右腎實(shí)質(zhì)內(nèi)見一類圓形低密度灶

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在蘇教版《必修2》教材中，有這樣一個(gè)問題：“已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)的距離之比為12，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)得志什么關(guān)系？畫出得志條件的點(diǎn)M所形成的曲線”。通過計(jì)算M的軌跡方程為：(x+1)?2+y?2=4，軌跡為圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓。也就是說，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（常數(shù)不為1）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為阿氏圓，它取決于兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)比值。在高考題和模擬題中，有不少以它為根據(jù)的問題。??

類型1：利用軌跡為阿氏圓求最值?

已知△ABM中，AB=2，且AM=?2MB?，求S??△ABM?的最大值．?

解法一如圖建立直角坐標(biāo)系，那么A(-1,0)，B(1,0)，設(shè)M(x,y)，那么有(x+1)?2+y?2=?2(x－1)?2+y?2?，

兩邊平方整理得x?2+y?2－?6x+?1=0，即(x－6)?2+?y?2=?8．點(diǎn)M(x,y)在圓上，S??△ABC?≤12×2×

?

點(diǎn)撥由于△ABM的邊AB為定值，而AM=2MB，所以M的軌跡為一個(gè)圓，利用它可以得到△ABM的面積的最值。當(dāng)然我們可以利用解三角形的相關(guān)學(xué)識求到該三角形的最大值，但不如解法一來得簡樸快捷。?

類型2：已知軌跡為阿氏圓求定點(diǎn)和常數(shù)?

在直角坐標(biāo)系xOy中，A為橢圓?x?29+?y?24=1的左頂點(diǎn)，圓O的方程為x?2+y?2=4．是否存在不同于點(diǎn)A的定點(diǎn)B，對于圓O上任意一點(diǎn)M，都有MBMA為常數(shù)，若存在，求全體得志條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)及該常數(shù)；若不存

三個(gè)特殊的點(diǎn)，通過構(gòu)建關(guān)于a,b,λ的方程解出它們的值，而這表達(dá)了方程的思想。?

類型3：已知阿氏圓求軌跡?

已知圓x?2+y?2=9，M為直線l:x=4上的點(diǎn)，若Q（異于點(diǎn)M）得志對圓上任意一點(diǎn)N，總有MNNQ為常數(shù)λ?M，求證：當(dāng)M在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上．?

解析設(shè)點(diǎn)M(4,t)，N(x,y)，Q(a,b)，那么MNNQ=(x-4)?2+(y-t)?2(x-a)?2+(y-b)?2=λ?M，整理得到(?x-?4)?2+(y-t)?2=λ?M(x-a)?2+(y-b)?2，利用x?2+y?2=9可以得到25+t?2－8x－2yt=?λ?M(9－?2ax－2by+a?2+b?2)，化簡得到25+t?2－8x－2yt=－2aλ?Mx－2bλ?My+9λ?M+λ?Ma?2+λ?Mb?2，由于該式對任意的動(dòng)點(diǎn)N恒成立，所以4=aλ?M,?t=bλ?M，?9λ?M+λ?Ma?2+λ?Mb?2=25+t?2,消去a,b得到(9λ?M－16)(λ?M－1)=t?2(λ?M－1)，若λ?M=1，那么MN=NQ，與N的軌跡為圓沖突，所以9λ?M－?16=?t?2，再用λ?M=4a,t=4ba代入得到a?2+b?2－?94a?=0，所以點(diǎn)Q在定圓上．?

點(diǎn)撥題設(shè)給出了一個(gè)圓和一個(gè)在定直線變化的動(dòng)點(diǎn)M，要求確定另一個(gè)點(diǎn)Q，使得由它們確定的圓就是題設(shè)中給定的圓。根據(jù)線段比值恒為常數(shù)，我們得到三組關(guān)系式，若直接消去λ?M,t，我們會得到一個(gè)三次的關(guān)系式，與問題中圓的要求相距甚遠(yuǎn)，所以我們先消去a,b得到λ?M和t務(wù)必得志的一個(gè)關(guān)系式，再反代就得到點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上。?

類型4:利用阿氏圓求比值?

設(shè)A(－2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)在直線l:x－y+4=0，那么MAMB的取值范圍是??.?

解析令MAMB=λ(λ>0,λ≠1)，那么(x+2)?2+y?2(x-2)?2+y?2=λ，兩邊平方得到(x+2)?2+y?2=λ(x-2)?2+y?2，整理得到圓C:x+2λ+21－λ?2+y?2=16λ(1－λ)?2，又圓C與直線l始終相交，所以－2λ+21－λ+42≤16λ(1－λ)?2，化簡得到9λ?2－14λ+?1≤?0，解得7－2109≤λ≤7+2109即5－23≤λ≤5+23，所以MAMB的取值范圍為5－23,5+23．?

點(diǎn)撥MAMB的大小可以通過構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)來求，但計(jì)算過程較為繁瑣。從幾何角度看，假設(shè)MAMB為定值，那么M的軌跡為阿氏圓，而點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，說明直線和阿氏圓是相交或相切，通過圓心到直線的距離構(gòu)建不等式得到比值的范圍，幾何的方法比函數(shù)的方法簡樸快捷。??

生活就是戰(zhàn)斗。――柯羅連科

牛刀小試?

1.設(shè)拋物線C:y?2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在C上且得志AK=2AF，求△AFK的面積．?

2.設(shè)A(-1,0)，B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)得志?MA=?2MB，求u=2x+y+2x－y+3的取值范圍．?

3.已知橢圓E：x?2a?2+y?2b?2=1(a>b>0)的離心率為22，且過點(diǎn)P(2,2)，設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，橢圓的上頂點(diǎn)為B，直線AB被以原點(diǎn)為圓心的圓O所截得的弦長為455．?

（1）橢圓E的方程及圓O的方程；?

（2）若M是準(zhǔn)線l上縱坐標(biāo)為t的點(diǎn)，求證：存在一個(gè)異于M的點(diǎn)Q，對于圓O上任意一點(diǎn)N，有MNNQ為定值；且當(dāng)M在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上．?

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1.由題設(shè)有K(－2,0)，F(xiàn)(2,0)，設(shè)A(x,y)，由于AK=2AF，所以(x+2)?2+y?2=?2(x-2)?2+y?2?，化簡得到x?2+y?2－12x+?4=?0，聯(lián)立方程組x?2+y?2－12x+4=0,?y?2=8x,得到x=2,?