專題18 等差數(shù)列與等比數(shù)列（教師版）

1/2專題18等差數(shù)列與等比數(shù)列考點(diǎn)58等差數(shù)列問題1．（2020全國Ⅱ理4）北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石） （）A．塊B．塊C．塊D．塊【答案】C【思路導(dǎo)引】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到．【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即，即，解得，所以，故選C．2．（2020浙江7）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差．記，下列等式不可能成立的是 （）A．B．C．D．【答案】B【解析】A．由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，成立；B．，，，若，則，即，這與已知矛盾，故B不成立；C．，整理為：，故C成立；D．，當(dāng)時，即，整理為，即，，方程有解，故D成立．綜上可知，等式不可能成立的是B，故選B．3．（2019?新課標(biāo)Ⅰ，理9）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，，，，故選．4．（2018?新課標(biāo)Ⅰ，理4）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則A． B． C．10 D．12【答案】B【解析】為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，把，代入得，，故選．5．（2017?新課標(biāo)Ⅰ，理4）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】由題知，，解得，，故選．6．（2017?新課標(biāo)Ⅲ，理9）等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0．若，，成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為A． B． C．3 D．8【答案】A【解析】等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0．，，成等比數(shù)列，，，且，，解得，前6項(xiàng)的和為，故選．7．（2016?新課標(biāo)Ⅰ，理3）已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，，則A．100 B．99 C．98 D．97【答案】C【解析】由題知，=，∴，又=，，，故選8．（2015新課標(biāo)Ⅰ，文7）已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】∵公差，，∴，解得=，∴，故選B．9．（2015新課標(biāo)Ⅱ，文5）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故選A．10．（2014新課標(biāo)Ⅱ，文5）等差數(shù)列的公差是2，若成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵成等比數(shù)列，∴，即，解得=2，∴，故選A．11．（2017浙江）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】∵，當(dāng)，可得；當(dāng)，可得．所以“”是“”充分必要條件，選C．12．（2015重慶）在等差數(shù)列中，若，則＝（）A．－1B．0C．1D．6【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，選B．13．（2015浙江）已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項(xiàng)和是．若成等比數(shù)列，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由成等比數(shù)列可得：，即，所以，所以，又．14．（2014遼寧）設(shè)等差數(shù)列的公差為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵數(shù)列為遞減數(shù)列，，等式右邊為關(guān)于的一次函數(shù)，∴．15．（2014福建）等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．8B．10C．12D．14【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，解得，所以．16．（2014重慶）在等差數(shù)列中，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，因?yàn)?，，所以，選B．17．（2013遼寧）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題：其中的真命題為A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，所以正確；如果則滿足已知，但并非遞增所以錯；如果若，則滿足已知，但，是遞減數(shù)列，所以錯；，所以是遞增數(shù)列，正確．18．（2012福建）等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的公差為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由題意有，，又∵，∴，∴．19．（2012遼寧）在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前11項(xiàng)和（）A．58B．88C．143D．176【答案】B【解析】，而，故選B．20．（2011江西）設(shè)為等差數(shù)列，公差，為其前項(xiàng)和，若，則（） A．18 B．20 C．22 D．24【答案】B【解析】由，得，．21．（2011天津）已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和，，則的值為 A．－110 B．－90C．90 D．110【答案】D【解析】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，又?jǐn)?shù)列的公差為，所以，解得，故，所以．22．（2020北京8）在等差數(shù)列{}中，，，記，則數(shù)列{} （）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】A【解析】設(shè)公差為d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1≤n≤5使，an＜0，n≥6時，an＞0，所以n=4時，Tn＞0，并且取最大值；n=5時，Tn＜0；n≥6時，Tn＜0，并且當(dāng)n越來越大時，Tn越來越小，所以Tn無最小項(xiàng)．故選A．23．（2020上海7）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則．【答案】【解析】由條件可知，．故答案為：．24．（2019?新課標(biāo)Ⅲ，理14）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則．【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，可得，，．25．（2015?新課標(biāo)Ⅱ，理16）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則．【答案】【解析】，，，又，即，數(shù)列是以首項(xiàng)是、公差為的等差數(shù)列，，．26．（2015安徽）已知數(shù)列中，，()，則數(shù)列的前9項(xiàng)和等于______．【答案】27【解析】∵，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以前9項(xiàng)和．27．（2019江蘇8）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和．若，則的值是．【答案】16【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，所以．28．（2019北京理10）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則________．的最小值為_______．【答案】0，-10【解析】由題意得，，解得，所以．

因?yàn)槭且粋€遞增數(shù)列，且，所以的最小值為或，．29．(2018北京)設(shè)是等差數(shù)列，且，，則的通項(xiàng)公式為___．【答案】14【解析】解法一設(shè)的公差為，首項(xiàng)為，則，解得，所以．解法二，所以．故，故．30．(2018上海)記等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和為，若，，則=．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，∴，∴．31．（2015廣東）在等差數(shù)列中，若，則．【答案】10【解析】由得，所以，故．32．（2014北京）若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)__時的前項(xiàng)和最大．【答案】8【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，且，．又，∴．當(dāng)=8時，其前項(xiàng)和最大．33．（2014江西）在等差數(shù)列中，，公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，則的取值范圍_________．【答案】【解析】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，可得，解得．34．（2013廣東）在等差數(shù)列中，已知，則_____．【答案】20【解析】依題意，所以．35．（2012北京）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若，，則；=．【答案】1，【解析】設(shè)公差為d，則，把代入得，∴，=36．（2012江西）設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列，若，，則___________．【答案】35【解析】因?yàn)閿?shù)列都是等差數(shù)列，所以數(shù)列也是等差數(shù)列．故由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，得，即，解得．37．（2012廣東）已知遞增的等差數(shù)列滿足，，則=____．【答案】【解析】38．（2011廣東）等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和．若，，則=_________．【答案】10【解析】設(shè)的公差為，由及，得，所以．又，所以，即．39．（2019?新課標(biāo)Ⅰ，文18）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求使得的的取值范圍．【解析】（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列中，設(shè)其公差為，若，則，變形可得，即，若，則，則，（2）若，則，當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)時，有，變形可得，又由，即，則有，即，則有，又由，則有，則有，綜合可得：，．40．（2018?新課標(biāo)Ⅱ，理（文）17）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值．【解析】（1）等差數(shù)列中，，，，，解得，，；（2），，，，當(dāng)時，前項(xiàng)的和取得最小值為．41．（2016?新課標(biāo)Ⅱ，文17）等差數(shù)列中，，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，．，解得：，；（Ⅱ），，，，．故數(shù)列的前10項(xiàng)和．42．（2013新課標(biāo)Ⅱ，文17）已知等差數(shù)列的公差不為零，，且成等比數(shù)列．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求；【解析】（Ⅰ）設(shè){}的公差為，由題意，=，即，∵，∴=0（舍去）或=-2，∴；（Ⅱ）令=由（Ⅰ）知，=，∴{}是首項(xiàng)為25，公差為-6的等差數(shù)列，∴===．43．（2014浙江）已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前n項(xiàng)和為，，．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）求（）的值，使得．【解析】（Ⅰ）由題意，，將代入上式得或，因?yàn)?，所以，從而，（）．（Ⅱ）由?）知，，所以，由知，，所以，所以．44．（2013福建）已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為．（Ⅰ）若成等比數(shù)列，求；（Ⅱ）若，求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列的公差，且成等比數(shù)列，所以，即，解得或．（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列的公差，且，所以；即，解得45．（2011福建）已知等差數(shù)列中，=1，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由解得=－2．從而，（Ⅱ）由（I）可知，所以進(jìn)而由即，解得又為所求．46．（2013江蘇）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．記，，其中為實(shí)數(shù)．（Ⅰ）若，且，，成等比數(shù)列，證明：；（Ⅱ）若是等差數(shù)列，證明：．【證明】（Ⅰ）若，則，，又由題，，，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，，又成等比數(shù)列，，，，，，，，（）．（Ⅱ）由題，，，若是等差數(shù)列，則可設(shè)，是常數(shù)，關(guān)于恒成立．整理得：，關(guān)于恒成立．，，．考點(diǎn)59等比數(shù)列問題1．（2020全國Ⅰ文10）設(shè)是等比數(shù)列，且，則 （）A．B．C．D．【答案】D【思路導(dǎo)引】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果．【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，，故選D．2．（2020全國Ⅱ文6）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若則 （）A． B． C． D．【答案】B【思路導(dǎo)引】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可．【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，∴，因此，故選B．3．（2020全國Ⅱ理6）數(shù)列中，，，若，則 （）A．B．C．D．【答案】C【思路導(dǎo)引】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值．【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得．故選：C．4．（2019?新課標(biāo)Ⅲ，理5）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由前4項(xiàng)和為15，且，有，，，故選．5．（2017?新課標(biāo)Ⅱ，理3）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞【答案】B【解析】設(shè)塔頂?shù)谋K燈，由題意是公比為2的等比數(shù)列，，解得，故選．6．（2015?新課標(biāo)Ⅱ，理4）已知等比數(shù)列滿足，，則A．21 B．42 C．63 D．84【解析】，，，，，，，故選．7．（2015新課標(biāo)Ⅱ，文9）已知等比數(shù)列滿足，，則（）【答案】C【解析】由題意可得，所以，故，選C．8．（2013新課標(biāo)Ⅰ，文6）設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則．=．=．=．=【答案】D【解析】==，故選9．（2013新課標(biāo)Ⅱ，理3）等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知，=9，，則=A．B．C．D．【答案】C．【解析】由題知=，即，即，又9==，∴=，故選C．10．（2012新課標(biāo)，理5）已知數(shù)列{}為等比數(shù)列，=2，=－8，則=．7．5．－5．－7【答案】D．【解析】∵==－8，=2，∴=4，=－2，或=－2，=4，當(dāng)=4，=－2時，=－，==-7，當(dāng)=－2，=4時，=－2，==－7，故選D．11．（2013大綱）已知數(shù)列滿足，則的前10項(xiàng)和等于A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴是等比數(shù)列，又，∴，∴，故選C．12．(2018北京)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．【答案】D【解析】從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于，第一個單音的頻率為，由等比數(shù)列的概念可知，這十三個單音的頻率構(gòu)成一個首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，記為，則第八個單音頻率為，故選D．13．(2018浙江)已知，，，成等比數(shù)列，且．若，則A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】因?yàn)?)，所以，所以，又，所以等比數(shù)列的公比．若，則，而，所以，與矛盾，所以，所以，，所以，，故選B．14．（2014重慶）對任意等比數(shù)列，下列說法一定正確的是A．成等比數(shù)列B．成等比數(shù)列C．成等比數(shù)列D．成等比數(shù)列【答案】D【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，，因此一定成等比數(shù)列．15．（2012北京）已知為等比數(shù)列．下面結(jié)論中正確的是A．B．C．若，則D．若，則【答案】B【解析】取特殊值可排除A、C、D，由均值不等式可得．16．（2011遼寧）若等比數(shù)列滿足，則公比為A．2B．4C．8D．16【答案】B【解析】由，得，兩式相除得，∴，∵，可知公比為正數(shù)，∴．17．（2019?新課標(biāo)Ⅰ，理14）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則．【答案】【解析】在等比數(shù)列中，由，得，即，，則．18．（2019?新課標(biāo)Ⅰ，文14）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則．【答案】【解析】等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，，整理可得，，解可得，，則．19．（2015新課標(biāo)Ⅰ，文13）數(shù)列中為的前n項(xiàng)和，若，則．【答案】6【解析】∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴，∴n=6．．20．（2017?新課標(biāo)Ⅲ，理14）設(shè)等比數(shù)列滿足，，則．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，，解得，，則．21．(2012新課標(biāo)，文14)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3+3S2=0，則公比=_______【答案】-2【解析】當(dāng)=1時，=，=，由S3+3S2=0得，=0，∴=0與{}是等比數(shù)列矛盾，故≠1，由S3+3S2=0得，，解得=－2．22．（2017江蘇）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)的和為，已知，，則=．【答案】32【解析】設(shè)的公比為，由題意，由，所以，由，得，所以．23．（2017北京）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則=_____．【答案】1【解析】設(shè)的公差為，的公比為，由題意，所以，，所以．24．（2016年浙江）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，，則=，=．【答案】．【解析】由于，解得，由，所以，所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以．25．（2015安徽）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于．【答案】【解析】由題意，，解得或，而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，所以，因而數(shù)列的前項(xiàng)和．26．（2014廣東）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則________．【答案】5【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，于是，由得，故，則．27．（2014廣東）若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則．【答案】50【解析】因是等比數(shù)列，∴，由得∴，∴=50．28．（2014江蘇）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的值是．【答案】4【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，．則，即為，解得（負(fù)值舍去），又，所以．29．（2013廣東）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則．【答案】15【解析】，∴15．30．（2013北京）若等比數(shù)列滿足=20，=40，則公比q=；前n項(xiàng)和=．【答案】【解析】由=得；=20，得；∴．31．（2013江蘇）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．則滿足的最大正整數(shù)的值為．【答案】12【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為q，則：，得：＝，q＝2，．記，．，則，化簡得：，當(dāng)時，．當(dāng)n＝12時，，當(dāng)n＝13時，，故．32．（2012江西）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比不為1．若，且對任意的都有，則=_________________．【答案】11【解析】由，可得，由可知，求得公比，可得=11．33．（2012遼寧）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，若，且，則數(shù)列的公比．【答案】2【解析】因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且．34．（2012浙江）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則．【答案】【解析】依題意可得，兩式相減可得，即，解得（舍）或或．因?yàn)椋裕?5．（2011北京）在等比數(shù)列中，，，則公比=______________；____________．【答案】2【解析】得，解得，．36．（2017?新課標(biāo)Ⅱ，文17）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，，，，可得，，解得，或，（舍去），則的通項(xiàng)公式為，；（2），，可得，解得或，當(dāng)時，，，，；當(dāng)時，，，，．37．（2018?新課標(biāo)Ⅰ，文17）已知數(shù)列滿足，，設(shè)．（1）求，，；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明文由；（3）求的通項(xiàng)公式．【解析】（1）數(shù)列滿足，，則：（常數(shù)），由于，故：，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．整文得：，所以：，，．（2）數(shù)列是為等比數(shù)列，由于（常數(shù)）；（3）由（1）得：，根據(jù)，所以：．38．（2018?新課標(biāo)Ⅲ，理文17）等比數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．【解析】（1）等比數(shù)列中，，．，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，的通項(xiàng)公式為，，或．（2）記為的前項(xiàng)和．當(dāng)，時，，由，得，，無解；當(dāng)，時，，由，得，，解得．39．（2014新課標(biāo)Ⅱ，理17）已知數(shù)列滿足=1，．（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：．【解析】（Ⅰ）∵，∴，即：又，∴是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．∴，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴∴故：40．(2013天津)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)證明．【解析】(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，即，可得，于是．又，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(Ⅱ)，當(dāng)為奇數(shù)時，隨的增大而減小，所以．當(dāng)為偶數(shù)時，隨的增大而減小，所以．故對于，有．41．（2011江西）已知兩個等比數(shù)列，滿足．（Ⅰ）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ

）若數(shù)列唯一，求的值．【解析】（Ⅰ）設(shè)的公比為，則由成等比數(shù)列得即所以的通項(xiàng)公式為（Ⅱ

）設(shè)的公比為，則由得由，故方程（*）有兩個不同的實(shí)根由唯一，知方程（*）必有一根為0，代入（*）得42．（2013湖北）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，成等差數(shù)列，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；若不存在，說明理由．【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，則，．由題意得即解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）有．若存在，使得，則，即當(dāng)為偶數(shù)時，，上式不成立；當(dāng)為奇數(shù)時，，即，則．綜上，存在符合條件的正整數(shù)，且所有這樣的n的集合為．考點(diǎn)60等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題1．（2020江蘇11）設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，已知的前項(xiàng)和，則的值是________．【答案】【解析】∵的前項(xiàng)和，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，從而有．2．（2016課標(biāo)卷1，理15）設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．【答案】64【解析】由5=，解得=，所以，解得=8，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，因?yàn)椋?，?dāng)或4時，表達(dá)式取得最大值：．3．（2013重慶）已知是等差數(shù)列，，公差，為其前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則．【答案】64【解析】由且成等比數(shù)列，得，解得，故．4．（2011江蘇）設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則的最小值是________．【答案】【解析】設(shè)，則，由于，所以，故的最小值是．5．（2017?新課標(biāo)Ⅰ，文17）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并判斷，，是否成等差數(shù)列．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，則，則，，由，，整理得：，解得：，則，，的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知：，則，，由，，，，即，，，成等差數(shù)列．6．（2019?新課標(biāo)Ⅱ，理19）已知數(shù)列和滿足，，，．（1）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（2）求和的通項(xiàng)公式．【解析】（1）證明：，；，；即，；又，，是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；（2）由（1）可得：，；，．7．（2019?新課標(biāo)Ⅱ，文18）已知的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，即，解得（舍或．；（2），，，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和．8．（2016?新課標(biāo)Ⅰ，文17）已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求的前項(xiàng)和．【解析】（Ⅰ）．當(dāng)時，．，，，又是公差為3的等差數(shù)列，，（Ⅱ）由知：．即．即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，的前項(xiàng)和．9．（2011課標(biāo)，文17）已知等比數(shù)列{}中，=，公比=．（Ⅰ）為{}的前項(xiàng)和，證明：=；（Ⅱ）設(shè)=，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?==（Ⅱ） 所以的通項(xiàng)公式為10．（2018天津）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為()；是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為()．已知，，，．(1)求和；(2)若，求正整數(shù)的值．【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，可得．因?yàn)?，可得，故．所以．設(shè)等差數(shù)列的公差為．由，可得．由，可得從而，故，所以．(2)由(1)