2020-2021人教版數(shù)學4教師用書：第1章 1.2.1 第2課時三角函數(shù)線及其應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年人教A版數(shù)學必修4教師用書：第1章1.2.1第2課時三角函數(shù)線及其應用第2課時三角函數(shù)線及其應用學習目標核心素養(yǎng)1。了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切．(重點)2。能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題．（難點）通過三角函數(shù)線的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象，直觀想象和數(shù)學建模素養(yǎng)。1．有向線段（1)定義:帶有方向的線段．（2）表示：用大寫字母表示,如有向線段OM，MP.2．三角函數(shù)線（1）作圖：①α的終邊與單位圓交于P，過P作PM垂直于x軸，垂足為M.②過A(1，0）作x軸的垂線，交α的終邊或其反向延長線于點T。(2)圖示：（3）結(jié)論：有向線段MP、OM、AT，分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線．思考：當角的終邊落在坐標軸上時，正弦線、余弦線、正切線變得怎樣？提示：當角的終邊落在x軸上時,正弦線、正切線分別變成了一個點；終邊落在y軸上時，余弦線變成了一個點，正切線不存在．1．角eq\f（π,7)和角eq\f（8π，7）有相同的(）A．正弦線 B．余弦線C．正切線 D．不能確定C［角eq\f（π,7）和角eq\f（8π，7)的終邊互為反向延長線，所以正切線相同．]2．如圖，在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是()A．正弦線OM，正切線A′T′B．正弦線OM，正切線A′T′C．正弦線MP，正切線ATD．正弦線MP，正切線A′T′C［α為第三象限角，故正弦線為MP，正切線為AT，C正確．］3．若角α的余弦線長度為0,則它的正弦線的長度為________．1［若角α的余弦線長度為0時，α的終邊落在y軸上，正弦線與單位圓的交點為(0,1）或(0，－1），所以正弦線長度為1.］作已知角的三角函數(shù)線【例1】作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線．(1)－eq\f(π，4)；(2)eq\f(17π,6)；(3)eq\f(10π,3）.[解]如圖．其中MP為正弦線，OM為余弦線，AT為正切線．三角函數(shù)線的畫法1作正弦線、余弦線時,首先找到角的終邊與單位圓的交點，然后過此交點作x軸的垂線,得到垂足，從而得正弦線和余弦線。2作正切線時，應從A1，0點引x軸的垂線，交α的終邊α為第一或第四象限角或α終邊的反向延長線α為第二或第三象限角于點T，即可得到正切線AT.eq\o（[跟進訓練］）1．作出－eq\f(5π,8）的正弦線、余弦線和正切線．[解］如圖：sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(5π，8)))＝MP，coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（5π,8)))＝OM，taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(5π，8)））＝AT.利用三角函數(shù)線比較大小【例2】(1）已知cosα＞cosβ，那么下列結(jié)論成立的是()A．若α、β是第一象限角，則sinα＞sinβB．若α、β是第二象限角,則tanα＞tanβC．若α、β是第三象限角，則sinα＞sinβD．若α、β是第四象限角，則tanα＞tanβ（2)利用三角函數(shù)線比較sineq\f（2π，3）和sineq\f(4π,5），coseq\f(2π,3)和coseq\f（4π,5)，taneq\f(2π,3）和taneq\f（4π，5）的大?。悸伏c撥：（1）(2)（1)D［由圖（1)可知，cosα＞cosβ時,sinα＜sinβ，故A錯誤;圖（1)由圖(2)可知，cosα＞cosβ時，tanα＜tanβ,故B錯誤；圖（2)由圖(3)可知，cosα＞cosβ時，sinα＜sinβ,C錯誤；圖（3）由圖（4）可知，cosα＞cosβ時，tanα＞tanβ，D正確．]圖(4)（2)解：如圖，sineq\f（2π,3）＝MP，coseq\f（2π，3)＝OM，taneq\f(2π,3)＝AT,sineq\f(4π,5）＝M′P′,coseq\f（4π,5）＝OM′,taneq\f(4π，5）＝AT′。顯然|MP｜＞|M′P′｜，符號皆正，∴sineq\f(2π，3）＞sineq\f（4π,5）；｜OM|＜｜OM′｜，符號皆負,∴coseq\f(2π,3)＞coseq\f(4π，5）；｜AT｜＞|AT′|，符號皆負，∴taneq\f（2π,3)＜taneq\f(4π,5)。1利用三角函數(shù)線比較大小的步驟：①角的位置要“對號入座”;②比較三角函數(shù)線的長度;③確定有向線段的正負。2利用三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小的關(guān)鍵及注意點：①關(guān)鍵:在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線.，②注意點：比較大小,既要注意三角函數(shù)線的長短,又要注意方向。eq\o([跟進訓練］)2．已知a＝sineq\f（2π,7），b＝coseq\f（2π,7)，c＝taneq\f（2π,7）,則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜cD［由如圖的三角函數(shù)線知:MP＜AT,因為eq\f(2π，7)＞eq\f(2π，8)＝eq\f（π，4)，所以MP＞OM,所以coseq\f(2π,7）＜sineq\f（2π,7)＜taneq\f（2π,7），所以b＜a＜c。]3．設eq\f(π,4）＜α＜eq\f(π,2），試比較角α的正弦線、余弦線和正切線的長度．如果eq\f（π,2）＜α＜eq\f（3π,4）,上述長度關(guān)系又如何？[解]如圖所示，當eq\f（π，4）＜α＜eq\f（π,2)時，角α的正弦線為MP，余弦線為OM,正切線為AT,顯然在長度上,AT＞MP＞OM；當eq\f（π,2)＜α＜eq\f（3π，4)時，角α的正弦線為M′P′，余弦線為OM′,正切線為AT′,顯然在長度上，AT′＞M′P′＞OM′。利用三角函數(shù)線解三角不等式［探究問題］1．利用三角函數(shù)線如何解答形如sinα≥a,sinα≤a（｜a｜≤1)的不等式?提示：對形如sinα≥a，sinα≤a（|a|≤1）的不等式:圖①畫出如圖①所示的單位圓;在y軸上截取OM＝a，過點（0,a）作y軸的垂線交單位圓于兩點P和P′,并作射線OP和OP′；寫出終邊在OP和OP′上的角的集合;圖中陰影部分即為滿足不等式sinα≤a的角α的范圍，其余部分即為滿足不等式sinα≥a的角α的范圍．2．利用三角函數(shù)線如何解答形如cosα≥a,cosα≤a(｜a｜≤1）的不等式？提示：對形如cosα≥a，cosα≤a(|a|≤1)的不等式：圖②畫出如圖②所示的單位圓;在x軸上截取OM＝a，過點（a,0）作x軸的垂線交單位圓于兩點P和P′，作射線OP和OP′；寫出終邊在OP和OP′上的角的集合；圖中陰影部分即為滿足不等式cosα≤a的角α的范圍，其余部分即為滿足不等式cosα≥a的角α的范圍．【例3】利用三角函數(shù)線確定滿足下列條件的角α的取值范圍．（1）cosα＞－eq\f（\r（2），2)；（2)tanα≤eq\f（\r（3），3)；（3)|sinα|≤eq\f(1,2)。思路點撥:[解]（1)如圖，由余弦線知角α的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\}(\a\vs4\al\co1（2kπ－\f(3π，4）＜α＜2kπ＋\f(3π，4)，k∈Z）)））。（2）如圖，由正切線知角α的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}（\a\vs4\al\co1（kπ－\f（π,2）＜α≤kπ＋\f（π,6），k∈Z）)））。（3)由｜sinα|≤eq\f(1,2),得－eq\f(1,2）≤sinα≤eq\f（1,2).如圖，由正弦線知角α的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(kπ－\f（π,6））)））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（≤α≤kπ＋\f(π，6)，k∈Z）））)。1．將本例(1）的不等式改為“cosα＜eq\f（\r（2），2)”，求α的取值范圍．[解］如圖，由余弦線知角α的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\|\rc\}（\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f(π,4)＜α＜2kπ＋\f(7π,4），k∈Z)))）.2．將本例（3)的不等式改為“－eq\f（1,2）≤sinα＜eq\f(\r(3),2）"，求α的取值范圍．［解]由三角函數(shù)線可知sineq\f(π，3)＝sineq\f（2π,3)＝eq\f（\r(3),2），sineq\f(7π,6)＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，6)））＝－eq\f(1,2)，且－eq\f（1,2）≤sinθ＜eq\f（\r(3）,2),故θ的取值集合是eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(2kπ－\f（π,6），2kπ＋\f(π，3）)）∪eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f（2π,3),2kπ＋\f(7π,6）)）(k∈Z)．3．利用本例的方法，求函數(shù)y＝eq\r(,2sinx－1)的定義域．［解］要使函數(shù)有意義,只需2sinx－1≥0，即sinx≥eq\f(1,2）。由正弦線可知定義域為eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f（π,6),2kπ＋\f(5π，6）)）(k∈Z）．利用單位圓中的三角函數(shù)線解不等式的方法1首先作出單位圓,然后根據(jù)各問題的約束條件，利用三角函數(shù)線畫出角α滿足條件的終邊的位置.2角的終邊與單位圓交點的橫坐標是該角的余弦值，與單位圓交點的縱坐標是該角的正弦值.3寫角的范圍時，抓住邊界值，然后再注意角的范圍的寫法要求.提醒：在一定范圍內(nèi)先找出符合條件的角，再用終邊相同的角的表達式寫出符合條件的所有角的集合。1．本節(jié)課應重點掌握三角函數(shù)線的以下三個問題（1)三角函數(shù)線的畫法，見類型1;(2）利用三角函數(shù)線比較大小,見類型2；（3)利用三角函數(shù)線解簡單不等式，見類型3.2．三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，它們都是有向線段，線段的方向表示三角函數(shù)值的正負,與坐標軸同向為正,異向為負，線段的長度是三角函數(shù)的絕對值，這是本節(jié)重中之重．3．利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法對于sinx≥b,cosx≥a（sinx≤b，cosx≤a），求解關(guān)鍵是尋求恰當?shù)狞c,只需作直線y＝b或x＝a與單位圓相交，連接原點與交點即得角的終邊所在的位置，此時再根據(jù)方向即可確定相應的范圍正切型不等式的解法對于tanx≥c,取點（1，c),連接該點和原點并反向延長,即得角的終邊所在的位置，結(jié)合圖象可確定相應的范圍1．下列判斷中錯誤的是(）A．α一定時，單位圓中的正弦線一定B．在單位圓中，有相同正弦線的角相等C．α和α＋π有相同的正切線D．具有相同正切線的兩個角的終邊在同一條直線上B［A正確；B錯誤，如eq\f(π,6)與eq\f（5π,6)有相同正弦線;C正確，因為α與π＋α的終邊互為反向延長線;D正確．］2．如果OM,MP分別是角α＝eq\f(π，5）的余弦線和正弦線，那么下列結(jié)論正確的是()A．MP＜OM＜0 B．MP＜0＜OMC．MP＞OM＞0 D．OM＞MP＞0D［角β＝eq\f（π，4)的余弦線與正弦線相等,結(jié)合圖象可知角α＝eq\f(π,5）的余弦線和正弦線滿足OM＞MP＞0。]3．若a＝sin4,b＝cos4，則a，b的大小關(guān)系為________．a(chǎn)＜b[因為eq\f（5π,4）＜4＜eq\f(3π,2），畫出4弧度角的正弦線和余弦線(如圖），觀察可知sin4＜cos4，即a＜b.］4．在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊范圍，并由此寫出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r（3）,2)；（2）cosα≤－eq\f(1，2).［解］(1）作直線y＝eq\f(\r(3)，2）交單位圓于A，B兩點,連接OA，OB,則角α的終邊在如圖①所示的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界)，角α的取值集合為eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(π,3)＋2kπ≤α≤\