2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章三角函數(shù)、解三角形第7節(jié)三角形中的幾何計算、解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例教師用書文北師大版

PAGEPAGE7第七節(jié)三角形中的幾何計算、解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例[考綱]能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題．1．仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖3-7-1①)．①②圖3-7-12．方位角和方向角(1)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖3-7-1②)．(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°等．1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，那么α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．()(4)如圖3-7-2，為了測量隧道口AB的長度，可測量數(shù)據(jù)a，b，γ進(jìn)行計算．()圖3-7-2[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改編)海面上有A，B，C三個燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，那么BC等于()【導(dǎo)學(xué)號：66482179】A．10eq\r(,3)nmile B．eq\f(10\r(,6),3)nmileC．5eq\r(,2)nmile D．5eq\r(,6)nmileD[如圖，在△ABC中，AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°，∴eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，∴BC＝5eq\r(,6).]3．假設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，那么點(diǎn)A在點(diǎn)B的()【導(dǎo)學(xué)號：66482180】A．北偏東15° B．北偏西15°C．北偏東10° D．北偏西10°B[如下圖，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.]圖3-7-34．如圖3-7-3，要測量底部不能到達(dá)的電視塔的高度，選擇甲、乙兩觀測點(diǎn)．在甲、乙兩點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，那么電視塔的高度是()【導(dǎo)學(xué)號：66482181】A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500mD[設(shè)塔高為xm，那么由可得BC＝xm，BD＝eq\r(3)xm，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]圖3-7-45．如圖3-7-4，A，B兩點(diǎn)分別在河的兩岸，某測量者在點(diǎn)A所在的河岸邊另選定一點(diǎn)C，測得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，那么A，B兩點(diǎn)的距離為()A．50eq\r(3)mB．25eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD．50eq\r(2)mD[因?yàn)椤螦CB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，即eq\f(50,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得AB＝50eq\r(2)m．]測量距離問題如圖3-7-5，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46m，那么河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)圖3-7-560[如下圖，過A作AD⊥CB且交CB的延長線于D.在Rt△ADC中，由AD＝46m，∠ACB＝30°得AC＝92m.在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92m，由正弦定理eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，得eq\f(92,sin113°)＝eq\f(BC,sin37°)，即eq\f(92,sin67°)＝eq\f(BC,sin37°)，解得BC＝eq\f(92sin37°,sin67°)≈60(m)．][規(guī)律方法]應(yīng)用解三角形知識解決實(shí)際問題需要以下三步：(1)根據(jù)題意，畫出示意圖，并標(biāo)出條件；(2)將所求問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中(如本例借助方位角構(gòu)建三角形)，通過合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識正確求解；(3)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否符合實(shí)際意義，得出正確答案．[變式訓(xùn)練1]江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，那么兩條船相距________m.【導(dǎo)學(xué)號：66482182】10eq\r(3)[如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．]測量高度問題(2022·湖北高考)如圖3-7-6，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，那么此山的高度CD＝______m.圖3-7-6100eq\r(6)[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．][規(guī)律方法]1.在測量高度時，要準(zhǔn)確理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角．2．分清條件與所求，畫出示意圖；明確在哪個三角形內(nèi)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，并注意綜合運(yùn)用方程、平面幾何、立體幾何等知識．[變式訓(xùn)練2]如圖3-7-7，從某電視塔CO的正東方向的A處，測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在電視塔的南偏西60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，AB間的距離為35米，那么這個電視塔的高度為________米．圖3-7-75eq\r(21)[如圖，可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，∠OBC＝45°，AB＝35米．設(shè)OC＝x米，那么OA＝eq\f(\r(3),3)x米，OB＝x米．在△ABO中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝eq\f(x2,3)＋x2－eq\f(2\r(3),3)x2·cos150°，整理得x＝5eq\r(21)，所以此電視塔的高度是5eq\測量角度問題在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向、距離A處(eq\r(3)－1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75°方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)海里/小時的速度追截走私船．同時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多長時間？[解]設(shè)緝私船t小時后在D處追上走私船，那么有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°.3分根據(jù)余弦定理，可得BC＝eq\r(\r(3)－12＋22－2×2×\r(3)－1cos120°)＝eq\r(6)，由正弦定理，得sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，因此BC與正北方向垂直.7分于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BDsin∠CBD,CD)＝eq\f(10t·sin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°，又eq\f(CD,sin120°)＝eq\f(BC,sin30°)，即eq\f(10\r(3)t,\r(3))＝eq\r(6)，得t＝eq\f(\r(6),10).∴當(dāng)緝私船沿北偏東60°的方向能最快追上走私船，最少要花eq\f(\r(6),10)小時.12分[規(guī)律方法]解決測量角度問題的考前須知(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義．(2)分析題意，分清與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂〞使用．圖3-7-8[變式訓(xùn)練3]如圖3-7-8，位于A處的信息中心得悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．[解]在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20eq\r(7).4分由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)?sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).8分由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，那么cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).12分[思想與方法]解三角形應(yīng)用題的兩種情形(1)量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時