2020-2021人教版數(shù)學(xué)4教師用書：第1章 階段綜合提升 第1課弧度制、任意角三角函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)必修4教師用書：第1章階段綜合提升第1課弧度制、任意角三角函數(shù)第一課弧度制、任意角三角函數(shù)[鞏固層·知識(shí)整合]［提升層·題型探究］象限角及終邊相同的角【例1】已知α＝－800°.(1)把α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π）的形式，并指出α是第幾象限角；(2）求γ,使γ與α的終邊相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π,2），\f（π，2））)。[解］（1）∵－800°＝－3×360°＋280°,280°＝eq\f(14，9）π,∴α＝－800°＝eq\f(14π，9）＋（－3)×2π。∵α與角eq\f（14π,9）終邊相同，∴α是第四象限角．(2)∵與α終邊相同的角可寫為2kπ＋eq\f（14π，9），k∈Z的形式,而γ與α的終邊相同，∴γ＝2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z.又γ∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)，\f（π，2)))，∴－eq\f（π,2）＜2kπ＋eq\f（14π,9)＜eq\f(π，2），k∈Z，解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq\f(14π，9)＝－eq\f（4π，9).1．靈活應(yīng)用角度制或弧度制表示角．(1)注意同一表達(dá)式中角度與弧度不能混用．(2)角度制與弧度制的換算設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則αrad＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α·\f（180，π）））°，n°＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(n·\f(π，180）))rad.2．象限角的判定方法．(1)根據(jù)圖象判定．利用圖象實(shí)際操作時(shí),依據(jù)是終邊相同的角的概念，因?yàn)?°～360°之間的角與坐標(biāo)系中的射線可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，0°～360°范圍內(nèi)沒(méi)有兩個(gè)角終邊是相同的．eq\o(［跟進(jìn)訓(xùn)練]）1．在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1）最大的負(fù)角；（2）最小的正角．[解]（1)與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z）．由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°,解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50°。(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27,故所求的最小正角為β＝310°。弧度制下扇形弧長(zhǎng)及面積公式的計(jì)算【例2】已知一扇形的圓心角是α，所在圓的半徑是R.(1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值c(c＞0），當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？[解］(1）設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，∵α＝60°＝eq\f（π，3）,R＝10，∴l(xiāng)＝αR＝eq\f（10π,3）cm.S弓＝S扇－S△＝eq\f（1,2)×eq\f（10π,3)×10－eq\f（1,2）×10×10×coseq\f(π,6）＝50eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，3）－\f（\r（,3），2))）cm2.(2)扇形周長(zhǎng)c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝eq\f(c－2R,R）,∴S扇＝eq\f（1，2）αR2＝eq\f（1，2）·eq\f（c－2R，R）·R2＝eq\f（1，2）(c－2R)R＝－R2＋eq\f(1，2)cR＝－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（R－\f(c,4)）)eq\s\up24(2)＋eq\f(c2,16).當(dāng)且僅當(dāng)R＝eq\f（c，4），即α＝2時(shí)，扇形面積最大，且最大面積是eq\f（c2,16)?；《戎葡掠嘘P(guān)弧長(zhǎng)、扇形面積問(wèn)題的解題策略：1明確弧度制下弧長(zhǎng)公式l＝｜α｜r，扇形的面積公式是其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，α是扇形的圓心角；2涉及扇形的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算,關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式直接求解或列方程組求解.eq\o（［跟進(jìn)訓(xùn)練］)2．如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為6,求弓形ACB的面積．［解]∵120°＝eq\f(120，180)π＝eq\f(2，3）π，∴l(xiāng)＝6×eq\f(2，3)π＝4π，∴eq\x\to(AB）的長(zhǎng)為4π.∵S扇形OAB＝eq\f(1，2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，如圖所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝eq\f（1,2）×AB×OD＝eq\f（1,2)×2×6cos30°×3＝9eq\r（3）.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq\r(3）.∴弓形ACB的面積為12π－9eq\r(3）。任意角三角函數(shù)的定義【例3】（1）若角α的終邊上有一點(diǎn)P（－4，a）,且sinα·cosα＝eq\f(\r（3）,4），則a的值為()A．4eq\r（3) B．±4eq\r(3)C．－4eq\r（3)或－eq\f（4\r（3)，3） D。eq\r(3）(2）已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(12m，－5m）(m≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．(1)C［因?yàn)榻铅恋慕K邊上有一點(diǎn)P(－4,a）,所以tanα＝－eq\f（a,4），所以sinαcosα＝eq\f(sinαcosα，sin2α＋cos2α)＝eq\f（tanα，tan2α＋1)＝eq\f（－\f(a，4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（a,4）)）eq\s\up12（2)＋1）＝eq\f(\r（3)，4），整理得eq\r（3）a2＋16a＋16eq\r（3)＝0，（a＋4eq\r(3)）(eq\r（3）a＋4)＝0，所以a＝－4eq\r(3）或－eq\f(4\r（3）,3)。］（2）r＝eq\r(12m2＋－5m2）＝13|m｜，若m＞0，則r＝13m，α為第四象限角，sinα＝eq\f（y，r）＝eq\f（－5m,13m）＝－eq\f（5，13)，cosα＝eq\f（x，r)＝eq\f(12m，13m）＝eq\f(12,13)，tanα＝eq\f(y，x）＝eq\f（－5m,12m）＝－eq\f(5，12）。若m＜0，則r＝－13m，α為第二象限角，sinα＝eq\f(y，r)＝eq\f(－5m，－13m）＝eq\f（5，13），cosα＝eq\f（x，r)＝eq\f（12m，－13m)＝－eq\f(12,13),tanα＝eq\f（y，x）＝eq\f（－5m,12m)＝－eq\f(5,12）.利用定義求三角函數(shù)值的兩種方法.1先由直線與單位圓相交求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用正弦、余弦、正切函數(shù)的定義,求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.2取角α的終邊上任意一點(diǎn)Pa，b原點(diǎn)除外，則對(duì)應(yīng)的角α的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝\f(b,a)。當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．已知角α的終邊在直線y＝eq\r(,3)x上，求sinα，cosα，tanα值．［解］因?yàn)榻铅恋慕K邊在直線y＝eq\r(,3）x上，所以可設(shè)P（a，eq\r(，3)a）(a≠0)為角α終邊上任意一點(diǎn)．則r＝eq\r(，a2＋\r(,3）a2)＝2|a｜(a≠0)．若a＞0，則α為第一象限角,r＝2a，所以sinα＝eq\f（\r(,3)a，2a）＝eq\f(\r（,3）,2),cosα＝eq\f（a，2a）＝eq\f（1，2），tanα＝eq\f(\r（,3）a,a）＝eq\r（,3）。若a＜0，則α為第三象限，r＝－2a，所以sinα＝eq\f(\r(,3）a,－2a）＝－eq\f（\r(,3),2），cosα＝－eq\f(a,2a）＝－eq\f（1,2）,tanα＝eq\f（\r（,3)a,a）＝eq\r(,3).同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例4】（1）已知sin（－π＋θ)＋2cos（3π－θ）＝0,則eq\f（sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ）＝.(2）已知f(α）＝eq\f(sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).①化簡(jiǎn)f（α）；②若f（α)＝eq\f(1,8),且eq\f(π，4)＜α＜eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值;③若α＝－eq\f（47π,4)，求f(α)的值．思路點(diǎn)撥：先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值．（1)eq\f(1,3)［由已知得－sinθ－2cosθ＝0,故tanθ＝－2，則eq\f（sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f（tanθ＋1，tanθ－1）＝eq\f（－2＋1，－2－1）＝eq\f(1,3).］(2）[解］①f(α）＝eq\f(sin2α·cosα·tanα,－sinα－tanα)＝sinα·cosα。②由f（α)＝sinα·cosα＝eq\f(1，8）可知,(cosα－sinα）2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×eq\f(1，8）＝eq\f(3,4），又∵eq\f(π，4)＜α＜eq\f（π,2）,∴cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－eq\f（\r（3),2).③∵α＝－eq\f（47，4)π＝－6×2π＋eq\f（π,4），∴feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(47,4）π)）＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（47,4)π）)·sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(47,4)π））＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－6×2π＋\f(π，4）)）·sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f（π,4）)）＝coseq\f（π，4）·sineq\f（π，4)＝eq\f（\r（2）,2）×eq\f（\r(2），2)＝eq\f(1,2）。1．將本例（2)中“eq\f(1,8)”改為“－eq\f（1,8）"“eq\f（π，4)＜α＜eq\f（π，2）”改為“－eq\f(π,4)＜α＜0"求cosα＋sinα.[解]因?yàn)椋璭q\f（π,4)＜α＜0,所以cosα＞0，sinα＜0且｜c(diǎn)osα|＞｜sinα｜,所以cosα＋sinα＞0，又（cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，8)))＝eq\f(3,4)，所以cosα＋sinα＝eq\f（\r（3)，2)。2．將本例(2)中的用tanα表示eq\f（1,fα＋cos2α)。[解]eq\f(1，fα＋cos2α)＝eq\f（1,sinαcosα＋cos2α）＝eq\f（sin2α＋cos2α,sinαcosα＋cos2α）＝eq\f（tan2α＋1，tanα＋1）.1．牢記兩個(gè)基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f（sinα,co