數(shù)學(xué)思想辦法之分類討論思想

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第3說分類討論思想

(推舉時刻：60分鐘)

一、填空題

1．正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分不為6和4的矩形，則它的體積為____________．

2．(2012·宿州模擬)若x>0且x≠1，則函數(shù)y＝lgx＋logx10的值域為____________．

3．(2012·鹽城模擬)過雙曲線2x2－y2＝2的右焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點，若AB＝4，則如此的直線共有________條．4.

函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，f(x)為奇函數(shù)，其定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，則別等式x[f(x)－f(－x)]PF2，則PF1PF2

的值為________．6．(2012·福州模擬)函數(shù)f(x)＝mx2＋mx＋1的定義域為一切實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________．

7．已知線段AB和平面α，A、B兩點到平面α的距離分不為1和3，則線段AB的中點到平面α的距離為________．

8．函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2

，則a的值是________．9．函數(shù)f(x)＝(3sinx－4cosx)|cosx|的最大值為____________________．

二、解答題

10．(2012·安徽)設(shè)函數(shù)f(x)＝22

cos????2x＋π4＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)對任意x∈R，有g(shù)????x＋π2＝g(x)，且當(dāng)x∈????0，π2時，g(x)＝12

－f(x)，求g(x)在區(qū)間[－π，0]上的解析式．

11.(2012·常州模擬)已知m∈R，求函數(shù)f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在區(qū)間[0,1]上的最大值．

12．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1－ax

－1(a∈R)．

(1)當(dāng)a≤12

時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)＝x2－2bx＋4，當(dāng)a＝14

時，若對任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求實數(shù)b的取值范圍．

答案

1．43或83

32．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

3．3

4．(－3,0)∪(0,3)

5．2或72

6．[0,4]

7．1或2

8.12或329.92

10．解(1)f(x)＝

22cos????2x＋π4＋sin2x＝

22????cos2xcosπ4－sin2xsinπ4＋1－cos2x2＝12－12

sin2x.故f(x)的最小正周期為π.

(2)當(dāng)x∈????0，π2時，g(x)＝12－f(x)＝12

sin2x，故①當(dāng)x∈???

?－π2，0時，x＋π2∈????0，π2.由于對任意x∈R，g????x＋π2＝g(x)，從而g(x)＝g????x＋π2＝12sin???

?2????x＋π2＝12sin(π＋2x)＝－12

sin2x.②當(dāng)x∈?

???－π，－π2時，x＋π∈????0，π2，從而g(x)＝g(x＋π)＝12

sin[2(x＋π)]

＝12

sin2x.綜合①②得g(x)在[－π，0]上的解析式為

g(x)＝???

12sin2x，x∈????－π，－π2，－12sin2x，x∈???

?－π2，0.

11．解①當(dāng)4－3m＝0，

即m＝43時，函數(shù)y＝－2x＋43

，它在[0,1]上是減函數(shù)，

因此ymax＝f(0)＝43.②當(dāng)4－3m≠0，即m≠43

時，y是二次函數(shù)．當(dāng)4－3m>0，即m0，它在[0,1]上的最大值只能在區(qū)間端點取得(由于此處別涉及最小值，故別需討論區(qū)間與對稱軸的關(guān)系)．

f(0)＝m，f(1)＝2－2m，

當(dāng)m≥2－2m，又m43時，二次函數(shù)y的圖象開口向下，又它的對稱軸方程x＝14－3m

0，此刻f′(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．

②當(dāng)a≠0時，令f′(x)＝0，

即ax2－x＋1－a＝0，

解得x1＝1，x2＝1a

－1.(ⅰ)當(dāng)a＝12

時，x1＝x2，h(x)≥0恒成立，此刻f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．

(ⅱ)當(dāng)0－1>1>0，當(dāng)x∈(0,1)時，h(x)>0，此刻f′(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈???

?1a－1，＋∞時，h(x)>0，此刻f′(x)0，此刻f′(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．

綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＝12

時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在????1，1a－1上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在???

?1a－1，＋∞上單調(diào)遞減．(2)因為a＝14∈?

???0，12，由(1)知當(dāng)x∈(0,1)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(1,2)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．

因此f(x)在(0,2)上的最小值為f(1)＝－12

.由于“對任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)”等價于“g(x)在[1,2]上的最小

值別大于f(x)在(0,2)上的最小值－12

”．(*)又g(x)＝(x－b)2＋4－b2，x∈[1,2]，因此

①當(dāng)b0，此刻與(*)矛盾；