得公共弦的方程，再由直線(xiàn)和圓相交的弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】解：由圓和圓相減可得，公共弦的方程為，又圓的圓心為，半徑為，可得到直線(xiàn)的距離為，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：兩圓相交，相交弦所在直線(xiàn)的方程可有兩圓方程相減而得到，處理圓的弦長(zhǎng)選擇垂徑定理為好．16．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上存在一點(diǎn)，使得，若點(diǎn)，分別是圓D：和橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)橢圓的離心率取得最小值時(shí)，的最大值是___________．【答案】【分析】根據(jù)題中條件，得到的最大值不小于即可，由余弦定理，結(jié)合基本不等式，得到點(diǎn)為短軸的頂點(diǎn)時(shí)，最大；不妨設(shè)點(diǎn)為短軸的上頂點(diǎn)，記，得出離心率的最小值，連接，得到，根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合三角形的性質(zhì)，求出的最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】若想滿(mǎn)足橢圓上存在一點(diǎn)，使得，只需的最大值不小于即可，由余弦定理，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)為短軸的頂點(diǎn)時(shí)，的余弦值最小，即最大；如圖，不妨設(shè)點(diǎn)為短軸的上頂點(diǎn)，記，則，于是離心率，因此當(dāng)橢圓的離心率取得最小值時(shí)，，則橢圓；連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得:，所以只需研究的最大值即可；連接，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)（點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上）時(shí)，不等式取得等號(hào)，所以的最大值為，因此的最大值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中條件，得到橢圓離心率，求出橢圓方程，再由橢圓的定義，以及圓的性質(zhì)，將動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)，以及到定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，即可求解.三、解答題17．已知圓：.（1）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切，求直線(xiàn)的方程；（2）過(guò)圓上一點(diǎn)作兩條相異直線(xiàn)分別與圓相交于，兩點(diǎn)，且直線(xiàn)和直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ).求證：直線(xiàn)的斜率為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由于點(diǎn)在圓上，只要直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，利用垂直關(guān)系得出斜率，即可得出直線(xiàn)的方程；（2）由直線(xiàn)和直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，得出直線(xiàn)和的斜率相反數(shù)，分別設(shè)出直線(xiàn)，的方程，并與圓的方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，再由斜率公式證明直線(xiàn)的斜率為定值.【詳解】解：（1）由題意可知，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)是圓的切點(diǎn).又圓的方程可化為，.所以圓的圓心為，半徑.所以.由可求得，.此時(shí)，所求直線(xiàn)的方程為，即.故所求直線(xiàn)的方程為.（2）由題意知，直線(xiàn)和的斜率存在，且互為相反數(shù).可設(shè)直線(xiàn)的方程為由消元，得.由點(diǎn)在圓上可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的一個(gè)解.所以，即.可設(shè)直線(xiàn)的方程為，同理可得，.所以.故直線(xiàn)的斜率為定值.18．已知直線(xiàn)：.（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程；（2）求與直線(xiàn)垂直，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3的直線(xiàn)方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由題意設(shè)所求直線(xiàn)的方程為，然后把點(diǎn)代入方程中求出的值即可；（2）由題意設(shè)所求直線(xiàn)的方程為，然后分別求出直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距，再由直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3，列方程可求出的值【詳解】解：（1）由題意，可設(shè)所求直線(xiàn)的方程為.把點(diǎn)代入，得，即.故所求直線(xiàn)的方程為.（2）由題意，可設(shè)所求直線(xiàn)的方程為.令，則；令，則.由題意知，.解得.故所直線(xiàn)的方程為或.19．已知一束光線(xiàn)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)和的交點(diǎn)M，且射到x軸上一點(diǎn)后被x軸反射.（1）求點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）聯(lián)立直線(xiàn)方程，求得交點(diǎn)，再由點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得答案.（2）由已知得經(jīng)過(guò)點(diǎn)P與點(diǎn)N，根據(jù)直線(xiàn)的兩點(diǎn)式可求得直線(xiàn)的方程.【詳解】解：（1）由，得，∴.∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（2）由已知得經(jīng)過(guò)點(diǎn)P與點(diǎn)N，∴的方程為，即.20．已知直線(xiàn)：，求直線(xiàn)的方程，使得：（1）與平行，且過(guò)點(diǎn)；（2）與垂直，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用兩直線(xiàn)平行，設(shè)：，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可.（2）利用兩直線(xiàn)垂直，設(shè)：，再再求與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可.【詳解】解：（1）設(shè)：，∵過(guò)點(diǎn)，∴，解得.所以的方程為：.（2）設(shè)：，設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)∴，∴.∴.所以的方程為：或.【點(diǎn)睛】此題考查直線(xiàn)的平行與垂直，注意巧設(shè)可以減少計(jì)算量.21．已知直線(xiàn)：和圓：.（1）求圓的圓心、半徑（2）求證：無(wú)論為何值，直線(xiàn)總與圓有交點(diǎn)；（3）為何值時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦最短？求出此時(shí)的弦長(zhǎng).【答案】（1）圓心，半徑（2）證明見(jiàn)解析（3）時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦最短，弦長(zhǎng)為【分析】（1）利用可求得結(jié)果；（2）利用直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)可證結(jié)論成立；（3）設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，直線(xiàn)被圓截得的弦為，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可知最大即時(shí)，弦長(zhǎng)最短，由此可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樗?，，所以，所以半?（2）由得，由得，所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)椋远c(diǎn)在圓內(nèi)，所以無(wú)論為何值，直線(xiàn)總與圓有交點(diǎn).（3）設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，直線(xiàn)被圓截得的弦為，則，則當(dāng)最大值時(shí)，弦長(zhǎng)最小，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，取最小值，此時(shí)，所以.所以時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦最短，弦長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問(wèn)的關(guān)鍵是證明直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)，第（3）問(wèn)的關(guān)鍵是推出時(shí)，弦長(zhǎng)最短.22．已知圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圖形為圓.（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若