數(shù)學(xué)破題36計-高中數(shù)學(xué)資料

PAGEPAGE89數(shù)學(xué)破題36計第1計芝麻開門點到成功數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義七品芝麻官，說的是這個官很小，就是芝麻那么小的一點.《阿里巴巴》用“芝麻開門”，講的是“以小見大”.就是那點芝麻，竟把那個龐然大門給“點”開了.數(shù)學(xué)中，以點成線、以點帶面、兩線交點、三線共點、還有頂點、焦點、極限點等等，這些足以說明“點”的重要性.因此，以點破題，點到成功就成了自然之中、情理之中的事了.●典例示范［例題］（2006年鄂卷第15題）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個如下圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱來萊布尼茨三角形.從萊布尼茨三角形可以看出，其中.令，則.［分析］一看此題，圖文并舉，篇幅很大，還有省略號省去的有無窮之多，真乃是個龐然大物.從何處破門呢？我們?nèi)匀辉凇包c”上打主意.萊布三角形，它雖然沒有底邊，但有個頂點，我們就打這個頂點的主意.［解Ⅰ］將等式與右邊的頂點三角形對應(yīng)（圖右），自然有對此，心算可以得到：n=1，r=0，x=1對一般情況講，就是x=r+1這就是本題第1空的答案.［插語］本題是填空題，只要結(jié)果，不講道理.因此沒有必要就一般情況進行解析，而是以點帶面，點到成功.要點明的是，這個頂點也可以不選大三角形的頂點.因為三角形中任一個數(shù)，都等于對應(yīng)的“腳下”兩數(shù)之和，所以選擇任何一個“一頭兩腳”式的小三角形，都能解出x=r+1.第2道填空，仍考慮以點帶面，先抓無窮數(shù)列的首項.［解Ⅱ］在三角形中先找到了數(shù)列首項，并將和數(shù)列中的各項依次“以點連線”（圖右實線），實線所串各數(shù)之和就是an.這個an，就等于首項左上角的那個.因為在向下一分為二進行依次列項時，我們總是“取右舍左”，而舍去的各項（虛線所串）所成數(shù)列的極限是0.因此得到這就是本題第2空的答案.［點評］解題的關(guān)鍵是“以點破門”，這里的點是一個具體的數(shù)，采用的方法是以點串線——三角形中的實線，實線上端折線所對的那個數(shù)就是問題的答案.事實上，三角形中的任何一個數(shù)（點）都有這個性質(zhì).例如從這個數(shù)開始，向左下連線（無窮射線），所連各數(shù)之和（的極限）就是這個數(shù)的左上角的那個數(shù).用等式表示就是［鏈接］本題型為填空題，若改編成解答題，那就不是只有4分的小題，而是一個10分以上的大題.有關(guān)解答附錄如下.［法1］由知，可用合項的辦法，將的和式逐步合項.［法2］第二問實質(zhì)上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)的和，即根據(jù)第一問所推出的結(jié)論只需在原式基礎(chǔ)上增加一項，則由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，結(jié)合給出的數(shù)表可逐次向上求和為，故，從而［法3］（2）將代入條件式，并變形得取令得，………以上諸式兩邊分別相加，得［說明］以上三法，都是對解答題而言.如果用在以上填空題中，則是殺雞動用了牛刀.為此我們認識到“芝麻開門，點到成功”在使用對象上的真正意義.●對應(yīng)訓(xùn)練1．如圖把橢圓的長軸AB分成8份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P7七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.2．如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點，且A1P=CQ，則四棱錐B1—A1PQC1的體積與多面體ABC—PB1Q的體積比值為.●參考解答1．找“點”——橢圓的另一個焦點F2.連接P1F2、P2F2、…、P7F2，由橢圓的定義FP5+P5F2=2a=10如此類推FP1+P1F2=FP2+P2F2=…=FP7+P7F2=7×10=70由橢圓的對稱性可知，本題的答案是70的一半即35.2．找“點”——動點P、Q的極限點.如圖所示，令A(yù)1P=CQ=0.即動點P與A1重合，動點Q與C重合.則多面體蛻變?yōu)樗睦忮FC—AA1B1B，四棱錐蛻化為三棱錐C—A1B1C1.顯然V棱柱.∴∶=于是奇兵天降——答案為.［點評］“點到成功”的點，都是非一般的特殊點，它能以點帶面，揭示整體，制約全局.這些特殊點，在沒被認識之前，往往是人們的盲點，只是在經(jīng)過點示之后成為亮點的.這個“點”字，既是名詞，又是動詞，是“點亮”和“亮點”的合一.數(shù)學(xué)破題36計第2計西瓜開門滾到成功數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義比起“芝麻”來，“西瓜”則不是一個“點”，而一個球.因為它能夠“滾”，所以靠“滾到成功”.球能不斷地變換碰撞面，在滾動中能選出有效的“觸面”.數(shù)學(xué)命題是二維的.一是知識內(nèi)容，二是思想方法.基本的數(shù)學(xué)思想并不多，只有五種：①函數(shù)方程思想，②數(shù)形結(jié)合思想，③劃分討論思想，④等價交換思想，⑤特殊一般思想.數(shù)學(xué)破題，不妨將這五種思想“滾動”一遍，總有一種思想方法能與題目對上號.●典例示范［題1］（2006年贛卷第5題）對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x－1）f（x）0，則必有A.f（0）＋f（2）<2f（1）B.f（0）＋f（2）≤2f（1）C.f（0）＋f（2）≥2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）［分析］用五種數(shù)學(xué)思想進行“滾動”，最容易找到感覺應(yīng)是③：分類討論思想.這點在已條件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得極為顯目.其一，對f＇(x)有大于、等于和小于0三種情況；其二，對x-1，也有大于、等于、小于0三種情況.因此，本題破門，首先想到的是劃分討論.［解一］（i）若f＇(x)≡0時，則f(x)為常數(shù)：此時選項B、C符合條件.（ii）若f＇(x)不恒為0時.則f＇(x)≥0時有x≥1，f（x）在上為增函數(shù)；f＇(x)≤0時x≤1.即f（x）在上為減函數(shù).此時，選項C、D符合條件.綜合（i），（ii），本題的正確答案為C.［插語］考場上多見的錯誤是選D.忽略了f＇(x)≡0的可能.以為（x-1）f＇(x)≥0中等號成立的條件只是x-1=0，其實x-1=0與f＇(x)=0的意義是不同的：前者只涉x的一個值，即x=1，而后是對x的所有可取值，有f＇(x)≡0.［再析］本題f（x）是種抽象函數(shù)，或者說是滿足本題條件的一類函數(shù)的集合.而選擇支中，又是一些具體的函數(shù)值f（0），f（1），f（2）.因此容易使人聯(lián)想到數(shù)學(xué)⑤：一般特殊思想.［解二］（i）若f＇(x)=0，可設(shè)f（x）=１.選項Ｂ、Ｃ符合條件.（ii）f＇(x)≠0.可設(shè)f(x)=（x-1）2又f＇(x)=2（x-1）.滿足(x-1)f＇(x)=2(x-1)2≥0，而對f(x)=(x-1)2.有f（0）=f（2）=1，f（1）=0選項C，D符合條件.綜合（i），（ii）答案為C.［插語］在這類f(x)的函數(shù)中，我們找到了簡單的特殊函數(shù)(x-1)2.如果在同類中找到了(x-1)4，(x-1)，自然要麻煩些.由此看到，特殊化就是簡單化.［再析］本題以函數(shù)（及導(dǎo)數(shù)）為載體.數(shù)學(xué)思想①——“函數(shù)方程（不等式）思想”.貫穿始終，如由f（x）=0找最值點x=0，由f（x）>0（<0）找單調(diào)區(qū)間，最后的問題是函數(shù)比大小的問題.由于函數(shù)與圖象相聯(lián)，因此數(shù)形結(jié)合思想也容易想到.［解三］（i）若f(0)=f(1)=f(2)，即選B，C，則常數(shù)f(x)=1符合條件.（右圖水平直線）（ii）若f(0)=f(2)<f(1)對應(yīng)選項A.（右圖上拱曲線），但不滿足條件(x-1)f（x）≥0若f(0)=f(2)>f(1)對應(yīng)選項C，D（右圖下拱曲線）.則滿足條件(x-1)f（x）≥0.［探索］本題涉及的抽象函數(shù)f(x)，沒有給出解析式，只給出了它的一個性質(zhì)：(x-1)f（x）≥0，并由此可以判定f(0)+f(2)≥f(1).自然，有這種性質(zhì)的具體函數(shù)是很多的，我們希望再找到一些這樣的函數(shù).［變題］以下函數(shù)f(x)，具有性質(zhì)(x-1)f（x）≥0從而有f(0)+f(2)≥2f(1)的函數(shù)是A.f（x）=(x-1)3B.f（x）=(x-1)C.f（x）=(x-1)D.f（x）=(x-1)［解析］對A，f(0)=-1，f(2)=1，f(1)=0，不符合要求；對B，f(0)無意義；對C，f(0)=-1，f(2)=1，f(1)=0，不符合要求；答案只能是D.對D，f(0)=1，f(1)=0，f(2)=1.且f（x）=(x-1)使得(x-1)f＇(x)=(x-1)(x-1)≥0.［說明］以x=1為對稱軸、開口向上的函數(shù)都屬這類抽象函數(shù).如f（x）=(x-1)，其中m，n都是正整數(shù)，且n≥m.［點評］解決抽象函數(shù)的辦法，切忌“一般解決”，只須按給定的具體性質(zhì)“就事論事”，抽象函數(shù)具體化，這是“一般特殊思想”在解題中具體應(yīng)用.［題2］已知實數(shù)x，y滿足等式，試求分式的最值。［分析］“最值”涉及函數(shù)，“等式”連接方程，函數(shù)方程思想最易想到.［解一］（函數(shù)方程思想運用）令y=k(x-5)與方程聯(lián)立消y，得：根據(jù)x的范圍應(yīng)用根的分布得不等式組：解得即≤≤即所求的最小值為，最大值為.［插語］解出≤≤，談何易！十人九錯，早就應(yīng)該“滾開”，用別的思想方法試試.［解二］（數(shù)形結(jié)合思想運用）由得橢圓方程，0看成是過橢圓上的點（x，y），(5，0)的直0線斜率（圖右）.聯(lián)立得令得，故的最小值為，最大值為.［插語］這就是“滾動”的好處，解二比解一容易多了.因此，滾動開門，不僅要善于“滾到”，還要善于“滾開”.［點評］“西瓜開門”把運動學(xué)帶進了考場解題.滾動能克服解題的思維定勢.解題時，要打破思維固化，在思想方法上要“滾動”，在知識鏈接上要“滾動”，在基本技能技巧上也要“滾動”.總之，面對考題，在看法、想法和辦法上要注意“滾動”.●對應(yīng)訓(xùn)練1.若動點P的坐標(biāo)為(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差數(shù)列，則動點P的軌跡應(yīng)為圖中的()2.函數(shù)y=1-(-1≤x<0)的反函數(shù)是()A.y=-(0<x≤1)B.y=(0<x≤1)C.y=-(-1≤x<0)D.y=(-1≤x<0)3.設(shè)a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,則下列結(jié)論中正確的是()A.b2≤acB.b2>acC.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0●參考答案1.【思考】利用題設(shè)的隱含條件.由條件知x≠0,y>0且y>x.選項B中無x<0的圖像，選項D中無x>0的圖像，均應(yīng)否定；當(dāng)x=y∈R+時，lg無意義，否定A,選C．【點評】上面的解法中條件與選項一并使用，滾滾碰碰中終于找到了正確的選項.本題的常規(guī)解法是：當(dāng)x≠0且y>x時，由lgy+lg=2lg|x|，化簡可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).2.【思考】分析各選項，僅解析式符號有區(qū)別.定義域中等號的位置有區(qū)別，所以擬從這兩方面滾動著手排除錯誤的選項.原函數(shù)定義域為-1≤x<0，∴其反函數(shù)值域為-1≤y<0，排除B、D.∵原函數(shù)中f(-1)=1,∴反函數(shù)中f-1(1)=-1,即x=1時f-1(x)有定義,排除C,∴選A．3.解析一分析四個選擇支之間的邏輯關(guān)系知,若C真,則B也真;若D真,則B也真,故C、D皆假.取符合條件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的實數(shù)a=0,b=-1,c=0檢驗知選B.解析二由選擇支,聯(lián)想到二次函數(shù)的判別式.令f(x)=ax2+2bx+c,則f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故選B.【點評】在解題時易受題設(shè)條件的干擾,企圖從已知不等式出發(fā):4b<4a+c,①2b<-a-c,②①×②不等號的方向無法確定,思維受阻.用邏輯分析法和特殊值檢驗的方法兩種方法滾動使用，簡便明快,如解析一.用判別式法邏輯性強但思路難尋,如解析二.一般在做題時,為了使選擇題解題速度變快,推薦學(xué)生使用解析一.數(shù)學(xué)破題36計第3計諸葛開門扇到成功數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義諸葛亮既不會舞刀，也不會射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子.草船借箭用扇子，借東風(fēng)也是用扇子.有人把“借東風(fēng)”的意思弄膚淺了，以為東風(fēng)就是東邊來的風(fēng)，其實，這里真正所指是“東吳”的風(fēng).在赤壁大戰(zhàn)中，劉備哪是曹操的對手，后來能把曹兵打敗，借的就是東吳的力量.數(shù)學(xué)解題的高手們，都會“借力打力”，這就是數(shù)學(xué)“化歸轉(zhuǎn)換思想”的典型應(yīng)用.●典例示范［題1］已知f(x)=試求f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(6)的值.［分析］若分別求f(x)在x=-5，-4，…，0，…，6時的12個值然后相加.這不是不行，只是工作量太大，有沒有簡單的辦法？我們想“借用”等差數(shù)列求和時“倒序相加”的辦法.于是，我們關(guān)心f(x)+f(1-x)的結(jié)果.［解析］因為f(x)+f(1-x)===所以f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(6)=［（f(-5)+f(6)）+（f(-4)+f(5)）+…+（f(6)+f(-5)）］=［f(1-x)+f(x)］×6=［點評］這里，“借來”的不是等差數(shù)列本身的性質(zhì)，而是等差數(shù)列求和時曾用過的辦法——倒序相加法.●對應(yīng)訓(xùn)練1.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均為銳角)，那么cosαcosβcosγ的最大值等于.2.求已知離心率e=,過點(1,0)且與直線l:2x-y+3=0相切于點P(-),長軸平行于y軸的橢圓方程.3.若橢圓(a>0)與連結(jié)A(1,2),B(3,4)兩點的線段沒有公共點,求a的取值范圍.●參考答案1.命sin2α=sin2β=sin2γ=,則cos2α=cos2β=cos2γ=.α、β、γ為銳角時，cosα=cosβ=cosγ=.∴cosαcosβcosγ=.(注：根據(jù)解題常識，最大值應(yīng)在cosα=cosβ=cosγ時取得).2.解析按常規(guī),設(shè)橢圓中心為(x0,y0),并列出過已知點P的切線方程,聯(lián)立消參可求得橢圓方程.若借極限思想,將點橢圓視為橢圓的極限情況,則可簡化運算過程.已知e=,則a2=5b2.設(shè)長軸平行于y軸且離心率e=的橢圓系為(x+，把點P(-看做當(dāng)k→0時的極限情形(點橢圓),則與直線l:2x-y+3=0相切于該點的橢圓系即為過直線l與“點橢圓”的公共點的橢圓系方程:(x+又所求的橢圓過（1，0）點,代入求得λ=-.因此所求橢圓方程為x2+=1.點評將點橢圓視為橢圓的極限情況處理問題,減少了運算量,簡化了運算過程.3.解析若按常規(guī),需分兩種情況考慮:①A,B兩點都在橢圓外;②A,B兩點都在橢圓內(nèi).若借用補集思想則避免了分情況討論,使計算簡潔.設(shè)a的允許值的集合為全集I={a|a∈R,a>0},先求橢圓和線段AB有公共點時的取值范圍.易得線段AB的方程為y=x+1,x∈［1,3］,由方程組,x∈［1,3］,a2的值在［1,3］內(nèi)遞增,且x=1和x=3時分別得a2=或a2=,故≤a2≤.∵a>0,∴≤a≤.故當(dāng)橢圓與線段AB無公共點時,a的取值范圍為0<a<或a>.數(shù)學(xué)破題36計第4計關(guān)羽開門刀舉成功數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義關(guān)羽不同于諸葛.諸葛是智星，靠著扇子；關(guān)羽是武士，用的大刀.“過關(guān)斬將”用這大刀，“水淹七軍”用這大刀.數(shù)學(xué)上的“分析”、“分解”、“分割”等，講的都是刀工.關(guān)羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再難的數(shù)學(xué)題，經(jīng)過這七刀、八刀，最后不就粉碎了嗎！●典例示范［例1］（2006年四川卷第19題）如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點，M、N分別是AE、CD1的中點，AD=AA1=a，AB=2a.（Ⅰ）求證：MN∥面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角P—AE—D的大??；（Ⅲ）求三棱錐P—DEN的體積.［分析］這是個長方體，而“長”正好是“寬”和“高”的2倍，這正是“關(guān)羽開門”的對象：用刀從中一劈，則分成2個相等的正方體.對于正方體，我們該多么熟悉??！有關(guān)線段的長度，各線段間的位置關(guān)系，我們都了如指掌.［解Ⅰ］取D1C1的中點Q，過Q和MN作平面QRST.顯然，M、N都在這平面里.易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（證畢）.［插語］其所以這么簡單，是因為我們對正方體熟悉.正方體從何而來，感謝關(guān)羽的大刀之功.以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可轉(zhuǎn)化到正方體里進行（從略）.【例2】(04·重慶卷題21)設(shè)p>0是一常數(shù)，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）.（Ⅰ）試證：拋物線頂點在圓H的圓周上；（Ⅱ）并求圓H的面積最小時直線AB的方程.【分析】（Ⅰ）AB是圓H的直徑，欲證拋物線的頂點在圓上，有如下各種對策：（1）證|OH|=|AB|.(2)證|OA|2+|OB|2=|AB|2（3）證∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.顯然，利用向量知識證=0,當(dāng)為明智之舉.【解答】（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.顯然，滿足|OQ|=|AB|,此時Q、H重合,∴點Q在⊙H上.如直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=tanα(x-2p),x=,代入：y=tanα·-2ptanα.即tanα·y2-2py-4p2tanα=0.此方程有不同二實根y1y2,∴y1+y2=,y1y2=-4p2.∵=x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.∴,故點O仍在以AB為直徑的圓上.【分析】(Ⅱ)為使圓面積最小只須圓半徑取到最小值，為此不可避免的要給出直徑AB之長的函數(shù)表達式，直觀上我們已可推測到當(dāng)AB⊥x軸時，弦AB之長最短(這就是論證方向)，為此又有多種途徑:(1)用直線的點斜式與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用韋達定理寫出|AB|2的函數(shù)式，再用二次函數(shù)或均值不等式的知識求其最值.(2)用直線的參數(shù)方程與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，利用韋達定理寫出|AB|2=（t1-t2）2的函數(shù)表達式，再依正、余弦函數(shù)的有界性求其最值.這兩種方法各有優(yōu)長，但都須牽涉到兩個變量x,y,以下我們推薦，利用投影公式得出的|AB|函數(shù)式，只牽涉一個變量.【解答】（Ⅱ）直線AB的傾角為α,當(dāng)α=90°時，⊙H的半徑為2p,S⊙H=4πp2.當(dāng)α≠90°時，不妨設(shè)α∈［0,)，則綜上，|AB|min=4p,當(dāng)且僅當(dāng)α=90°時，（S⊙H）min=4πp2,相應(yīng)的直線AB的方程為：x=2p.別解：由（1）知恒有∠AOB=90°.∴||2=|=≥2x1x2+2p(x1+x2)≥2x1x2+4p.∵y1y2=-4p2,∴x1x2=于是||2≥16p2,||min=4p.當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=2p時，S⊙H=4πp2.【點評】斧子開門，只要你說要進去，直接在墻上打洞最直接了.●對應(yīng)訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an構(gòu)成一個數(shù)列{an},滿足f(1)=n2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式，并求之值.(2)證明0<f<1.2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿對角線BD將△ABD向上折起，使點A移到點P,并使點P在平面BCD上的射影O在DC上(如圖所示).(1)求證:PD⊥PC;(2)求二面角P—DB—C的大小.●參考答案1.分析：(1){an}的各項是f(x)展開式中各項的系數(shù)，故其各項和Sn=f(1).(2)可以預(yù)見:f展開式的各項是系數(shù)成等差，字母成等比的綜合數(shù)列，這種數(shù)列的求和方法是“錯項相減”.(3)f的解析式必含變量n,為判斷其范圍可考慮用求導(dǎo)法判斷其單調(diào)性.解答：(1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2,即Sn=n2,∴an=Sn-Sn-1=2n-1,=；(2)由(1)知an=2n-1.∴f=1×①②①-②:f====1-設(shè)g(x)=,∵g′(x)=3-x+(x+1)·3-xln3·(-1)=.∴g(x)是R+上的減函數(shù)，從而g(n)是N+上的減函數(shù)，［g(n)］max=g(1)=,又當(dāng)n→∞時,g(n)→0,∴∈,從而f∈.2.分析:圖形經(jīng)過翻折(或平移、旋轉(zhuǎn))，只是位置改變，而有關(guān)線段的長度、角度及原來的平行、垂直等關(guān)系，在位置改變前后都沒有改變，緊扣這一點，就能悟出解題門道.(1)為證PD⊥PC,須先證PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前為AD⊥AB),還須PD⊥BC.(2)求二面角的要點是找出二面角的平面角，已有PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,只須作OM⊥BD即可.解答:(1)由條件知PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂線定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,從而PD⊥PC.(2)作OM⊥BD于M，連接PM,則BD⊥PM(三垂線定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角,∵PB=6,PD=2,∴BD=4,PM==3,已證PD⊥PC,∴PC=,PO=.sin∠PMO=,∠PMO=arcsin,即所求二面角P—DB—C的大小為arcsin.數(shù)學(xué)破題36計第5計才子開門風(fēng)情萬種數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義所謂才子，就是才思繁捷的弟子.數(shù)學(xué)才子，也像畫學(xué)才子一樣，胡灑亂潑，墨皆成畫.這里，人們看到的“胡亂”只是外表.在里手看來，科學(xué)的規(guī)律，藝術(shù)的工夫，全藏肘后.別人肩上的重負，移到他的掌上，都成了玩意兒.●典例示范［引例］試比較以下三數(shù)的大小：，，［解一］建構(gòu)函數(shù)法設(shè)f(x)=f＇(x)=ln≤0f(x)為減函數(shù)>>［旁白］才子一看，發(fā)現(xiàn)是個錯解，于是有以下的評語.［評語］學(xué)了導(dǎo)數(shù)可糟糕，殺雞到處用牛刀，單調(diào)區(qū)間不清楚，亂用函數(shù)比大小.［解二］作差比較法-=<0-=>0［旁白］才子一看，答案雖是對的，但解題人有點過于得意，因此得到以下評語.［評語］解題成本你不管，別人求近你走遠，作差通分太費力，面對結(jié)果向回轉(zhuǎn).［旁白］大家聽才子這么說，紛紛要求才子本人拿出自己的解法來，于是有了以下的奇解.［奇解］×=<1×=>1>>［旁白］大家一看，十分驚喜，但對解法的來歷有點奇怪.于是才子有了如下的自評.［自評］標(biāo)新本來在立意，別人作商我作積，結(jié)果可由心算出，不用花費紙和筆.［旁白］這時，上面那位提供解法一的人有點不服氣：難道“求導(dǎo)法”就不能解出此題嗎？才子回答：當(dāng)然能！不過需要“統(tǒng)一單調(diào)區(qū)間”，請看下解［正解］f(x)=f＇(x)=ln<0(x≥3)>>>>［旁白］大家一看，齊聲說妙，要求才子再評說一下.于是又有了下面的奇文.［評語］因為數(shù)3比e大，單調(diào)區(qū)間從3劃，數(shù)4也在本區(qū)間，故把數(shù)2搬個家.【例1】已知向量a=(，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且a·b=，則b=()A．(，)B．(,)C.()D．（1，0）【特解】由|b|=1，排除C；又b與x軸不平行，排除D；易知b與a不平行，排除A.答案只能為B.【評說】本解看似簡單，但想時不易，要看出向量b與A()是平行向量，一般考生不能做到.【別解】因為b是不平行于x軸的單位向量，可排除C、D兩項.又a·b=,將A代入不滿足題意,所以答案只能為B.【評說】本題通過三次篩選才得出正確答案,思維量很大,到A、B選項時還需動手計算，真是淘盡黃沙始是金??！【另解】設(shè)b=(cosα,sinα),則a·b=(,1)·(cosα,sinα)=cosα+sinα=sin(60°+α)=在區(qū)間（0，π）上解α得：α=60°.故b=().【評說】本題涉及解三角方程，并確定解答區(qū)間，這不是一個小題的份量.【錯解】選A者,誤在(a，選C者,誤在|（）·a|=1.選D者，沒有考慮到（1，0）與x軸平行.【評說】本題三個假支的設(shè)計，其質(zhì)量很高，各有各的錯因，相信各有各的“選擇人”.●對應(yīng)訓(xùn)練1.若奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),又f(-3)=0,則{x|x·f(x)<0}等于（）A.{x|x>3或-3<x<0}B.{x|0<x<3或x<-3}C.{x|x>3或x<-3}D.{x|0<x<3或-3<x<0}2.某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，又工程丁必須在工程丙完成后立即進行，那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)是.(用數(shù)字作答)●參考答案1.分析由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性概念入手，結(jié)合其草圖即可寫出所求答案.解析一由f(x)為奇函數(shù)且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),據(jù)上述條件作出滿足題意的y=f(x)草圖(如圖（1）),在圖中找出f(x)與x異號的部分,可以看出x·f(x)<0的解集為{x|0<x<3或-3<x<0},選D.(1)(2)解析二由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),∴作出y=f(x)(x>0)的草圖(如圖（2）),∵x、f(x)均為R上的奇函數(shù),∴x·f(x)為偶函數(shù),∴不等式x·f(x)<0的解集關(guān)于原點對稱,故先解借助圖象得0<x<3,由對稱性得x·f(x)<0的解集為{x|0<x<3或-3<x<0},故選D.解析三借助圖（1）或圖（2）,取特殊值x=2,知適合不等式x·f(x)<0,排除A、C;又奇·奇=偶,∴x·f(x)為偶函數(shù),解集關(guān)于原點對稱,又可排除B,故選D.【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的有關(guān)內(nèi)容.正確理解,掌握相關(guān)性質(zhì),是解題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.在選擇題中,如果出現(xiàn)抽象函數(shù),一般用特殊值法會比較快捷,如解析三,判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法,如果掌握了一些基本規(guī)律,可簡化解題過程,如解析二.奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)·奇(偶)=偶.數(shù)形結(jié)合是解題的常用技巧,對于某些題目,做題時無需精確作圖,只要勾畫出圖象的大體結(jié)構(gòu),作出草圖即可.2.【分析】排列組合解應(yīng)用題.6個元素作有限制的排列,其中4個元素有先后順序.并且C，D捆綁之后成為一個元素.問題有一定的難度.加法原理和乘法原理都能考慮.【通解】考查有條件限制的排列問題，其中要求部分元素間的相對順序確定：據(jù)題意由于丁必須在丙完成后立即進行，故可把兩個視為一個大元素，先不管其它的限制條件，使其與其他四人進行排列共有A種排法，在所有的這些排法中，甲、乙、丙相對順序共有A種，故滿足條件的排法種數(shù)共有=20.【正解】5個元素設(shè)作A,B,（C,D）,x,y.將排列種數(shù)分兩類:第一類,x,y相連,在A,B,（C,D）之間或兩頭插位,有2C=8種方法.第二類,x,y不連,在A,B,（C,D）之間或兩頭插位,有2C=12種方法.【評說】先分類:“相連”與“不連”為完全劃分；后分步：第1步組合，第2步排列，也是完全劃分.【另解】5個元素設(shè)作A，B，（C，D），x,y.五個時位設(shè)作a,b,(c,d),e,f.第1步考慮元素x到位，有5種可能；第2步考慮元素y到位，有4種可能；第3步，A，B，（C，D）按順序到位，只1種可能.由乘法原理，方法總數(shù)為5×4=20種.【評說】“另解”比“正解”簡便，但思維要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3個位置上，A，B，（C，D）按序到位情況只1種.——這點，一般學(xué)生不易想通.【別解】設(shè)所求的排法總數(shù)為x種，在每1個排好的隊列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，則有xP3=P5x==5×4=20.【評說】別解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.數(shù)學(xué)破題36計第6計勇士開門手腳咚咚數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義一個婦女立在衙門前的大鼓旁邊，在哭.一勇士過來問其故.婦女說：“我敲鼓半天了，衙門還不開.”勇士說：“你太斯文，這么秀氣的鼓捶，能敲出多大聲音？你看我的！”說完，勇士撲向大鼓，拳打腳踢.一會兒，果然衙門大開，衙役們高呼：“有人擊鼓，請老爺升堂！”考場解題，何嘗不是如此：面對考題，特別是難題，斯文不得，秀氣不得，三教九流，不拘一格.唯分是圖，雅的，俗的，一并上陣.●典例示范【例1】已知x,y∈,a∈R，且,則cos(x+2y)的值為()A.0B.1C.2D.3【思考】代數(shù)方程中滲入了三角函數(shù)，不可能用初等方法“正規(guī)”地求出它的解.但兩個方程有較多的形似之處，能否通過適當(dāng)?shù)淖冃问怪伞靶嗡啤钡健吧袼啤蹦?？解：由條件得：∴x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根.【插語】這是勇士之舉，采用手腳并用，誰會想到用方程根來解決它呢?設(shè)f(t)=t3+sint-2a.當(dāng)t∈時，均為增函數(shù)，而-2a為常數(shù).∴上的單調(diào)增函數(shù).∵f(x)=f(-2y)=0.∴只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos(x+2y)=1.選B.【點評】想到方程根使所給2個式子合二為一，是本題一個難點之一；判斷函數(shù)是單調(diào)函數(shù)又是一個難點.【例2】已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,-1)，則|2a-b|的最大值、最小值分別是()A.4,0B.4,2C.16,0D.4,0【解答】如圖，點A(cosθ,sinθ)在圓上運動時，延OA到C，使==2a,求的最值，顯然.當(dāng)與反向時有最大值4,與同向時有最小值0.∴選D.【點評】本例選自04·湖南卷6（文），解題思想很簡單，誰不知道“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”呢，例2題解圖為求極值，我們的勇士勇敢地到極地——當(dāng)△BOC不復(fù)存在時，才有可能取得.【例3】設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)【解答】設(shè)F(x)=f(x)g(x),當(dāng)x<0時，∵F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0.∴F(x)在R上為增函數(shù).∵F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)·g(x).=-F(x).故F(x)為(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù).∴F(x)在R上亦為增函數(shù).已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.構(gòu)造如圖的F（x）的圖象，可知F(x)<0的解集為x∈(-∞,-3)∪(0,3).【點評】本例選自04·湖南卷12題,是小題中的壓軸題，顯然，不懂得導(dǎo)數(shù)基本知識對待本例是無能為力的，高中例3題解圖代數(shù)在導(dǎo)數(shù)中得到升華，導(dǎo)數(shù)也是初數(shù)的“極地”.本題還構(gòu)造了圖形，使問題更有說服力.●對應(yīng)訓(xùn)練1.下列命題正確的是()A.若{an}和{bn}的極限都不存在，則{an+bn}的極值一定不存在B.若{an}和{bn}的極限都存在，則{an+bn}的極限一定存在C.若{an+bn}的極限不存在，則{an}和{bn}的極限都一定不存在D.若{an+bn}的極限存在，則{an}和{bn}的極限要么都存在，要么都不存在2.過定點M(-1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2-5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點，則k的取值范圍是（）A.0<k<B.-<k<0C.0<k<D.0<k<53.若(1-2x)9展開式的第3項為288，則的值是()A.2B.1C.D.●參考答案1.D(正反推證）若{an+bn}:1,1,1,1,…的極限存在而推出{an}:0,1,0,1,0,1…,{bn}:1,0,1,0,1,0…,極限都不存在，但若{an}:1,1,1,1…,{bn}:0,0,0,0…,極限又都存在，故D正確，同理可排除A、B、C.2.A（數(shù)形并用）如圖，以C(-2,0)為圓心，r=3為半徑的⊙C交x、y正半軸于A（1,0）,B(0,),而M(-1,0)在⊙C內(nèi)部，當(dāng)N∈時，顯然，kMN>kMA=0;kMN<kMB=.故知,k∈(0,),選A.第2題解圖3.AT3=C(-2x)2=36(2x)2=288，∴22x=8，x=,=∈(0,1).∴數(shù)列{}是首項與公比均為的無窮遞縮等比數(shù)列.原式==2.選A.數(shù)學(xué)破題36計第7計模特開門見一知眾數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義一時裝模特，在表演時，自己笑了，臺下一片喝彩聲.她自感成功，下去向老板索獎.誰知老板不僅沒獎，反而把她炒了.冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的.模特表演是不能笑的.試想，模特一笑，只能顯示模特本人的特色，誰還去看她身上的服裝呢？所以，模特一笑，特在模掉！數(shù)學(xué)的特殊性（特值）解題，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），這樣，才能做到“一點動眾”.特值一旦確定，要研究的是特值的共性.選擇題中的“特值否定”，填空題中的“特值肯定”，解答題中的“特值檢驗”，都是“一點動眾”的例子.●典例示范【例1】如果0<a<1,那么下列不等式中正確的是（）A.(1-a)>(1-a)B.log(1-a)(1+a)>0C.(1-a)3>(1+a)2D.(1-a)1+a>1【思考】本題關(guān)鍵點在a,我們一個特殊數(shù)值，作為本題的模特.令a=,各選項依次化為：（）A．B.C．D.顯然，有且僅有A是正確的，選A.【點評】本題是一個選擇題，因此可以選一個模特數(shù)代表一類數(shù)，一點動眾.你還需要講“道理”嗎？為減函數(shù)，log0,B不對；也是減函數(shù)，,D不對；直接計算，C也不對；只有A是對的.【例2】已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=f(x)恒不為零，同時滿足:f(x+y)=f(x)·f(y),且當(dāng)x>0時，f(x)>1,那么當(dāng)x<0時，一定有（）A．f(x)<-1B.-1<f(x)<0C.f(x)>1D.0<f(x)<1【思考1】本題是一個抽象函數(shù),破題之處在于取特殊函數(shù),一點動眾.設(shè)f(x)=2x,顯然滿足f(x+y)=f(x)·f(y)(即2x+y=2x·2y),且滿足x>0時，f(x)>1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x<0時，0<2x<1.即0<f(x)<1.選D.【點評】題干中的函數(shù)抽象，先選定特殊的指數(shù)函數(shù)使之具體，而指數(shù)函數(shù)無窮無盡地多，索性再特殊到底，選定最簡單且又符合題意的函數(shù)y=2x,這就是我們這題的模特,結(jié)果是輕而易舉地找出了正確答案.在考場上分分秒秒值千金，你還愿意糾纏在“為什么”上無謂地犧牲自己寶貴的時間嗎？【思考2】取特值.令x=0,y=0,有f(0)=［f(0)2(f(x)≠0),則f(0)=1,f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x),即,當(dāng)x<0時，-x>0.由條件：f(-x)>1,故x<0時,0<f(x)<1.【例3】若A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角，且A<B<C（C≠),則下列結(jié)論中正確的是（）A.sinA<sinCB.cosA<cosCC.tanA<tanCD.cotA<cotC【思考】本題的模特是取特殊角.令A(yù)=30°,B=45°,C=105°,則cosC<0,tanC<0,cotC<0.B、C、D都不能成立.故選A.【點評】此題用常法論證也不難，但是誰能斷言：本解比之常法不具有更大的優(yōu)越性呢？●對應(yīng)訓(xùn)練1.設(shè)f(x)=1+5x-10x2+10x3-5x4+x5,則f(x)的反函數(shù)的解析式是（）A．B.C．D.2.下列命題中，命題M是命題N的充要條件的一組是（）A．B.C.D.3.已知兩函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像如圖（1）所示，則y=f(x)·g(x)的大致圖像為（）第3題圖（1）第3題圖（2）●參考答案1.B取特殊的對稱點.∵f(0)=1,∴(0,1)在f(x)的圖像上，（1，0）在f(x)的圖像上，將（1，0）代入各選項，僅B適合，∴選B.點評題干和選項都那么復(fù)雜，解法卻如此簡明.你能發(fā)現(xiàn)（0，1）.就能找出（1，0），解題就需要這種悟性，說到底，還是能力.2.D取特殊值.令c=0,否定A；B、C都不能倒推，條件不必要.3.B取特殊的區(qū)間.由圖像知f(x)為偶函數(shù)（圖（1）中圖像關(guān)于y軸對稱），g(x)為奇函數(shù)（圖（2）中圖像關(guān)于原點對稱）.∴y=f(x)·g(x)為奇函數(shù)，其圖像應(yīng)關(guān)于原點對稱，排除A、C，取x∈(-2,-1),由圖(1)知f(x)>0,由圖（2）知g(x)<0,故當(dāng)x∈(-2,-1)時，應(yīng)有y=f(x)·g(x)<0.選B.點評無須弄清圖（1）、圖（2）到底表示什么函數(shù)，不必要也不可能僅憑已有的圖像信息去“精確描繪”y=f(x)·g(x)的圖像.只須鑒別四類圖像哪一個符合題意，選定特殊區(qū)間（-2，-1）一次檢驗即解決問題.數(shù)學(xué)破題36計第8計小姐開門何等輕松數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義有一大漢，想進某屋.門上并未加鎖，但他久推不開，弄得滿頭大汗.后面?zhèn)鱽硪晃恍〗爿p輕的聲音：“先生別推，請向后拉！”大漢真的向后一拉，果然門就輕輕地開了.大漢奇怪地問：“這門上并沒有寫拉字，你怎么知道是拉門的呢？”小姐答：“因為我看到你推了半天，門還不動，那就只有拉了！”數(shù)學(xué)上的“正難則反”就是這位小姐說的意思.既然正面遇上困難，那就回頭是岸，向反方向走去.●典例示范【例1】求證：拋物線沒有漸近線.【分析】二次曲線中僅有雙曲線有漸近線，什么是漸近線？人們的解釋是與曲線可以無限接近卻又沒有公共點的直線.拋物線是否有這樣的直線？我們無法直接給予證明.怎么辦？“正難反收”，假定拋物線有漸近線，是否會導(dǎo)出不合理的結(jié)果？【證明】不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px.假定此拋物線有漸近線y=kx+b,∵x=,代入直線方程，化簡得：ky2-2py+2pb=0.①可以認為：曲線與其漸近線相切于無窮遠處，即如方程①有實根y0,那么，y0→∞,或,方程①化為：2pby′2-2py′+k=0.②方程②應(yīng)有唯一的零根,y′=0代入②得：k=0.于是拋物線的漸近線應(yīng)為y=b.這是不可能的，因為任意一條與x軸平行的直線y=b,都和拋物線有唯一公共點(),因而y=b不是拋物線的漸近線，這就證明了：拋物線不可能有漸近線.【例2】設(shè)A、B、C是平面上的任意三個整點（即坐標(biāo)都是整數(shù)的點），求證：△ABC不是正三角形.【分析】平面上的整數(shù)點無窮無盡的多，可以組成無窮無盡個各不相同的三角形，要想逐一證明這些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么辦？正難反做！【解答】假定△ABC為正三角形，且A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)均為整點，不妨設(shè)x2≠x1,∵kAB=,∴直線AB的方程為：即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0.點C(x3,y3)到AB的距離.但是|AB|=∴S△ABC==(x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1).即S△ABC為有理數(shù).另一方面，S△ABC=①∵|AB|≠0,∴S△ABC為無理數(shù).②①與②矛盾，故不存在三個頂點都是整數(shù)點的正三角形.【例3】設(shè)f(x)=x2+a1x+a2為實系數(shù)二次函數(shù),證明：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于【分析】三數(shù)中至少有一個不小于的情況有七種，而三數(shù)中“都小于”的情況只有一種，可見“正面”繁雜，“反面”簡明，也應(yīng)走“正難反收”的道路.【解答】假定同時有：|f(1)|<、|f(2)|<、|f(3)|<,那么：①+③:-11<4a1+2a2<-9④②×2:-9<4a1+2a2<-7⑤④與⑤矛盾，從而結(jié)論成立.【小結(jié)】“正難反收”中的“難”有兩種含義，一是頭緒繁多，所以難于處理.因為“繁”，所以“難”，處理不當(dāng)即陷入“剪不斷，理還亂”的困境；二是試題的正面設(shè)置，使人感到無法可求，無章可循，從而找不到破解的頭緒，從而無從下手.遇到以上這兩種情況，考生即應(yīng)懂得“迷途知返”，走“正難反收”的道路.一般地說，與排列組合、概率有關(guān)的試題，往往應(yīng)走“正繁則反”的道路，而一切否定式的命題，則應(yīng)首選反證法.因為原命題與其逆否命題一定等價，只要推倒了命題結(jié)論的反面，正面自然順理成章地成立.●對應(yīng)訓(xùn)練1.k為何值時，直線y-1=k(x-1)不能垂直平分拋物線y2=x的某弦.2.已知α、β∈(0,),且sin(α+β)=2sinα.求證：α<β.3.設(shè)a>b>c>0,且a、b、c成等差數(shù)列，試證明：不能組成等差數(shù)列.4.求證：拋物線y=上不存在關(guān)于直線y=x對稱的兩點.●參考答案1．正難反收，先解決k為何值時，直線可以垂直平分該拋物線的某弦，再求它的補集，設(shè)弦兩端點為A(x1,y1),B(x2,y2),那么:設(shè)直線l:y-1=k(x-1)垂直且平分AB,則kAB=,設(shè)AB之中點為M(x0,y0),∴y1+y2=2y0,y0=,又由y0-1=k(x0-1),得x0=,而M在拋物線內(nèi)部.∴y<x0,即,得∵k2-2k+2>0,∴-2<x<0,即k∈(-2,0)時,直線l垂直平分拋物線y2=x的某弦，從而k∈(-∞,-2］∪［0,+∞)時,直線l不能垂直平分拋物線y2=x的某弦.2.假定α≮β,必（1）α=β,此時有sin2α=2sinα.α、β∈(0,)時，sinα≠0,必有cosα=1,這與α∈(0,)矛盾;(2)α>β,在(0,)內(nèi)y=sinx為增函數(shù)，必sinα>sinβ>0,由條件：sinα(cosβ-2)+cosαsinβ=0.∴∴cosα+cosβ>2，這是不可能的.故α≥β不能成立，必有α<β.3.假定成等差數(shù)列,必,即已知a，b，c成等差數(shù)列，∴b=.故有：∴a=c,從而a=b=c,這與已知a>b>c>0矛盾.∴不能組成等差數(shù)列.4.假定拋物線y=上存在關(guān)于直線y=x對稱的兩點A(a,b)與B(b,a).∵kAB=-1,知a≠b.有：①-②：b-a=(a+b)(a-b).∵a≠b,∴a+b=-2③③代入①：-2-a=.即a2+2a+3=0.此方程無實根，故所設(shè)符合題設(shè)條件的點A（a,b），B(b,a)不存在.也就是拋物線y=x2-1上不存在關(guān)于直線y=x對稱的兩點.數(shù)學(xué)破題36計第9計瞎子開門伸手摸縫數(shù)學(xué)破題36計計名釋義命題人本來為解題人設(shè)計了“題門”，即所謂題目的入口處.但對“瞎子”來講，他不是在看，而是用手去摸.在摸的過程中，他沒有能力關(guān)心整個大門，而只是關(guān)心這個門的門縫.如果遇上了門縫，他便將手伸到門的后面，輕輕地把門閂拉掉，題門也就隨之開了.●典例示范［例題］（2005年鄂卷第22題）已知不等式，其中n為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)設(shè)數(shù)列{}的各項為正，且滿足，（Ⅰ）證明：，；（Ⅱ）猜測數(shù)列{}是否有極限？如果有，寫出極限的值；（Ⅲ）試確定一個正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，對任意b>0，都有［分析］此題有3扇門，即題問（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）.用手去摸，發(fā)現(xiàn)（Ⅱ）是個門縫，因為（Ⅱ）最輕便：一是“猜”，二是“寫出”（不要求說道理）.于是，可以把手伸到（Ⅰ）的后面，把（Ⅱ）當(dāng)作門閂抽掉.［解Ⅱ］因為0<an<而后者的極限是0，所以an的極限是0.［插語］解（Ⅱ）之時，承認并利用了（Ⅰ）的結(jié)果.［評說］這么難的壓軸題，竟這么容易地拿下了它的三分之一.即使最后不能攻下（Ⅰ），而（Ⅱ）的分?jǐn)?shù)卻已經(jīng)拿到手了.拿下（Ⅱ）之后，可以直抓后面的（Ⅲ）.既然an→0，那么要它an<，那就解不等式求N罷了.這時，仍然可以把（Ⅰ）的結(jié)果當(dāng)作已知.［解Ⅲ］（放大為了化簡）令，故取N=1024，可使當(dāng)n>N時，都有［插語］（Ⅱ），（Ⅲ）已破，題門大開，回師攻（Ⅰ）形勢更好.［解Ⅰ］問題簡化為已知：①②求證：③［插語］先抓住求證式③，其右邊的分母中有變量，順藤摸瓜，找到已知式①中的，不過它卻在“分子”上.至此，快摸到問題（Ⅰ）的“門閂”.［續(xù)解］式③變?yōu)榈檬舰?［插語］式④即為題（Ⅰ）的門閂.以下用式④與式②連接，從式②中變出.［續(xù)解］由式②得得式⑤依次令n=2,3,4,……得…兩邊相加得⑤代式①于⑤得.這就是要證的式④.從而證得式③：，即問題（Ⅰ）得證.［插語］變③為④，用的是分析法.變①、②為⑤，用的是綜合法.條件（①，②）不等式（③）的證明，經(jīng)常利用“分析—綜合法”進行兩邊夾攻.［評論］本題是一道難度很高的壓軸大題，“伸手摸縫”的策略，改變了命題人原來設(shè)定的解題順序，即從（Ⅰ）到（Ⅱ）、再到（Ⅲ）的一般順序.從而使得易解的（Ⅱ）成為該大題的“題縫”.對于最難的題（Ⅰ），仍然采用了中間突破的辦法，成功的關(guān)鍵也是從中找到了題（Ⅰ）的題縫：，實際上，不等式的證明中，分析法與綜合法的接頭處，正是問題的題縫.●對應(yīng)訓(xùn)練對以上例題第（Ⅰ）問改為如下的問題：已知不等式，其中n為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)設(shè)數(shù)列{}的各項為正，且滿足，（Ⅰ）設(shè)f(n)=,用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（Ⅱ）求證：，；●參考答案［分析］本題的（Ⅰ）、（Ⅱ）問，顯然第（Ⅱ）問比第（Ⅰ）問容易.因此我們可以先解第（Ⅱ）問，這時必需把第（Ⅰ）問的結(jié)果當(dāng)作已知——題門從后面撥開.解（Ⅱ）：由已知不等式得≤解（Ⅰ）：設(shè)，利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式（ⅰ）當(dāng)n=3時，由，知不等式成立（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時，不等式成立，即，則即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立由（?。áⅲ┲鄄逭Z］數(shù)學(xué)歸納法證題，在k到k+1之間，存在著一個“題縫”.從k正推，屬綜合法；由k+1反推，屬分析法.“題縫”就藏在綜合與分析的“接頭處”.從考場策略上講，若在“接頭處”遇上困難，可用“因為——所以”的模糊法把前后的“裂縫拉攏”，以便逃脫閱卷人的苛求.［說明］這里的解答，把（Ⅱ）放在（Ⅰ）的前面，只是“草紙”上的思考順序.真正在試卷上答題時，仍應(yīng)把第（Ⅰ）問的解答放在前面，除非對（Ⅰ）沒有解出.數(shù)學(xué)破題36計第10計聾子開門慧眼識鐘數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義一群人到廟里上香，其中有一個聾子，還有一個小孩.上香完畢，發(fā)現(xiàn)小孩不見了.半天找不到影子后，大家來“問”這聾子.聾子把手一指，發(fā)現(xiàn)小孩藏在大鐘底下，而且還在用手拍鐘.大家奇怪，連我們都沒有聽見小孩拍鐘的聲音，聾子怎么聽著了呢？其實，大伙把事情想錯了，聾子哪里聽到了鐘聲，只是憑著他的亮眼，發(fā)現(xiàn)大鐘底下是好藏小孩的地方.聾子的直覺感往往超過常人.數(shù)學(xué)家黎曼是個聾子，據(jù)說，他所以能創(chuàng)立他的黎曼幾何，主要受益于他的超人的直覺看圖.為了增強直覺思維，建議大家在解數(shù)學(xué)題時，不妨裝裝聾子，此時，難題的入口處，可能閃出耀眼的燈光.●典例示范【例1】若(1-2x)2008=a0+a1x+a2x2+…+ax2008(x∈R),則(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)=(用數(shù)字作答)【思考】顯然a0=1,且當(dāng)x=1時，a0+a1+…+a2008=1,∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008=2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.【點評】本例的易錯點是：必須將2008a0拆成2007a0+a0,否則若得出2008+1=2009就錯了.【例2】對于定義在R上的函數(shù)f(x)，有下述命題：①若f(x)是奇函數(shù)，則f(x-1)的圖象關(guān)于點A（1，0）對稱；②若對x∈R,有f(x+1)=f(x-1),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱；③若函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則f(x)是偶函數(shù)；④函數(shù)f(1+x)與f(1-x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.其中正確命題的序號為.【思考】奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，原點右移一單位得（1，0），故f(x-1)的圖象關(guān)于點A（1，0）對稱，①正確；f(x)=f［(x+1)-1］=f(x+2)，只能說明f(x)為周期函數(shù)，②不對；f(x-1)右移一單位得f(x)直線x=1左移一單位得y軸，故f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，即為偶函數(shù)，③正確；④顯然不對，應(yīng)改為關(guān)于y軸對稱.例如設(shè)f(x)=x,則f(1+x)=1+x,f(1-x)=1-x,兩圖象關(guān)于y軸對稱.【點評】本例的陷溝是：容易將f(1+x)與f(1-x)誤認為f(1+x)=f(1-x)，這是容易魚目混珠的地方,而后者才是R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱的充要條件.【例3】關(guān)于函數(shù)f(x)=2x-2-x(x∈R).有下列三個結(jié)論：①f(x)的值域為R;②f(x)是R上的增函數(shù)；③對任意x∈R,都有f(x)+f(-x)=0成立，其中正確命題的序號是(注：把你認為正確命題的序號都填上).【解答】由y(2x)2-y·2x-1=0.關(guān)于2x的方程中，恒有Δ=y2+4>0.∴y∈R①真.∵y1=2x,y2=都是R上的增函數(shù)，∴y=y1+y2=2x-2也是R上的增函數(shù)，②真.∵f(-x)=2-2x=-(2x-2)=-f(x),∴當(dāng)x∈R時，恒有f(x)+f(-x)=0（即f(x)為R上的奇函數(shù))③真.【點評】高考試題中的小題，已出現(xiàn)了多項選擇的苗頭，其基本形式如本例所示，多選題中的正確答案可能都是，也可能不都是，還有可能都不是（這種形式多反映在選擇題中，其正確答案為零個）.由于許多考生的思維定勢是以為多選題只有“不都是”一種情況，往往難以相信“都是”或“都不是”.這也是這種題型的陷阱所在.正確的對策：不受選項多少的干擾，只要你能證明某項必真則選，否則即不選.本例是“全選”（即“都是”）的題型.●對應(yīng)訓(xùn)練1.設(shè)F是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i=1,2,3,…),使|FP1|，|FP2|,|FP3|,…,組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍是.●參考答案1.橢圓中：a=,b=,c=1.∴e=,設(shè)Pi的橫坐標(biāo)為xi,則|FPi|=(7-xi),其中右準(zhǔn)線x=7.∵|FPn|=|FP1|+(n-1)d.∴d=∵|x1-xn|≤2,∴|d|≤.已知n≥21,∴|d|≤,但d≠0.∴d∈［-，0)∪(0，］.點評：本題有兩處陷溝，一是d≠0,二是可以d<0,解題時考生切勿疏忽.數(shù)學(xué)破題36計第11計耗子開門就地打洞數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義《說唐》中有這樣一個故事.唐太宗征北，困在木陽城，絕糧.軍師獻計，沿著鼠洞挖去，可能找到糧食.結(jié)果，真的在地下深處發(fā)現(xiàn)了糧倉.太宗嘉獎耗子的牙啃立功，并題詩曰：鼠郎個小本能高，日夜磨牙得寶刀，唯恐孤王難遇見，宮門鑿出九條槽.龐大的數(shù)學(xué)寶庫也是眾多的“數(shù)學(xué)耗子”啃穿的.你可知道，前1萬個質(zhì)數(shù)就是這些耗子們一個個啃出來的，七位數(shù)字對數(shù)表也是這樣啃出來的.數(shù)學(xué)解題，當(dāng)你無計可施，或者一口難吞時，那就決定“啃”吧.●典例示范【例1】已知f(x)=，判定其單調(diào)區(qū)間.【分析】用求導(dǎo)法研究單調(diào)性當(dāng)然可行，但未必簡便，直接從單調(diào)定義出發(fā)，循序漸進，也可將“單調(diào)區(qū)間”啃出來.【解答】設(shè)x1<x2，f(x1)-f(x2)=-.【插語】x1，x2都在根號底下，想法把它們啃出來.有辦法，將“分子有理化”.【續(xù)解】[KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]=易知=△>0.故有原式=<0.故f(x)=的增區(qū)間為（-∞,+∞).【點評】耗子開門是一個“以小克大，以弱克強”的策略.函數(shù)的單調(diào)法即不等式的比較法.方法基礎(chǔ)，可靠，只要有“啃”的精神，則可以透過形式上的繁雜看到思維上的清晰和簡捷.【例2】（04·天津卷）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.設(shè)隨機變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù).（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）求“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率.【思考】本題設(shè)問簡單，方向明確，無須反推倒算，只要像耗子開門，牙啃立功就是了.【解答】（Ⅰ）6人中任選3人，其中女生可以是0個，1個或2個，P（ξ=0）=;P(ξ=1)=；P(ξ=2)=，故ξ的分布列是：ξ012P（Ⅱ）ξ的數(shù)學(xué)期望是：Eξ=0×+1×+2×=1.(Ⅲ)由（Ⅰ），所選3人中女生人數(shù)ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P(ξ=0)+P(=1)=.【例3】（04·上海，20文）如圖，直線y=x與拋物線y=x2-4交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于點Q.(1)求點Q的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P為拋物線上位于AB下方（含點A、B）的動點時，求△OPQ的面積的最大值.【思考】同例1一樣，本題設(shè)問明確，例3題圖思路并不復(fù)雜，只須按所設(shè)條件逐一完成就是，只是要嚴(yán)防計算失誤.【解答】（1）由設(shè)AB中點為M（x0，y0），則x0=，y0=x0=1.故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，點Q的坐標(biāo)為(5,-5).(2)由（1）知|OQ|=5為定值.設(shè)P(x，x2-2)為拋物線上上一點，由（1）知x2-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直線OQ的方程為：x+y=0，點P到直線OQ的距離：d=，顯然d≠0，(否則△POQ不存在)，即x≠4-4，為使△POQ面積最大只須d最大，當(dāng)x=8時，dmax=6.∴(S△POQ)max=·|OQ|·dmax=·5·6=30.【例4】O為銳角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差數(shù)列，求tanA·tanC的值.【解答】如圖，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA.不妨設(shè)△ABC外接圓半徑為1，令∠BOC=α=2A,∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，則有：sinα+sinγ=sinβ，即sin2A+sin2C=2sin2B.2sin(A+C)cos(A-C)=4sinBcosB.例4題解圖∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB=-cos(A+C).∴cos(A-C)+2cos(A+C)=0,cosAcosC+sinAsinC+2(cosA+cosC–sinAsinC)=0.3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.【點評】本例中的“門”不少，其中“同圓半徑相等”是“門”，由此將面積關(guān)系轉(zhuǎn)換成有關(guān)角的關(guān)系；以下通過圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)換，和差化積與倍角公式，誘導(dǎo)公式、和角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系等依次轉(zhuǎn)換，這便是一連串的“門”，逐一啃來，從而最終達到解題目的.●對應(yīng)訓(xùn)練1.在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（Ⅱ）設(shè)O點在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP；（Ⅲ）求點P到平面ABD1的距離.第1題圖2.證明不等式：(n∈N+).3.設(shè)x∈，f(x)=，求f(x)的最大值與最小值.4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函數(shù)u=的最小值.●參考答案1.建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，有：A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)連BP，∵AB⊥平面BCC1B1.∴AB⊥BP，∠APB是直線AP與平面BB1C1C的夾角，∵=∴tan∠APB=.∴AP與平面BB1C1C所成角為arctan.(Ⅱ)連D1B1，則O∈DB1.∵=（4,4,0)，=（-4,4,1）,∴·=-16+16+0=0.即⊥，也就是⊥.第1題解圖已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂線定理)（Ⅲ）在DD1上取||=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，則QR⊥面ABD1，QR之長是Q到平面ABD1的距離，∵S△ADQ=||·||=]||·||.即：4·||=4×3，∴||=.已證PQ∥ABD1，∴點P到平面ABP1的距離為.點評：雖是“綜合法”證題，但也并非“巷子里趕豬，直來直去”，特別（Ⅱ）,(Ⅲ)兩問，本解都用到了若干轉(zhuǎn)換手法.2.只須證右式===.∴成立，從而1+3.先將f(x)化為同一個角的單一三角函數(shù)，得f(x)=-sin+.當(dāng)x∈時,2x-，故f(x)為，上的減函數(shù),當(dāng)x=時,［f(x)］min=，當(dāng)x=時,［f(x)］max=-.4.注意到，同理：，，∴u≥=8.數(shù)學(xué)破題36計第12計小刀開門切口啟封數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義西餐宴上，擺著漂亮的什錦比薩.眾人雖然都在稱好，但沒有一人動手.原來這東西罩在一個透明的“玻璃盒”里，不知從哪兒打開，大家只好故作謙讓，互相叫“請”.一小孩不顧禮節(jié)，拿著餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花紋處，此時盒子竟像蓮花一樣自動地啟開了.大家驚喜，夸這孩子有見識.其實，這孩子的成功在他的“敢于一試”，在試試中碰到了盒子的入口.數(shù)學(xué)解題何嘗沒遇上這種情境？我們有時苦心焦慮地尋找破題的入口，其實，自己此時正站在入題的大門口前，只是不敢動手一試.●典例示范【例1】已知5sinβ=sin(2α+β)，求證：【分析】題型是條件等式的證明，內(nèi)容是三角函數(shù)的變換.條件和結(jié)論都是三角等式，正宗解法（大刀開門），首先考慮的是三角函數(shù)及和角變換.能否找到另外的切入口呢？比如說“拋開函數(shù)看常數(shù)”，我們找到了這個數(shù)，試一試，就打的主意！【解答】化條件為考察結(jié)論的右式與的數(shù)量關(guān)系知，那么由合分比定理能使問題獲得解決，即而左端分子、分母分別進行和差化積即為于是等式成立.【點評】這才是真正的“小刀開門”，首先考慮了常數(shù)，而常數(shù)在函數(shù)面前自然是“小玩意”；首先考慮比例變換，比例變換在三角變換的面前也是“小玩意”！數(shù)學(xué)解題時，在“入口對號”的情況下，小刀比大刀更管用.【例2】設(shè)m為正整數(shù),方程mx2+2(2m-1)x+4m-7=0(x為未知量)至少有一個整數(shù)根,求m的值.【分析】若根據(jù)求根公式得到x=,討論至少有一個整數(shù)根相當(dāng)復(fù)雜.如果把常量m(m是一個待求的常量)與變量x相互轉(zhuǎn)化,則解決此問題就簡單了.【解答】原方程可化為(x2+4x+4)m=2x+7,即m=,【