高考數(shù)學一輪復習專題十計數(shù)原理2二項式定理綜合篇課件新人教A版

考點二項式定理1.二項式定理公式(a+b)n=

an+

an-1b1+…+

an-kbk+…+

bn(n∈N*)叫做二項式定理.公式中右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式,其中各項的系數(shù)

(k=0,1,…,n)叫做①二項式系數(shù)

,式中的

an-kbk叫做二項展開式的通項,用Tk+1表示,即通項為展開式的第②

k+1

項.2.二項展開式形式上的特點(1)項數(shù)為n+1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列,從第一項開始,次數(shù)由n逐項減1直到0,字母b按升冪

排列,從第一項起,次數(shù)由零逐項增1直到n.考點清單(4)二項式系數(shù)為

,

,…,

,

.3.二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性:與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,即③

=

.

.(2)增減性與最大值:對于二項式系數(shù)

(r=0,1,2,…,n),當r<

時,二項式系數(shù)是遞增的;當r>

時,二項式系數(shù)是遞減的.當n是偶數(shù)時,二項展開式的中間一項

的二項式系數(shù)最大,即最大的二項式系數(shù)為④

.當n是奇數(shù)時,二項展開式的中間兩項

的二項式系數(shù)相等且最大,即最大的二項式系數(shù)為⑤

和⑥

.(3)二項式系數(shù)的和(a+b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n,即⑦

+

+

+…+

+

…+

=2n.二項展開式中,偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和,

即

+

+

+…=

+

+

+…=⑧2n-1

.考法一求二項展開式中特定項或特定項的系數(shù)知能拓展例1(1)(2019安徽合肥第一次教學質(zhì)量檢測,8)若

的展開式的常數(shù)項是60,則a的值為

()A.4

B.±4

C.2

D.±2(2)(2021屆江西南昌蓮塘二中3月階段性測試)

的展開式的中間一項為

.解題導引(1)常數(shù)項是指x0項的系數(shù),展開式的通項是什么?化簡通項時

用到什么運算,指數(shù)冪的運算性質(zhì)有哪些?根式如何化成指數(shù)冪形式?結(jié)

合指數(shù)冪運算化通項為最簡形式再求解.(2)共有7項,由通項公式求出中間項T4.解析(1)

的展開式的通項為Tr+1=

(ax)6-r·

=(-1)ra6-r·

,令6-

r=0,解得r=4.∴常數(shù)項為(-1)4a6-4·

=15a2=60.∴a=±2,故選D.(2)

的展開式有7項,中間項為第4項,即T4=

=-

.答案(1)D(2)-

方法總結(jié)求二項展開式中的特定項,一般是利用通項公式進行,化簡通

項后,令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時,指數(shù)為零;求有理項時,指數(shù)為

整數(shù)等),解出r,代回通項即可.考法二求二項式系數(shù)和與展開式中各項系數(shù)和例2(1)(2019陜西師大附中模擬)在二項式(1-2x)n的展開式中,偶數(shù)項的

二項式系數(shù)之和為128,則展開式的中間項的系數(shù)為

()A.-960

B.960C.1120

D.1680(2)若

的展開式中含x的項為第6項,設(shè)(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則a1+a2+…+an的值為

.解析(1)根據(jù)題意,奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和也應為128,所以在(1-2x)n的

展開式中,二項式系數(shù)之和為256,即2n=256,n=8,則(1-2x)8的展開式的中間項為第5項,且T5=

(-2)4x4=1120x4,所以展開式的中間項的系數(shù)為1120.(2)

的展開式的通項為Tr+1=

(x2)n-r·

=

(-1)rx2n-3r,因為含x的項為第6項,所以r=5,2n-3r=1,解得n=8,令x=1,得a0+a1+…+a8=(1-3)8=28,令x=0,

得a0=1,所以a1+a2+…+a8=28-1=255.答案(1)C(2)255方法總結(jié)1.“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法,對形如

(ax+b)n(a、b∈R)的式子,求展開式中各項系數(shù)之和常用賦值法,只需令x=

1即可;對形如(ax+by)n(a、b∈R)的式子,求展開式中各項系數(shù)之和,只需令

x=y=1即可.2.一般地,對于多項式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n的展開式中各項系數(shù)的和為g(1),(a+bx)n的展開式中奇數(shù)項的系數(shù)和為

[g(1)+g(-1)],(a+bx)n的展開式中偶數(shù)項的系數(shù)和為

[g(1)-g(-1)].經(jīng)典例題以下為教師用書專用例在(2x-3y)9的展開式中,求:(1)二項式系數(shù)之和;(2)各項系數(shù)之和;(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和;(4)各項系數(shù)絕對值的和.解析設(shè)(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(1)二項式系數(shù)之和為

+

+

+…+

=29.(2)令x=1,y=1得各項系數(shù)之和為a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=59,由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1,兩式相加得a0+a2+a4+a6+a8=

.故所有奇數(shù)項系數(shù)之和為

.(4)∵Tr+1=

(2x)9-r(-3y)r=(-1)r29-r·3r·

x9-r·yr,∴a1<0,a3<0,a5<0,a7<0,a9<0,∴|a0|+|a1|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9.令x=1,y=-1得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=59.例

(2020山東濟南外國語學校9月月考,16)已知x(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2

+…+a9(x-1)9,則a1+a2+…+a9=

,a2=

.解析令x=1,得a0=1,令x=2,得a0+a1+a