1-2外接球-高中數(shù)學資料

學習數(shù)學領(lǐng)悟數(shù)學秒殺數(shù)學第一章立體幾何專題2多面體的外接球秒殺秘籍：第一講長方體切割體的外接球設(shè)長方體相鄰的三條邊棱長分別為，，．圖1墻角體圖1鱉臑圖3挖墻角體圖4對角線相等的四面體圖1與圖2有重垂線，三視圖都是三個直角三角形，圖3無重垂線，俯視圖是一矩形，AC為虛線，主視圖和左視圖為直角三角形．圖4中，,．【例1】在球面上有四個點、、、.如果、、兩兩互相垂直，且,則這個球的表面積是．【解析】根據(jù)題意可得，位于一個棱長為a的正方體上，所以球為正方體的外接球，，故這個球的表面積為．【例2】在三棱錐中，側(cè)棱、、兩兩垂直，、、的面積分別為、、，則三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．【解析】因為，，，故選A．【例3】如圖所示，已知球的面上有四點、、、，,則球的體積等于．【解析】易知、、位于一個正方體上，故球半徑為，．【例4】四面體中，，，，則四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【解析】由題四面體是分別以，，為長且側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，從而可得到一個長、寬、，∴，∴球的表面積為．故選A．基礎(chǔ)自測1．三棱錐中，平面，，，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．已知三棱錐的頂點都在球的表面上，若，，兩兩互相垂直，且，則球的體積為（）A． B． C． D．4．《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知三棱錐的各頂點都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為，，，，則此球的表面積等于（）A． B． C． D．6．已知三棱錐的各頂點都在一個半徑為的球面上，且，，則球的表面積為（）A． B． C． D．7．三棱錐的四個頂點都在球的球面上，已知，，兩兩垂直，，，當三棱錐的體積最大時，球的體積為（）A． B． C． D．8．如圖所示，平面四邊形中，，，，將其沿對角線折成四面體，使平面⊥平面，若四面體的頂點在同一個球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．秒殺秘籍：第二講三棱柱的切割體的外接球圖1立著放的模型圖2躺著放的模型圖1：立著放的模型一定有重垂線，且重垂線在底面的射影一定位于底面三個頂點中的一個，底面三角形非直角三角形，將重垂線長度設(shè)為，底面三角形外接圓半徑設(shè)為，可以求出，則；圖2：躺著放的模型，底面是直角三角形或者矩形，側(cè)面非直角三角形，底面一條棱垂直于側(cè)面，．【例5】如圖，三棱錐的所有頂點都在一個球面上，在中，，，，，，則該球的體積為．【解析】此圖可以理解為躺著的三棱柱，以所在平面為底面，則由正弦定理得截面圓的半徑為，依題意得平面，故，則球的半徑為，所以球的體積為．【例6】已知如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【解析】此圖可以理解為立著的三棱柱，底面為一等腰直角三角形，則由正弦定理得截面圓的半徑為依題意得，則球的半徑為所以球的體積為．9．如圖是某幾何體的三視圖，正視圖是等邊三角形，側(cè)視圖和俯視圖為直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．11．四面體的四個頂點都在球的表面上，平面，三角形是邊長為的等邊三角形，若，則球的表面積為（）A． B． C． D．第9題圖第10題圖第12題圖第13題圖12．已知一個三棱錐的三視圖如下圖所示，其中俯視圖是頂角為的等腰三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．13．如圖，某三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是直角三角形、等腰三角形和等邊三角形，若該三棱錐的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．14．已知，，，是同一球面上的四個點，其中是正三角形，平面，，則該球的體積為（）A． B． C． D．秒殺秘籍：第三講切瓜模型（兩個平面互相垂直，最大高和最小高問題）圖1圖2底面固定，在球面上運動，最值問題圖1：由圖可知，小圓直徑長可以求出，平面必在大圓上，由，解出．圖2：先根據(jù)求出底面圓的直徑，再根據(jù)幾何性質(zhì)求出球大圓的直徑，最后根據(jù)垂徑定理算出到底面距離的最大值和最小值．雙半徑單交線公式：注意：常見的切瓜模型中，一旦出現(xiàn)或時，則或．此公式參考王文勇老師的《大招秒殺秘籍》一書，在此向努力教研的勇哥致敬！雙半徑單交線公式適合所有的直二面角模型，兩個半平面的外接圓半徑分別為和，兩半平面交線長度為，此公式屬于一種開掛般的存在，在前面的直三棱柱切割體模型當中也可以使用，一旦兩個半平面的二面角不是時，此公式將不再適用．【例7】某幾何體的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為（）A． B． C． D．【解析】法一：由已知中的三視圖可得：該幾何底是一個以俯視圖為底面的三棱錐，底面兩直角邊長分別為2，，故斜邊長為，過斜邊的側(cè)面與底面垂直，且高為3的等腰三角形，設(shè)其外接球的半徑為R，則解得：，故它的外接球表面積，故選B．法二：兩垂直平面用雙半徑單交線公式，由于底面的外接圓半徑為，與其垂直的面是一個等邊三角形，其外接圓半徑為，交線,故，故選B．【例8】已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的半徑為（）A． B． C． D．【解析】如圖所示，由，，可得∴，∴，設(shè)的外接圓的半徑為，則．當平面時，該三棱錐取得體積的最大值為，符合切瓜模型，滿足球頂高最大原理，由，解得．設(shè)三棱錐的外接球的球心為，，解得．故選B．15．矩形中，，，沿將矩形折起，使面⊥面，則四面體的外接球的體積為（）A． B． C． D．16．點，，，在同一個球面上，，，若球的表面積為，則四面體體積最大值為（）A． B． C． D．17．在四面體中，，，，平面平面，則該四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．18．如圖所示的三棱錐的四個頂點均在球的球面上，和所在平面相互垂直，，，，則球的表面積為（）A． B． C． D．第4題圖第5題圖19．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則該幾何體的外接球的體積為（）A． B． C． D．秒殺秘籍：第四講全等三角形折疊模型題設(shè)：兩個全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折疊，設(shè)折疊的二面角,如圖，作左圖的二面角剖面圖如右圖：和分別為外心，，，，故．凡是有二面角的四面體，一定要找到二面角的平面角，將其作剖面圖，對剖面圖進行分析時，利用圓內(nèi)接四邊形和三角形性質(zhì)，可以求出外接球半徑，特殊情況要用進行處理．【例9】已知菱形中，，，對角線與的交點為，把菱形沿對角線折起，使得，則折得的幾何體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【解析】法一：菱形中，，，三角形的外接圓的半徑為，高，對角線與的交點為，使得，則折得的幾何體的外接球的半徑為：，外接球的表面積為，故選A．法二：直二面角符合雙半徑單交線模型，，且，則一定有，故選A．【例10】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【解析】取中點，∵，∴，，，∴面⊥面，設(shè)的外心為，外接圓半徑為，三棱錐的外接球的球心為，則⊥面，，由，，設(shè)(二面角平面角)，外接球的半徑為，∴則三棱錐的外接球的表面積為，故選D．【例11】在邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體，則此四面體的外接球表面積為．【解析】如圖所示，典型的全等等腰三角形共底邊：，可根據(jù)幾何性質(zhì)知道,，，也可以不用畫圖直接一波流公式帶走，．秒殺秘籍：第五講等腰三角形底邊與一直角三角形斜邊構(gòu)成二面角的四面體凡是遇到直角三角形，通常要轉(zhuǎn)換直角頂點，因為直徑所對的圓周角為直角，故可將直角頂點轉(zhuǎn)換為共斜邊的直角三角形直角頂點，如下圖左：以斜邊為交線與其它平面形成的二面角可以轉(zhuǎn)換為平面與其它平面構(gòu)成的二面角．如上圖中，為等腰三角形，且，是以為斜邊的，二面角為，令的外接圓半徑為，邊上的高為，，為的外心，則根據(jù)剖面圖可知，外接球半徑滿足以下恒等式．【例12】在四面體中，，，為等邊三角形，二面角的余弦值為，則四面體的外接球表面積為．【解析】如圖所示，作出剖面：，,直接刷公式一波流帶走，．秒殺秘籍：第六講剖面圖轉(zhuǎn)化定理：剖面圖一致的外接球一定一致兩個等腰三角形（不全等）共底邊的二面角，或等腰三角形底邊與直角三角形直角邊為公共邊構(gòu)成的二面角模型如圖6：設(shè)二面角，，，外接圓半徑，外接圓半徑，延長交球于,交球于，作如圖6的二面角剖面圖如圖7所示，根據(jù)相交弦定理可知，若或者，則和全等等腰三角形共底邊完全一樣，利用公式秒殺．（備注：若，則，若，則）如圖8：為的斜邊，設(shè)二面角，，，外接圓的半徑為，外接圓的半徑為，，延長交球于，交球于，作如圖8的二面角剖面圖如圖9所示，根據(jù)相交弦定理可知，若或者，利用公式秒殺．【例13】（2018?全國四模）已知三棱錐所有頂點都在球的球面上，為邊長為的正三角形，是以為斜邊的直角三角形，且，二面角為，則球的表面積（）A． B． C． D．【解析】如圖所示，，故此題符合模型四，，，，故選B．【例14】（2018?全國一模）如圖，虛線小方格是邊長為1的正方形，粗實（虛）線為某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【解析】由題知，故，故選D．【例15】（2018?長郡期末）四面體中，，，．則此四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【解析】由題知，,作圖如下：法一：根據(jù)相交弦定理，由于△為等邊三角形，根據(jù)其外接圓知識可知，故可得，故選A．法二：雙半徑單交線公式，△中，，△中，，，，．秒殺秘籍：第七講含二面角的外接球終極公式雙距離單交線公式：如右圖，若空間四邊形中，二面角的平面角大小為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，為公共弦中點，則，，，，，由于四點共圓，且，根據(jù)余弦定理，．注意：此公式最好配合剖面圖，需要求出兩個半平面的外接圓半徑，和外接圓圓心到公共弦的距離，通常是，剖面圖能很快判斷出兩條相等弦的優(yōu)先使用公式．下面以此公式來解答一下前面出現(xiàn)的例題：【例12】在四面體中，，，為等邊三角形，二面角的余弦值為，則四面體的外接球表面積為．【解析】，，，，，．【例13】（2018?全國四模）已知三棱錐所有頂點都在球的球面上，為邊長為的正三角形，是以為斜邊的直角三角形，且，二面角為，則球的表面積為（）A． B． C． D．【解析】，，，，所以，，選B．【例14】（2018?全國一模）如圖，虛線小方格是邊長為1的正方形，粗實（虛）線為某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【解析】，，，，在中，，，，故，故，故選D．達標訓練1．（2019?潮州二模）如圖，四棱錐中，正方形的邊長為2，為為直角頂點的等腰三角形，平面平面，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．第1題圖第5題圖2．（2019?安徽模擬）在三棱錐中，已知，三角形是邊長為的正三角形，則三棱錐的外接球的最小表面積為（）A． B． C． D．3．（2019?成都模擬）三棱柱中，棱，，兩兩垂直，，且三棱柱的側(cè)面積為，若該三棱柱的頂點都在同一個球的表面上，則球表面積的最小值為（）A． B． C． D．4．（2019?河北二模）已知四面體的四個面都為直角三角形，且平面，，若該四面體的四個頂點都在球的表面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．5．（2019?莆田二模）如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，，，，，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．（2019?南關(guān)月考）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．（2019?武侯模擬）在梯形中，，，，，將梯形沿對角線折疊成三棱錐，當二面角是直二面角時，三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．（2019?深圳模擬）如右圖所示，，均垂直于平面和平面，，，則多面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．（2018?金牛模擬）已知四邊形是邊長為2的菱形，，沿對角線將折