第四講-社會(huì)經(jīng)濟(jì)模型

現(xiàn)有一位即將升入初一的學(xué)生家長,欲為其存5萬元以供6年后上高校運(yùn)用,問實(shí)行怎樣的方案存款,可使6年所獲收益最大?最大收益多少?一、存款問題中國人民銀行現(xiàn)行銀行整存整取利率如表所示(2011年4月6日)。一年期二年期三年期五年期3.25%4.15%4.75%5.25%存款期限為六年整。在存款期間利率不變。對(duì)于存款,銀行只計(jì)單利不計(jì)復(fù)利。若將定期存款到期后把本利又轉(zhuǎn)入其次個(gè)定期,這就相當(dāng)于計(jì)算復(fù)利。不計(jì)算利息稅。問題分析與假設(shè)設(shè)ｎ年期存ｍ次獲利金額記作Pn×mPn×1簡記作Pn存一次ｎ年期再存一次k年期獲利金額記作Pn+k。符號(hào)的約定明顯Pn+k=Pk+n設(shè)ｎ年期利率為r,k年期利率為s則Pn+k=50000×[(1+nr)(1+ks)-1]=Pk+n于是,一年期存兩次獲利金額為兩年期存一次獲利金額為

所以,問題的求解存一次兩年期再存一次一年期的獲利金額為三年期存一次獲利金額為所以存一次三年期再存一次兩年期的獲利金額五年期存一次的獲利金額為所以三年期存兩次的獲利金額為兩年期存三次的獲利金額為存一次五年期再存一次一年期的獲利金額為所以故存兩次三年期所獲收益最大,為15176.56元Excel供應(yīng)了數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)函數(shù)，可以用Excel便利地計(jì)算有關(guān)數(shù)據(jù)。利用Excel計(jì)算P1

1625

P2P1×2

41503302.81

P3P2+1P1×3

71255909.885035.15

P5P3+2P1×5

1312511866.388670.57

P5+1P3×2P2×3P1×615176.5615265.3113511.9410577.36某私立中學(xué)規(guī)定學(xué)生入學(xué)時(shí)每人應(yīng)交費(fèi)10萬元，等三年后學(xué)生畢業(yè)時(shí)學(xué)校將把10萬元如數(shù)歸還，試問在此規(guī)定下，學(xué)生念三年書實(shí)際交了多少學(xué)費(fèi)？二、學(xué)費(fèi)問題學(xué)問準(zhǔn)備：現(xiàn)值與終值現(xiàn)值與終值是利息計(jì)算中的兩個(gè)重要概念，它們刻畫了貨幣的時(shí)間價(jià)值，駕馭好這兩個(gè)概念，對(duì)于順當(dāng)解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問題很有幫助。現(xiàn)值是把在n期末的金額扣除利息后折合成現(xiàn)在的金額。終值是指n期末的本利和。其計(jì)算的基點(diǎn)是分別是存期的起點(diǎn)和終點(diǎn)。1、單利的現(xiàn)值與終值在單利公式S=P(1+nR)中，把本利和S稱為本金P在n期末的終值；反過來，把P=S/(1+nR)稱為S的現(xiàn)值。若每期發(fā)生本金（簡稱年金）為A，每期利率為R，共n期，單利計(jì)息，則n期的現(xiàn)值之和稱為單利年金現(xiàn)值，而n期的本利和的總額稱為單利年金終值。單利的年金現(xiàn)值若期初發(fā)生年金A，則每一期的現(xiàn)值為

單利的年金終值

單利年金現(xiàn)值

若期末發(fā)生年金A，則每一期的現(xiàn)值為

單利年金現(xiàn)值若期初發(fā)生年金A，則每一期的本利和為A,若期初發(fā)生年金A，則每一期的本利和為A(1+R),A(1+R),…,A(1+(n-1)R),單利年金終值A(chǔ)(1+2R),…,A(1+nR),單利年金終值2、復(fù)利的現(xiàn)值與終值在復(fù)利公式S=P(1+R)n中，把本利和S稱為本金P在n期末的終值；反過來，把P=S/(1+R)n稱為S的現(xiàn)值。若每期發(fā)生本金為A，每期利率為R，共n期，復(fù)利計(jì)息，則n期的現(xiàn)值之和稱為復(fù)利年金現(xiàn)值，而n期的本利和的總額稱為復(fù)利年金終值。復(fù)利的年金現(xiàn)值若期初發(fā)生年金A，則每一期的現(xiàn)值為

復(fù)利的年金終值

復(fù)利的年金現(xiàn)值若期末發(fā)生年金A，則每一期的現(xiàn)值為

復(fù)利的年金現(xiàn)值若期初發(fā)生年金A，則每一期的本利和為若期末發(fā)生年金A，則每一期的本利和為復(fù)利的年金終值復(fù)利的年金終值分析和解決問題我們可以用現(xiàn)值與終值的角度來看問題解法1：從終值的角度考慮，入學(xué)時(shí)交的10萬元，到三年后，其本利和（即終值）為100000×（1+3×0.0475）=114250，故應(yīng)交學(xué)費(fèi)114250-100000=14250元。解法2：從現(xiàn)值的角度考慮，三年后學(xué)校“如數(shù)歸還”的10萬元，其現(xiàn)值為

100000/（1+3×0.0475）=87527.35，故應(yīng)交學(xué)費(fèi)100000-87527.35=12472.65元。解法的評(píng)價(jià)上述兩種方法的結(jié)果不同，但都是正確的解法。從現(xiàn)值和終值的角度來看，它們分別表示了在學(xué)期結(jié)束和入學(xué)初結(jié)算學(xué)費(fèi)的金額。盡管理論計(jì)算表明以上兩種交費(fèi)方式是等效的，但對(duì)學(xué)生家長來說，按方法2（即入學(xué)即交學(xué)費(fèi)）較好，一是不必籌措一大筆資金，不會(huì)因?qū)砣曛腥f一資金周轉(zhuǎn)不靈而陷入窘境；二是假如家長須要貸款湊齊學(xué)費(fèi)的話，費(fèi)用就更多了。有一家庭，為了買房須要申請(qǐng)公積金貸款15萬元，還貸期限10年，問這個(gè)家庭每月平均要向銀行還款多少？一共要付給銀行多少利息？三、住房貸款問題住房公積金貸款利率表(2011年4月6日)。期限五年以下（含五年）五年以上年利率4.20%4.70%月利率3.5‰3.91666‰學(xué)問準(zhǔn)備現(xiàn)在銀行的按揭購房還貸方式主要有兩種等額本金還貸法，即每月以相等的額度償還貸款本金，并結(jié)清當(dāng)月利息，因此也叫利隨本清還貸法，其計(jì)算公式為：等額本息還貸法，而每月以相等的額度償還貸款本息，直到還清為止，計(jì)算公式為：模型假設(shè)10年內(nèi)銀行的利率保持不變；10年內(nèi)該家庭始終具有還貸實(shí)力，且不提前還清貸款；還款方式是每月等額本息還貸。符號(hào)設(shè)定貸款本金Q=10萬元還貸期限N=10年月利率R=0.00391666（貸款期限超過5年）

R=0.0035（貸款期限5年以下含5年）n表示還款期數(shù)A表示每月還款額S表示還款總額L表示利息總額建立模型從現(xiàn)值的角度考慮，每月等額還貸額A，其現(xiàn)值之和應(yīng)等于貸款本金Q,于是得：模型求解代入計(jì)算得模型應(yīng)用與拓展（1）假如該家庭每月收入為6000元,在貸款本金不變的狀況下,還貸期限設(shè)為多少年可以在保證正常開支的同時(shí)使所付利息總額最少?設(shè)每月還貸額不超過每月收入的50%（即3000元）時(shí),不影響家庭正常開支。由下表可知，可以選擇還貸期限為5年，這樣每月還貸2810.11元，可使利息總額最少為18606.86元貸款本金（元）Q還貸期限(年)N還貸期數(shù)n每月還貸額A還貸總額S利息總額L150000101201569.08188289.2938289.2915000091081705.96184244.1434244.141500008961877.64180253.1330253.131500008961877.64180253.1330253.131500006722394.92172434.3222434.321500005602810.11168606.8618606.861500004483400.30163214.3713214.37模型應(yīng)用與拓展（2）假如選擇等額本金還貸法是否會(huì)削減利息總額?利息總額L還貸總額S35543.69185543.69比等額本息還貸法少還利息38289.29-35543.69=2745.60元，但是前面月份還貸額較高，第1個(gè)月為1837.50元，直到第56個(gè)月起先月還貸額為1568.23元起先少于等額本息還貸法的月還貸額1569.08元。資金富有的家庭可以選擇這