四川省成都2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

四川省成都七中2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.直線由x+y-l=0的傾斜角是（）

冗5兀

A.C.D.

3~6

K解析D由直線=0,得y=-Gx+l,

可得直線的斜率為一百，設(shè)傾斜角為。（0,,。＜）），貝Ijtana=-x/^,a=—.

3

K答案2C

2.某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.球B.圓錐C.圓臺(tái)D.圓柱

K解析U由三視圖還原原幾何體如圖，

可知該幾何體為圓柱.

K答案》D

3.己知T,x,—16成等比數(shù)列，則x的值為（）

A.8B.-8C.±8D.±4

工解析2x,-解成等比數(shù)列，，彳2=（-4）x（-16）,解得x=±8.

K答案1C

x+y?2

4.若x,y滿足約束條件,x-y,,2,則z=y-2x的最小值是()

x..O

A.-2B.-4C.2D.0

K解析》由約束條件作出可行域如圖，

由圖可知，A(2,0),由z=y-2x,得y=2x+z,

由圖可知，當(dāng)直線y=2x+z過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為-4.

K答案UB

5.己知直線4：(a-l)x+y-l=0和直線4：(a-l)x-y+l=0互相垂直，則實(shí)數(shù)〃的值為(

)

A.0B.-2C.0或一2D.0或2

K解析》?.?直線4：(a—l)x+y_l=0和直線4：(4_1)尤_)'+1=0互相垂直,

(a-l)2+lx(-l)=0,即〃一2a=0,解得a=0或2.

K答案UD

TT54

6.已知火〃￡(0,萬)，cos(a+/?)=K，sin,則cosa=()

A63「56「56-63

A.-----B.——C.一D.一

65656565

冗

K解析』因?yàn)閍/s(Oq),所以a+￡c(O,乃)，

512

因?yàn)閏os(a+/7)=三,所以sin(a+0=百，

43

因?yàn)閟in/?=g,所以cos/?：,，

53|2463

故cosa=cos[(a+/?)—1]=cos(a+￡)cos(J+sin(a+/?)sinp=—x-+—x—=—.

13513565

K答案2D

7.在AABC中，BC=6,AABC的面積為15,則A從的取值不可能是（）

A.15B.17C.19D.21

K解析員如圖，

在AABC中，BC=6,A4BC的面積為15,設(shè)A到BC的距離為力，

則13cH2=15，即//=5?

.??點(diǎn)A在與平行，且距離8C為5的直線上，

ABAC=(Ad+OB)(Ad+<9C)=(A(5-OC)(AO+OC)=|AO|2-|OC|2=|A0|2-9.

.?.當(dāng)。位于8c的中垂線上時(shí)，|亞|最小為5,即麗?衣的最小值為25—9=16.

結(jié)合選項(xiàng)可得，福?衣的取值不可能是15.

K答案DA

8.已知數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為q=〃cos號(hào)，S”為數(shù)列他“｝的前”項(xiàng)和，則52。22的值為（

）

A.672B.1011C.2022D.6066

R解析H由于數(shù)列伍/的通項(xiàng)公式為q,="cos—“，

27r1

所以當(dāng)〃=1時(shí)，%=cos——=——，

132

當(dāng)〃=2時(shí)，a2=2cosf=2x(-；)=-l,

當(dāng)〃=3時(shí)，/=3cos—=3,

七3

X乃

當(dāng)〃=4時(shí)，4=4cos——=-2；

3

當(dāng)〃=5時(shí)，％=5cos^^=5x(-—)=；

5322

當(dāng)〃=6時(shí)，必=6；

7

當(dāng)〃=7時(shí)，%

2

33

所以々+4+4=萬，b4+b5+b6=-,

3

故$2022=+8+4)+(b4+4+4)+...+02020+^>021+”2022)=674X—=1011.

K答案HB

9.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，它將正四棱臺(tái)體（棱臺(tái)的上下底面均

為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭43a>-aHG,其中上底面與下底面的面積之比

為1:4,方亭的高。=￡F,BF=—EF,方亭的四個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭

2

)

A.20+126B.20+6石C.5+3石D.5+66

K解析D如圖，由題意得“五/二E尸，^ABCD=,

則方亭的體積為V=,X所X(EF2+4EF2+YJEF2X4EF2)=—,

33

解得瓦'=2,則&詠=4,S.CL16,

作SWJLAB于M,BF=—EF=46,AM=^^=1,

22

貝|JEM=>/^T=石，Sa"￡=gx(2+4)x石=36，

則該方亭的表面積為：SEFH0+SABCD+4SABFE=20+12^5.

K答案UA

10.在直角梯形ABCD中，已知AB//CZ）,AD=CD=-AB=\.點(diǎn)P是梯形內(nèi)一點(diǎn)（含邊

2

.___3

界），且滿足{尸|麗=4而+〃而，1領(lǐng)兒+〃2,〃€/?},則P點(diǎn)可能出現(xiàn)的區(qū)域的面

積是（）

A.BD.-------C.-D.1

322

（解析力以A為原點(diǎn)，AB,A。所在直線為x,y軸建立如圖所示得平面直角坐標(biāo)系,

則4(0,0),5(2,0),0(0,1),設(shè)尸(x,y),

則（%,y）=2（2,0）+〃（0,1）=（24,〃）,則1=24,y=",

又1效R+〃：，則掇"+y~?

xY3

在坐標(biāo)系中回出—+y=l和—+y=5,

又點(diǎn)P是梯形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），

則。點(diǎn)可能出現(xiàn)得區(qū)域是如圖所示的陰影部分，

故P點(diǎn)可能出現(xiàn)的區(qū)域的面積是gxlxl=g.

R答案WC

11.一個(gè)長(zhǎng)方體的盒子內(nèi)裝有部分液體（液體未裝滿盒子），以不同的方向角度傾斜時(shí)液體

表面會(huì)呈現(xiàn)出不同的變化，則下列說法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

①當(dāng)液面是三角形時(shí)，其形狀可能是鈍角三角形

②在一定條件下，液面的形狀可能是正五邊形

③當(dāng)液面形狀是三角形時(shí)，液體體積與長(zhǎng)方體體積之比的范圍是（0,上］U［§，1）

66

④當(dāng)液面形狀是六邊形時(shí)，液體體積與長(zhǎng)方體體積之比的范圍是（［,

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

K解析H對(duì)于①，當(dāng)液面是三角形時(shí)，則液體所在平面必和長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面相交,

和另外三個(gè)平面不相交設(shè)相交形成的三角形為如圖所示ABC,

p.

B

則B4,PB,PC兩兩垂直，設(shè)抬=機(jī)，PB=n,PC=p,

2

則有482=汴+/,BC2=n2+p2,AC2=m2+p2,余定理得cosN8AC=——...>0,

AB-AC

則NBAC為銳角，同理可得N4BC,NACB為銳角，則當(dāng)液面是三角形時(shí)，該三角形必是

銳角三角形，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)液面是五邊形時(shí)，液面只與長(zhǎng)方體的五個(gè)面只有交線，而一個(gè)平面與長(zhǎng)方體的五

個(gè)平面相交，必有兩組相對(duì)面，又長(zhǎng)方體的每一組相對(duì)面平行，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)知,

截面五邊形必有兩組平行的邊，因正五邊形的任意兩邊都不平行，則一平面截長(zhǎng)方體所得截

面不可能是正五邊形，即液面的形狀不可能是正五邊形，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)液面形狀是三角形時(shí)，液面只與長(zhǎng)方體的三個(gè)面相交，最大液面是長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)

的三個(gè)面的面對(duì)角線圍成的三角形，

如圖中△ABC,

液面三角形頂點(diǎn)尸，D,E在棱心，PB,PC上任意移動(dòng)（除P點(diǎn)外），長(zhǎng)方體體積丫=布?

PB,PC,Vp-EFD=—.PD?PE?PFWL,PA'PB-PC=—.V,則當(dāng)三棱錐P-DEF盛滿液體時(shí)

666

液體體積與長(zhǎng)方體體積之比的范圍是（0,13,當(dāng)長(zhǎng)方體去掉三棱錐P-DEF余下部分盛

6

滿液體時(shí)，液體體積與長(zhǎng)方體體積之比的范圍是1）,所以液體體積與長(zhǎng)方體體積之比

6

的范圍是（0,J[―,1）,③正確；

66

對(duì)于④，作長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面對(duì)角線圍成的三角形，如圖中△POR和△GMM

易得平面POR//GMN.

在長(zhǎng)方體棱PM上任取一點(diǎn)A(PM除外)，過點(diǎn)A作出與平面POR平行的平面截長(zhǎng)方體可

得六邊形ABCDEF長(zhǎng)方體體積V=PM-PN*PP',三棱錐P'-PQR體積VP-PQR^^PP'

?P0PR=*

令三棱錐P-POR部分有液體，當(dāng)液面形狀是六邊形時(shí)，液面六邊形必在平面POK和平

面GMN之間，

即液面漫過△PQR所在平面但不能到△GMN所在平面，

則液體體積丫滿足［

66

當(dāng)液面六邊形在兩個(gè)平行平面PQR與平面GMN之間任意變換，不管與平面PQR平行還是

相交均滿足工丫＜口＜§匕

66

即液體體積與長(zhǎng)方體體積之比的范圍是(』，5),④錯(cuò)誤.

66

則錯(cuò)誤個(gè)數(shù)有3個(gè).

K答案2C

12.在AABC中，若AC=2,—!—+」一=」一+—!—+i,則AABC的周長(zhǎng)的最大值為

sin3tanBsinAtanA

()

A.2石+4B.277+4C.2石+7D.277+7

rzmqxi41111.-rzR1COS81COSA,

K解析U由----+-----=----+-----+1可得----+-----=----+-----+1,

sinBtanBsinAtanAsinBsinBsinAsinA

兩邊同乘sinAsin3得，sinA+sinAcosB=sinB+sinBcosA+sinAsin8,

兩邊同力口sinBcosA得，sinA+sinAcosB+sinBcosA=sin3+2sinBcosA+sinAsinB,

即sinA+sin(A+B)=sinB+2sinBcosA+sinAsin3,

又sin(A+B)=sin(4-C)=sinC,

則sinA+sinC=sinB(1+2cosA+sinA),

設(shè)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,

由正弦定理得a+c=仇1+2cosA+sinA)=2(1+2cosA+sinA)=2[1+75sin(A+cp)],

其中$訪e=三cosp

5

不妨設(shè)夕e(0,1),易得當(dāng)A+e=，時(shí)，a+c取得最大值2+2宕,

此時(shí)周長(zhǎng)最大值為2+2+2療=4+2涼

R答案XA

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把R答案》填在答題卡上.

13.己知sina+cosa=一一，aG(0,^T)則sin2a=

K解析Hvsina+cosa=一一，

5

兩邊平方得：sin2+2sinacosa+cos2a=1+sin2a=—,

25

?c24

sin2a------.

25

K答案U--

25

12

14.己知點(diǎn)(見/?)在直線元+丁=1上，當(dāng)a>0,b>0時(shí)，一+—的最小值為

ab

K解析H因?yàn)辄c(diǎn)(〃,/?)在x+y=l上，所以a+Z?=l.

所以，+2=(a+切(_L+2)=3+3￡+2..3+2&.

abahha

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?2,即。=及-1,6=2-0時(shí)等號(hào)成立.

ha

K答案23+2夜

15.在AASC中，AB=AC,BC=4,D是3C中點(diǎn)，AD=也.將AABC沿AQ折起得到

三棱錐A-BCD,使得/比9=120。，則該三棱錐A-BCD的外接球的體積為.

K解析D如圖，在AABC中，AB^AC,BC=4,。是BC中點(diǎn)，AD*.

在ABC￡＞中，由已知可得，BD=DC=2,將A4BC沿45折起得到三棱錐A-3C￡),使得

NBDC=120°,可得8c=26,

設(shè)ABCD的外心為G,則GD==2,

2

再設(shè)四面體A-BCD的外接球的球心為O,連接OG,則OG=1AO=@

22

外接球的半徑R=OO=

可得四面體A-8。的外接球的體積為V="x（叵）3=宣史.

322

K答案力宣史

2

16.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，人們把函數(shù)y=[x],xeR稱為

高斯函數(shù)(其中㈤表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[淚=3,=已知數(shù)列{%)的

TT

首項(xiàng)q=l,前"項(xiàng)和記為S”.若2為函數(shù)f(x)=[2sinx-cosx]+|sinx+cosx]+5,xe[0,—]

值域內(nèi)的任意元素，且當(dāng)整數(shù)〃>%時(shí)，都有S“+?-2s“=21-S…成立，則{《,}的通項(xiàng)公式

為—.

K解析Uf{x}=[2sinx-cosx]+[sinx+cosx]+5=[sin2x]+[5/2sin(x+—)]+5,

4

-rrjr

又xe[0,—]時(shí)，當(dāng)*=—時(shí)，sin2x=1,[sin2x]=1,

24

當(dāng)xe[0,馬U(工,勺時(shí)，sin2xe[0,1),

442

則[sin2x]=0;x+&e[',.],0sin(x+C)e[L0],則|V^sin(x+2)]=1,

44444

貝(If(x)=[2sinx-cosx]+[sinx+cosx]+5e{6,7},所以％=6或7；

又當(dāng)整數(shù)〃>A時(shí)，有S.S"=2S「S,w則S--25,用=25「S-

兩式相減得見2-2a“+|=-4+—?,

即見+WI+4+IT=24+|；當(dāng)&=6時(shí)，〃>6時(shí)，有4+7+4,-5=2a“+i，

則對(duì)一5，4用，?！?7成等差數(shù)列，設(shè)公差為4；

當(dāng)&=7時(shí)，〃>7時(shí)，有q+8+（一6=2。,用，則?！?,。向，成等差數(shù)列，

設(shè)公差為4;

則〃>7時(shí)，an+]-an_5=4,an+]-*=4，兩式相減得a?_5-%=W-4，

令d=d?-4,

則〃>7時(shí)，_6=d,即時(shí)，an+l-an=d,

故數(shù)列僅“｝從第二項(xiàng)開始為等差數(shù)列，

又S,“*-2sL2&-Si可得S?+k-Sn-(Sn-Sn_k)=21,

當(dāng)％=6時(shí)，Sn+6-S?-(S?-Sn_6)=2S6,

即(4+6+4+5+…+4+1)-3"+4-1+…+4-5)=2$6，

即361=2(%+5?+10")=2(1+5%+10")；

當(dāng)A=7時(shí)，S?+7-S?-(S?-S?-7)=2S7,

aa

即(4+7+4+5+…+n+t)一(4+n-\+…+4-6)=2s?,

即49d=2(4+6%+15d)=2(1+6出+15d),解得生=3,d=2,則g-qud,

即數(shù)列｛七｝是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則4=1+2("-1)=2〃-1.

K答案》a?=2n-｝

三、解答題(17題10分，18?22每小題10分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程

或演算步驟)

17.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，平面向量1=(1,1),Ib|=2,5的夾角為二.

4

(I)求|3々-5|；

(II)若tfi=2d-6,求比在G方向上的投影的值.

解：(I)因?yàn)槠矫嫦蛄緻=(1,1),出|=2,的夾角為工，

4

所以|a|=(產(chǎn)+仔=應(yīng),所以|34+J|=J(3a+力2=J18-6+夜x2x曰+4=癡.

(H)同8S"做包=生』二手=日

\d\\a\72

18.（12分）已知S“為等差數(shù)列血』的前"項(xiàng)和，Ss=55,d=153.

(I)求數(shù)列他“｝的通項(xiàng)公式;

(II)求數(shù)列⑵'%｝的前〃項(xiàng)和7；.

解：(I)設(shè)等差數(shù)列｛4")的首項(xiàng)為q,公差為d.

a5x4,「

。(

則51H--了-----d—55，解得《廣。；

9《+空”=1531"=3

12

故=5+3(〃T)=3〃+2；

(II)設(shè)c,=(3〃+2)?2".

故7；=(3+2)x2+(6+2)x22+……+(3〃+2)x2",①；

23

2Tn=(3+2)X2+(6+2)X2+……+(3〃+2)x2向，②；

①一②得：-北=(3+2)x2-(3〃+2)x2"”+二卬。-2),

1—2

整理得：7；=(6〃-2)?2"+2?

19.(12分)已知AABC的頂點(diǎn)8(5,1),邊上的高所在的直線方程為x-2y-5=0

(I)求直線AB的方程；

(II)在下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求直線AC的方程.

①角A的平分線所在直線方程為x+2y-13=0；

②BC邊上的中線所在的直線方程為2x-y-5=0.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解：(I)由加邊上的高在x-2y-5=0上可知，kAB=-2.

又?.?8(5,1),所以直線AB的方程為:2x+y-\i=0.

(H)若選①：：x+2y-13=0是角A的平分線.

則廣二'-1二?，解得卜:,得到A點(diǎn)坐標(biāo)：4(3,5).

[x+2y-13=0[y=5

設(shè)夕(%，%)是點(diǎn)B關(guān)于x+2y-13=0的對(duì)稱點(diǎn).

Azlx(」)=—i

則卜。一52,解得：Bf(—

9+2X%11_13=055

22

5-絲

又點(diǎn)B'(義，”)是直線AC上的點(diǎn).所以原c=―券=2

553_3711

'-5

所以得到AC的直線方程為：2x-lly+49=0.

若選②：:Zx-y-5=0是BC邊上的中線所在的直線.

有《X+)，—"=(),解得點(diǎn)A坐標(biāo)：A(4,3).

[2x-y-5=0

設(shè)點(diǎn)。(再，y),則8C的中點(diǎn)在直線2x—y—5=0上，

所以2x2|三一*L—5=0,即2百一%一1=0,則點(diǎn)C在直線2x—y—1=0上.

又點(diǎn)C在x-2y—5=0上，貝I』有F一"'一5=°,解得x-l,y=-3.

[2x-y-]=0

即C(-l,-3),所以k=--------=-

AC-1-45

所以直線AC的方程為：6x-5y-9=0.

20.(12分)如圖，在四棱錐￡-ABC。中，平面C￡)E_L平面ABC。，ZABC=ZDAB=90a,

EC=AD=2,AB=BC=\,DE=V2.

(I)證明：AB_L平面ADE；

(II)求直線EB與平面EAC所成的角的正弦值.

(I)證明：在四棱錐E-A8c。中，平面CZ)E_L平面ABC。，/ABC=ND48=90°,

EC—AD=2,AB=BC—\,DE=V2>

：/ABC=/D4B=90°,四邊形ABC。是直角梯形，AB=BC=1,

-*?AC=V2>ZCAD=45°,

222

；?CD=AD+AC-2AD.ACCOS2ZCAD=4+2-V2X-2-

：.CD2+DE2=4=CE2,HPCDYDE,

?.?平面CDE_L平面ABC。，CDEHABCD^CD,OEu平面CDE,

平面ABCD,

又ABu平面ABCD,貝lj有DELAB,

ffi]AD±AB,ADHDE=D,AD,D￡c?ADE,平面AQE；

(H)解：?.??！?平面的8,，年一妞(：4'54皿(：優(yōu)4"乂/><a=器,

又；A￡>,8Ou平面ABC。，J.DEVAD,DE±BD,

AE2=AD2+DE2=V6'BE2=BD2+DE2=V7'

AE2E2AC2

?'?cosz^AEC-<-V6'即sin/AECr^-，

2AE-ECo

??S△杷c號(hào)位ECsinNAEC=7^，

設(shè)B點(diǎn)到平面AEC的距離?為d,直線EB與平面E4C所成的角為6,

”近1

.._3VE-ABC61..cd2V7

,，?，d=-^-----=--7T—=77,,?sin

SAABC-V2-2’飛位二班而―

即直線EB與平面EAC所成的角的正弦值為近.

14

21.（12分）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)，是繼2001年北京大運(yùn)會(huì)、2011年深圳大運(yùn)會(huì)

之后，中國大陸第三次舉辦世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)，也是中國西部第一次舉辦世界性綜合運(yùn)

動(dòng)會(huì).共設(shè)籃球、排球、田徑、游泳等18個(gè)體育項(xiàng)目.屆時(shí)將有來自約170個(gè)國家和地區(qū)

的1萬余名運(yùn)動(dòng)員及官員赴蓉參加.現(xiàn)某學(xué)校決定將一個(gè)直角三角形的空地劃分為多個(gè)部分,

為該校運(yùn)動(dòng)員打造一個(gè)訓(xùn)練場(chǎng)地.已知直角AABC中，ZABC=90°,ZfiC4=30°,

BC=200m.經(jīng)過全校海選后，現(xiàn)有以下兩種設(shè)計(jì)方案：①如圖1,在AABC內(nèi)部取一點(diǎn)T,

使得7B=7M,=y；②如圖2,在斜邊AC上P,。取兩點(diǎn)P,Q,且48。=?.

QC?

(II)求方案②中訓(xùn)練場(chǎng)地AP8。的面積的取值范圍.

解：(I)-.-ZABC^90°,ZBC4=30°,BC=200m,AAB=BCtan30°=

3

200

又TB=TA,ZB771=120o,/.Z7BC=60°,TA=TB=一,

3

/.TC2=BC2+BT2-2BC?BTcos60°=2002+(—)2-2x200x(—)x』=J。。％,

3323

RZ4+TC=(2+")200

3

故跑道7A‘75,TC的長(zhǎng)度之和為包瞥米.

jr

(II)設(shè)NQBA=cr,則/PBC=--a,

6

由(I)得：8A=小，AC=^

33

，在△四中，/%.100

sinAsinNBQAsin(；-a)

BPJ:.BP100

在"BC中,