人教版導與練總復習數(shù)學一輪教師用書：第七章第2節(jié)　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

第2節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

課程標準要求

1.借助長方體模型,在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的

基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義.

2.了解可以作為推理依據(jù)的基本事實和定理.

3.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡

單命題.

①用雙材夯實四基

必備知識?課前回顧

施知識梳理

1.四個基本事實

基本事實1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.

基本事實2:如果一條直線上的兩仝點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在

這個平面內(nèi).

基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有

二條過該點的公共直線.

基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線壬紅.

2.用集合語言描述點、線、面間的關(guān)系

(1)點與平面的位置關(guān)系

點A在平面a內(nèi)，記作A￡a；點A不在平面a內(nèi)，記作A住a.

(2)點與直線的位置關(guān)系

點A在直線1上,記作AG1;點A不在直線1上,記作W.

⑶直線與平面的位置關(guān)系

直線1在平面a內(nèi)，記作lua；直線1不在平面a內(nèi)，記作直a.

(4)平面a與平面B相交于直線a,記作aGB=a.

(5)直線1與平面a相交于點A,記作1Aa=A.

(6)直線a與直線b相交于點A,記作aClb=A.

3.空間中兩直線的位置關(guān)系

(1)空間中兩直線的位置關(guān)系

平行直線；

共面直線

相交直線;

(異面直線:不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.

⑵異面直線所成的角

①定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點0分別作直線a，〃

a,b，〃b，把球與b，所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾

角).

②范圍：(0,9

(3)等角定理

如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互

補.

4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

\

位置

圖形語言符號語言公共點

關(guān)系

直

相交aGa=A1個

線

----------------a

與平行友__/a〃a0個

平在平

aca無數(shù)個

面面內(nèi)

平

平行A7a〃B0個

A7

面

與

相交aA3=1無數(shù)個

平

面

.重要結(jié)論

1.基本事實的三個推論

推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面；

推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面；

推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.

2.異面直線判定的一個方法

過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面

直線.

一對點自測§-

1.a是一個平面,m,n是兩條直線,A是一個點，若mQa,nua,且A￡

m,A￡a,則m,n的位置關(guān)系不可能是（D）

A.垂直B.相交C.異面D.平行

解析:依題意,mGa=A,nua,所以m與n可能異面、相交（垂直是相

交的特例），一定不平行.故選D.

2.已知a,b是異面直線，直線c平行于直線a,那么c與b(C)

A.一定是異面直線B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線

解析：由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可

能為平行直線,若b〃c,則a〃b,與已知a,b為異面直線相矛盾.故選

C.

3.已知平面a和直線1,則a內(nèi)至少有一條直線與1(C)

A.平行B.相交C.垂直D.異面

解析：當直線1與平面□斜交時,在平面a內(nèi)不存在與1平行的直線，

所以A錯誤;當lua時,在平面a內(nèi)不存在與1異面的直線,所以D錯

誤；當1〃a時，在平面a內(nèi)不存在與1相交的直線,所以B錯誤;無論

哪種情形在平面a內(nèi)都有無數(shù)條直線與1垂直.故選C.

4.

如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則

⑴當AC,BD滿足條件時，四邊形EFGH為菱形；

⑵當AC,BD滿足條件時，四邊形EFGH為正方形.

解析：(1)因為四邊形EFGH為菱形，

所以EF=EH,所以AC=BD.

（2）因為四邊形EFGH為正方形，所以EF=EH,且EF_LEH,因為EF〃AC,EH

〃BD,且EF=1AC,EH=|BD,所以AC=BD,且AC1BD.

答案：(1)AC=BD(2)AC=BD,且AC±BD

類小考點怎實四翼

關(guān)鍵能力?課堂突破

蜃考點一平面的基本性質(zhì)及應用

1.（多選題）下列命題中正確的有（BCD）

A.一條直線和一個點可以確定一個平面

B.經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面

C.過兩條平行直線有且只有一個平面

D.分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交,則交點一定在兩個平

面的交線上

解析:對于A選項，當這個點在直線上時,無法確定一個平面,故A錯誤;

對于B,C選項，均為基本事實的推論,故B,C正確;對于D選項,交點分

別在兩條直線上,也分別在兩個平面內(nèi)，必然在交線上,故D正確.故

選BCD.

2.下列命題正確的是（D）

A.兩個平面如果有公共點,那么一定相交

B.兩個平面的公共點一定共線

C.兩個平面有3個公共點一定重合

D.過空間任意三點,一定有一個平面

解析:如果兩個平面重合,則排除A,B兩項;兩個平面相交,則有一條

交線,交線上任取三個點都是兩個平面的公共點，故排除C項;而D項

中的三點不論共線還是不共線，則一定能找到一個平面過這三個點.

故選D.

3.

如圖所示,空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別在

BC,CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2.

(1)求證:E,F,G,H四點共面；

⑵設(shè)EG與FH交于點P,求證:P,A,C三點共線.

證明：⑴因為E,F分別為AB,AD的中點，所以EF//BD.

在ABCD中,器筆=：,所以GH〃BD,所以EF〃GH,所以E,F,G,H四點共

GCnCL

面.

⑵因為EGGFH=P,PGEG,EGu平面ABC,所以P￡平面ABC.同理P￡平

面ADC,

所以P為平面ABC與平面ADC的公共點.又平面ABCG平面ADC=AC,

所以PeAC,所以P,A,C三點共線.

一題后悟通

1.判斷、證明點或線共面問題的兩種方法

(1)首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余

的線(或點)在這個平面內(nèi).

(2)將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.

2.判斷、證明點共線問題的兩種方法

(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(2)直接證明這些點都在同一條特定直線上.

3.判斷、證明線共點問題的常用方法

先證其中兩條直線相交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點.

蜃考點二空間兩條直線的位置關(guān)系

口角度一兩條直線位置關(guān)系的判定

(1)如圖，點N為正方形ABCD的中心,AECD為正三角形,平面ECD_L平

面ABCD,M是線段ED的中點，則()

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BMWEN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BMWEN,且直線BM,EN是異面直線

(2)如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直

線GH,MN是異面直線的圖形有(填序號).

解析:

(1)如圖，取CD的中點F,DF的中點G,連接EF,FN,MG,GB,BD,BE.因為

點N為正方形ABCD的中心,所以點N在BD上，且為BD的中點.因為△

ECD是正三角形,所以EF±CD.因為平面ECD,平面ABCD,所以EF_L平

面ABCD,所以EF±FN.不妨設(shè)AB=2,則FN=1,EF=V3,所以

EN=VFAZ2+EF2=2,因為M,G分別是ED,DF的中點，所以MG〃EF,所以

MG,平面ABCD,所以MG,

BG.MG=|EF=y,BG=VCG2+BC2=J(|)2+22=1,所以

BM=A/MG2+BG2=V7,所以BMWEN.因為BM,EN都是4DBE的中線,所

以BM,EN必相交.故選B.

⑵①中GH〃MN;③中GM〃HN,且GMWHN,所以直線GH與MN必相交；

②④中直線GH與MN是異面直線.

答案：⑴B(2)②④

解題策略

在直接判斷不好處理的情況下,反證法、模型法(如構(gòu)造幾何體:正方

體、空間四邊形等)和特例排除法是解決此類問題的三種常用便捷方

法.

幅度二異面直線所成的角

(Sig(1)在長方體ABCD-ABCD中,AB=BC=1,AAFA/3,則異面直線AD,

與DBi所成角的余弦值為（）

A1B4c-fD-f

（2）（2021?山東青島模擬）

如圖,在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD一ABCD

中,AA尸2AB=2,則異面直線AB與ADi所成角的余弦值為（）

12

--

55

A.CB.

3D.4

--

55

解析：（1）法一

如圖,補上一個相同的長方體CDEF一CDEE,連接DEbBE.易知A%〃

DE?則ZB^E,為異面直線AD,與DB,所成的角(或其補角).因為在長方

體ABCD-AECD中，AB=BC=1,AAFA/3,所以

DE尸DE2+EE：=J12+(V3)2=2,DB,=jl2+I2+(V3)2=V5,BF產(chǎn)

41班++22=V5,在△BQEi中，由余弦定理,得cosN

BDE尸互答I導T，即異面直線AD與DBi所成角的余弦值為言故

2x2xV555

選C.

法二

如圖，連接BDb交DB1于0,取AB的中點M,連接DM,0M,易知0為BD.

的中點,所以AD/0M,則ZM0D為異面直線AD.與DBi所成的角(或其補

角).因為在長方體ABCD-ABCD中，AB=BC=1,AA,=V3,所以

22

ADFJAD+D*2,DM=JAD+(|AB)2=y,DB尸

JAB2+AD2+BBj=V5,所以O(shè)MgADn,OD=|DB!=y,于是在△DMO中,

由余弦定理,得cosNMOD2》爭2爭2:g即異面直線AD】與DBi

2xlx/5

所成角的余弦值為g.故選C.

(2)

連接BG,易證BG〃ADi,則NA%即為異面直線A.B與AD,所成的角(或

其補角).連接AC,由AB=1,AA,=2,易得AC詆A.B=BC,=V5,故cosZ

A3C尸端等磐胃,即異面直線AB與AD所成角的余弦值為右故選

2??BCi55

D.

求異面直線所成角的方法

（1）求異面直線所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三種

類型:利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點（線段的端點或中點）

作平行線平移;補形平移.

⑵求異面直線所成角的三步曲：“一作、二證、三求”.

①一作:根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；

②二證:證明作出的角是異面直線所成的角；

③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角，則它

就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角；

④其中空間選點任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，

通過作三角形的中位線、平行四邊形等進行平移，作出異面直線所成

的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題,進而求解.

［針對訓練］

如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在

原正方體中互為異面直線的對數(shù)為（)

A.1B.2

C.3D.4

解析:還原的正方體如圖所示,是異面直線的共三對,分別為AB與

CD,AB與GH,EF與GH.故選C.

2.正六棱柱ABCDEF-ABCDEE的底面邊長為1,側(cè)棱長為魚,則這個

棱柱的側(cè)面對角線E,D與BG所成的角的大小是.

解析：

如圖所示,連接AB,可知A,B/7E,D,所以NABG是異面直線E.D與BC,

所成的角（或其補角）.連接AC,可求得A,C,=C1B=BA1=V3,所以N

AiBC1=60°,即側(cè)面對角線EJ）與BC所成的角是60°.

答案:60°

■備選例題

CUD已知直三棱柱ABC-AEG中，NABC=120°,AB=2,BC=CG=1,則異

面直線AB,與B3所成角的余弦值為（）

YB.叵C.逗在出

2553

解析:法一

4A

如圖所示,將直三棱柱ABC-ABG補成直四棱柱ABCD-ABCD,連接

ADbB,D?則ADi〃BG,所以NBAL或其補角為異面直線AB】與BG所成

的角.因為NABC=120。，AB=2,BC=CG=1,所以AB.=V5,AD^Vz.在4

BDG中，NBCD尸60°,BC=1,DC=2,所以

B,D,=V12+22-2x1x2xcos60°=6，所以cosN

BA嗚蘢豪F?故選C

法二如圖，設(shè)M,N,P分別為AB,BBi,BC的中點,連接MN,NP,MP,則MN

〃ABi,NP〃B3,所以NPNM或其補角為異面直線AB】與BG所成的角.

易知MN=|AB,=y.NP^BC^y.取BC的中點Q,連接PQ,MQ,可知

為直角三角形,PQ=1,MQ=|AC.在4ABC中，AC=AB2+BC-2AB?BCcosZ

ABC=4+l-2X2X1X（-？=7,所以AC=?,MQ考.在RtAMQP

中，PM=jMQ2+PQ2呼,則在中，cosN

「即=嗤汽警金鳴手）T，所以異面直線ABi與BC,

2MN?NP2x—X—5

22

所成角的余弦值為?.故選C.

A

如圖，三棱錐A-BCD中，AC±BD,E在棱AB上,F在棱CD上，并使AE：

EB=CF：FD=m(m>0),設(shè)a為異面直線EF和AC所成的角，B為異面直線

EF和BD所成的角，試求a+B的值.

解:

過點F作MF〃BD,交BC于點M,連接ME,

則CM：MB=CF:FD=m,

又因為AE：EB=CF:FD=m,

所以CM：MB=AE：EB,

所以剛〃AC,

所以a=ZMEF,B=NMFE,

異面直線AC與BD所成的角為NEMF,

因為AC_LBD,所以NEMF=90°,

所以a+B=90°.

1課時作業(yè)J靈防中強密敷提能

縝選題明細表

知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應用創(chuàng)

新練

平面的基本性質(zhì)及應用3,4

空間兩條直線的位置1,2,5,6,7,

關(guān)系8,9

11,12,13,14,

綜合問題1017,18

15,16

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.如圖所示,在正方體ABCD_ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,則異

面直線BC與EF所成角的大小為（C）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析:連接BD,D￡（圖略）,則BD〃EF,故NDBC為所求的角，又BD=

B￡=D￡,所以NDiBiC=60°.故選C.

2.a,b,c是兩兩不同的三條直線，下列四個命題中，真命題是（C）

A.若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面

B.若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交

C.若a〃b,則a,b與c所成的角相等

D.若a_l_b,b_Lc,則a//c

解析:若直線a,b異面,b,c異面,則a,c相交、平行或異面;若直線a,b

相交,b,c相交，貝Ia,c相交、平行或異面;若a±b,b±c,貝a,c相交、

平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.

3.給出下列說法:①梯形的四個頂點共面;②三條平行直線共面;③有

三個公共點的兩個平面重合;④三條直線兩兩相交,可以確定1個或3

個平面.其中正確的序號是（B）

A.①B.①④C.②③D.③④

解析:①顯然正確;②錯誤,三條平行直線可能確定1個或3個平面；

③若三個點共線，則兩個平面相交,故③錯誤;④顯然正確.故選B.

4.如圖所示,平面a4平面B=1,A￡a,B￡a,ABA1=D,CeB,C陣1,

則平面ABC與平面B的交線是（C）

A.直線ACB.直線AB

C.直線CDD,直線BC

解析：由題意知,D￡l,luB,所以D￡B,

又因為DeAB,所以D￡平面ABC,

所以點D在平面ABC與平面B的交線上.

又因為C￡平面ABC,C￡B,

所以點C在平面B與平面ABC的交線上,

所以平面ABCn平面B=CD.故選C.

5.教室內(nèi)有一把尺子,無論怎樣放置,地面上總有這樣的直線與該尺

子所在直線（B）

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.異面

解析：由題意,尺子所在直線若與地面垂直，則在地面上總有這樣的直

線，使得它與尺子所在直線垂直,若尺子所在直線與地面不垂直，則其

必在地面上有一條投影線，在平面中一定存在與此投影線垂直的直線,

與投影垂直的直線一定與此斜線垂直.綜上,教室內(nèi)有一尺子,無論怎

樣放置，在地面上總有這樣的直線，使得它與尺子所在直線垂直.故

選B.

6.（2021?甘肅蘭州模擬）如圖所示,在正方體ABCD一ABCD中，若點E

為BC的中點，點F為BC的中點，則異面直線AF與GE所成角的余弦

值為（B）

A.-B.—

33

「V5

Dn.-2追-

C.—25

解析:不妨設(shè)正方體的棱長為1,取AD的中點G,連接AG,FG（圖略）,

易知GA〃CE,則NFAG（或其補角）為異面直線AF與3E所成的角.在

△AFG中,AG=112+(1)2=y,AF=J12+(y)2=*FG=1,

于是cosNFAG逸耳爭/**故選B.

2x；x；3

22

7.如圖,在四棱錐P-ABCD中，。為CD上的動點，Vp_04B恒為定值,且4

PDC是正三角形，則直線PD與直線AB所成角的大小是.

解析：因為Up_04B為定值,所以SAABO為定值，即0到AB的距離為定值.

因為。為CD上的動點,所以CD〃AB,

所以NPDC即為異面直線PD與AB所成的角.

因為aPDC為正三角形，所以NPDC=60°.

所以直線PD與直線AB所成的角為60°.

答案：60°

8.已知AE是長方體ABCD_EFGH的一條棱,則在這個長方體的十二條棱

中，與AE異面且垂直的棱共有條.

解析：如圖，作出長方體ABCD-EFGH.

在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱有GH,GF,BC,CD,

共4條.

答案：4

9.已知在四面體ABCD中,E,F分別是AC,BD的中點.若AB=2,CD=4,

EF±AB,則EF與CD所成角的大小為.

解析:如圖，設(shè)G為AD的中點,連接GF,GE,則GF,GE分別為AABD,△

ACD的中位線.

由此可得GF//AB,且GF=；AB=1,GE〃CD,且GE=1CD=2,

所以NFEG或其補角即為EF與CD所成的角.

又因為EF±AB,GF〃AB,所以EF±GF,

因此,在RtAEFG中，GF=1,GE=2,

sinNFEG=絲」，可得NFEG=30°,

GE2

所以EF與CD所成角的大小為30°.

答案：30°

10.如圖所示,正方體ABCD一ABCD中,E,F分別是AB和AA1的中點.

求證：

(1)E,C,D|,F四點共面;

(2)CE,DF,DA三線共點.

證明：⑴如圖，連接EF,CDHA.B.

因為E,F分別是AB,AAi的中點,

所以EF〃AB

又因為AB〃C?,

所以EF〃CD,

所以E,C,D“F四點共面.

(2)因為EF〃CD“EF〈CD”

所以CE與D,F必相交,設(shè)交點為P,

則由P￡直線CE,CEu平面ABCD,

得1^￡平面ABCD.

同理P￡平面ADDA.

又平面ABCDA平面ADDA=DA,

所以P￡直線DA,所以CE,D.F,DA三線共點.

B級綜合運用練

11.在空間中，已知直線1及不在1上兩個不重合的點A,B,過直線1

做平面a，使得點A,B到平面a的距離相等,則這樣的平面a的個數(shù)

不可能是(C)

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個

解析：⑴如圖，當直線AB與1異面時,則只有一種情況；

B

⑵如圖，當直線AB與1平行時,則有無數(shù)種情況,平面□可以繞著1

轉(zhuǎn)動;

⑶如圖，當1過線段AB的中垂面時一,有兩種情況.

故選C.

12.（多選題）（2021?北京一模）設(shè)點B為圓0上任意一點,A0垂直于

圓。所在的平面，且A0=0B,對于圓。所在平面內(nèi)任意兩條相互垂直的

直線a,b,有下列結(jié)論，正確的有（BC）

A.當直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角

B.當直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角

C.直線AB與a所成角的最小值為45°

D.直線AB與a所成角的最小值為60°

解析:如圖,AO=OB,直線a_Lb,點D,M分別為BC,AC的中點，則ZABC為

直線AB與a所成的角，ZMD0為直線AB與b所成的角.設(shè)A0=0B=l,

若NABC=60°,則OM=OD=MD,所以NMD0=60°,故B正確,A不正確;因

為AB與圓0所在平面所成的角為45°,即直線AB與平面內(nèi)所有直線

所成的角中的最小角為45°，所以直線a與AB所成角的最小值為

45°，故C正確,D不正確.故選BC.

13.四面體ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點.若BD,AC所成的角為

60°,且BD=AC=1,貝ijEF的長為.

解析:如圖，取BC的中點0,連接OE,0F,因為OE〃AC,OF〃BD,

所以0E與OF所成的銳角（或直角）即為AC與BD所成的角，而AC,BD

所成的角為60°,所以NE0F=60°或NE0F=120°.當NE0F=60°時，

1

EF=OE=OF=-.

2

當NE0F=120°時，取EF的中點M,則OM±EF,

EF=2EM=2X—.

42

答案二成包

口木,2以2

14.矩形ABCD中，AB=1,AD=V3,現(xiàn)將4ABD繞BD旋轉(zhuǎn)至AA，BD的位

置，當三棱錐Az-BCD的體積最大時，直線A，B和直線CD所成角的

余弦值為.

解析:如圖所示，因為矩形ABCD,可得AB〃CD,

Af

所以直線A，B和直線CD所成角即為A，B和直線AB所成角，

設(shè)NA，BA=O,

當三棱錐A，_BCD的體積最大時，即A'0J_平面ABCD,

因為AB=1,AD=V3,可得BD=2,

在直角三角形ABD中，可得AO=AZ0=y,

所以AA，=手，

又AB=A'又1,

在AABA'中，由余弦定理得cos0="*匕％

所以直線A，B和直線CD所成角的余弦值為;.

4

答案:;

4

15.如圖所示,A是4BCD所在平面外的一點,E,F分別是BC,AD的中點.

⑴求證:直線EF與BD是異面直線；

⑵若AC±BD,AC=BD,求EF與BD所成角的大小.

⑴證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面,從而DF與BE

共面，即AD與BC共面,所以點A,B,C,D在同一平面內(nèi)，這與A是4BCD

所在平面外的一點相矛盾，故直線EF與BD是異面直線.

⑵解:取CD的中點G,連接EG,FG,則AC〃FG,EG//BD,

所以相交直線EF與EG所成的角(或其補角)，即為異面直線EF與BD

所成的角.

又因為AC_LBD,則FG±EG.

在RtAEGF中，由EG=FG=1AC,

求得NFEG=45°,

即EF與BD所成的角為45°.

16.如圖,E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點,且AE：EB=AH：

HD=m,CF：FB=CG:GD=n.

(1)證明:E,F,G,H四點共面；

⑵叫n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？

(3)在(2)的條件下，若ACJ_BD.試證明:EG=FH.

⑴證明：因為AE：EB=AH:HD,

所以EH/7BD.

又CF：F