Kalman濾波誤差分析

Kalman濾波誤差分析§1矩陣Riccati方程的解§2Kalman濾波誤差方差陣的上、下界Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!§1矩陣Riccati方程的解從前面Kalman濾波方程中，我們知道，對于如下系統(tǒng)：Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!為了弄清楚誤差的變化情況，最直接的辦法當(dāng)然是求解上述方程。為方便，下面以連續(xù)系統(tǒng)為例求解P(t)。從的表達(dá)式可以看出，這是一個非線性矩陣微分方程。如將起展開則為一個非線性微分方程組，而非線性微分方程目前尚無一般解法，通常只能用數(shù)值解法，因此得不到封閉形式的解。但是，從形式上可以看出，它是一個矩陣Riccati方程，仿照在最佳控制理論中，Riccati方程的導(dǎo)出過程，可知，如設(shè)：則上述非線性矩陣Riccati方程可分解為兩個線性微分方程：Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!采用擴(kuò)充狀態(tài)變量（增廣狀態(tài)矢量）的辦法，可以將兩個線性D.E合并成一個：Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!注意Φ為原系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移陣不是濾波系統(tǒng)轉(zhuǎn)移陣Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!注意下標(biāo)關(guān)系，上下標(biāo)限Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!方向：1.不斷擴(kuò)展，充分充要條件 2.針對具體問題，討論具體條件Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!既然上面已經(jīng)證明了Pk的上界，顯然若能將下界問題轉(zhuǎn)化為上界問題，問題的證明將會比較方便。根據(jù)矩陣?yán)碚?，若，這啟示我們要利用逆陣的關(guān)系，但實(shí)際計(jì)算時還有些技巧。實(shí)際運(yùn)算表明，直接采用對應(yīng)的“倒數(shù)”（逆矩陣）關(guān)系還是有點(diǎn)麻煩的。只要設(shè)法建立某種“倒數(shù)”關(guān)系，問題就可望解決。Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!設(shè)某一線性預(yù)測估計(jì)為Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!可見，對于一致完全可控，一致完全可觀測的隨機(jī)系統(tǒng)，其濾波誤差方差陣有一致的上下界。即隨著k或t，濾波誤差不會無限，也不會無限0。Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!要驗(yàn)證上述分解是不困難的，求導(dǎo)直接代入即可：為了簡便，不寫宗量，有：Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!一般情況下，C(t)、D(t)相互交聯(lián)在一起，求解過程比較麻煩，在特殊情況下，如Q(t)=0或R-1(t)=0，即沒有系統(tǒng)噪聲或量測噪聲方差陣非常大時（對量測噪聲沒有任何先驗(yàn)知識）問題可以簡化。從動態(tài)方程亦可看到，這是增廣系統(tǒng)陣為三角陣（上三角陣或下三角陣）。若Q(t)=0，則有

Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!這亦是一個齊次方程，式中：Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!§2Kalman濾波誤差方差陣的上、下界上面我們討論了K.F.誤差方差陣的解，可以看到，對于一個實(shí)際系統(tǒng)來說，上述過程是相當(dāng)麻煩的；另外，在工程上，我們更關(guān)心的往往是P(t)，PX的變化范圍，即上下界，而不是具體的變化過程，因此就沒有必要求出其解來。定理：若系統(tǒng)是一致完全可控和一致完全可觀測的，即有Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!寫成標(biāo)準(zhǔn)式：為方便起見，合寫在一起：Kalman濾波誤差分析共40頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!Kalman濾