(江蘇專版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章統(tǒng)計(jì)與概率課時(shí)跟蹤檢測(cè)(五十三)幾何概型文

課時(shí)追蹤檢測(cè)（五十三）幾何概型一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．在區(qū)間[－1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|≤1的概率為________．分析：因?yàn)閨x|≤1，所以－1≤x≤1，所以所求的概率為1－－22－－＝3.2答案：32．(2017·南京五校聯(lián)考)四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為________．分析：如圖，依題意可知所求概率為圖中暗影部分與長(zhǎng)方形的面積比，π即所求概率P＝暗影2－2π.S＝＝1－24長(zhǎng)方形ABCDπ答案：1－43．已知正棱錐-的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)，使得P-ABC＜1S-ABCSABCPV2V的概率是________．分析：由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面以下時(shí)，知足VP-ABC＜2V，故使得V＜2V的概率：P＝1S-ABCP-ABC1S-ABC大三棱錐的體積－小三棱錐的體積137大三棱錐的體積＝1－2＝8.答案：784．已知函數(shù)f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，若從區(qū)間[－5,5]內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)實(shí)數(shù)x0，則所取的x知足f(x)≤0的概率為________．0022－－分析：令x－x－2≤0，解得－1≤x≤2，由幾何概型的概率計(jì)算公式得P＝5－－3＝10.3答案：105．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知Ω1是會(huì)合{(x，y)|x2＋y2≤1}所表示的地區(qū)，Ω2是集合{(x，y)|y≤|x|}所表示的地區(qū)，向地區(qū)Ω1內(nèi)隨機(jī)的投一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在地區(qū)Ω2內(nèi)的概率為________．分析：作出地區(qū)Ω1(圓面)、Ω2(暗影部分)的表示圖如下圖，依據(jù)幾何概型的概率計(jì)13算公式得，該點(diǎn)落在地區(qū)Ω2內(nèi)的概率為4.3答案：4如下圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自暗影部分的概率是________．2π×2分析：設(shè)扇形的半徑為2，則其面積為＝π，記由兩段小圓弧圍121π－1成的暗影面積為S，此外三段圓弧圍成的暗影面積為S，則S＝2×42π2π2π2πππ－1＝π－2，＝2－1，S＝4×2－2×2×1＋2－1＝2－1，故暗影部分總面積為2×2π－22所以任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自暗影部分的概率為π＝1－π.2答案：1－π二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．(2018·蘇州中學(xué)高三期末)已知實(shí)數(shù)a∈[－2,5]，則a∈{x∈R|x2－2x－3≤0}的概率為________．分析：由x2－2－3≤0，解得－1≤x≤3，故所求概率＝3－－＝4.xP5－－74答案：72．取一根長(zhǎng)度為5m的繩索，拉直后在隨意地點(diǎn)剪斷，那么所得兩段繩索的長(zhǎng)度都不小于2m的概率是________．分析：記“兩段繩索的長(zhǎng)度都不小于2m”為事件A，則只好在中間1m的繩索上剪斷，1所得兩段繩索的長(zhǎng)度才都不小于2m，所以事件A發(fā)生的概率P(A)＝5.1答案：5323．在[－4,4]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)m，能使函數(shù)f(x)＝x＋mx＋3x在R上單一遞加的概率為________．分析：由題意，得f′(x)＝3x2＋2mx＋3，要使函數(shù)f(x)在R上單一遞加，則3x2＋2mx223－－＋3≥0在R上恒建立，即＝4m－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率為4－－＝34.3答案：44．已知平面地區(qū)＝{(x，)|－1≤≤1，－1≤y≤1}，在地區(qū)內(nèi)任取一點(diǎn)，則取到DyxD的點(diǎn)位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為________．分析：由題設(shè)知，地區(qū)D是以原點(diǎn)為中心的正方形，直線y＝kx將其面積均分，如圖，1所求概率為2.1答案：2ππ上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則sinx＋cosx∈[1，2]的概率是________．5．在區(qū)間－，62分析：因?yàn)閤∈ππππ3π－6，2，，，所以x＋4∈124由sinx＋cosx＝2sinx＋π2]，∈[1，42x＋πxπ，sin2412π－0故要求的概率為23ππ＝.－42－63答案：46．已知會(huì)合A＝{y|y＝x2＋2，－2≤x≤2B＝{2，在會(huì)合A中隨意x}，x|x＋2x－3≤0}取一個(gè)元素a，則a∈B的概率是________．分析：A＝{y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2}＝{y|－1≤y≤8}．B＝{x|x2＋2x－3≤0}＝{x|－3≤x≤1}.1－－4則所求的概率為8－－＝9.3答案：49a－27．(2018·無錫調(diào)研)設(shè)a∈[0,10]，則函數(shù)g(x)＝x在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的概率為________．－2分析：因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝x在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以a－2＜0，解得a＜2，所以函數(shù)(a－2在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的概率21)＝＝＝.gxxP1051答案：5如圖，正四棱錐S-ABCD的極點(diǎn)都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O內(nèi)任取一點(diǎn)，則這點(diǎn)取自正四棱錐內(nèi)的概率為________．11錐3×2×2R×2R·R分析：設(shè)球的半徑為R，則所求的概率為P＝V球＝43＝πR312π.1答案：2π9．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M.1求四棱錐M-ABCD的體積小于的概率；6求M落在三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率．解：(1)正方體-1111中，設(shè)-的高為h1S1，令×四邊形ABCD×＝，ABCDABCDMABCD3h61因?yàn)镾四邊形ABCD＝1，所以h＝2.若體積小于1，則h＜1，即點(diǎn)在正方體的下半部分，62M12V正方體1所以P＝V正方體＝2.1因?yàn)閂三棱柱＝2×1×1＝2，1V三棱柱1所以所求概率P1＝V正方體＝2.10．已知袋子中放有大小和形狀同樣的小球若干，此中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為14的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的1概率是2.求n的值．(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次拿出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次拿出的小球標(biāo)號(hào)為b.①記“2≤a＋b≤3”為事件A，求事件A的概率；②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒建立”的概率．解：(1)依題意共有小球n＋2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)，從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，1取到標(biāo)號(hào)為2的小球概率為n＋2＝2，得n＝2.①?gòu)拇又胁环呕氐仉S機(jī)抽取2個(gè)小球，(a，b)所有可能的結(jié)果為(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12種，82而知足2≤a＋b≤3的結(jié)果有8種，故P(A)＝12＝3.②由①可知，(a－)2≤4，故2＋2＞4，(，y)能夠當(dāng)作平面中的點(diǎn)的坐標(biāo)，則所有結(jié)bxyx果所組成的地區(qū)為Ω＝{x，yx≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，2122－4π·2π由幾何概型得概率為P＝22＝1－4.三登臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．(2018·蘇州考前模擬)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，cosπx的值介于0到1之22間的概率為________．分析：在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，即x∈[－1,1]時(shí)，要使cosπx的值介于0到21222之間，需使－π≤πx≤－π或π≤πx≤π，所以－1≤x≤－或≤x≤1，區(qū)間長(zhǎng)度為，22233223332由幾何概型知，cosπx的值介于0131到之間的概率為2＝.2231答案：32．(2018·啟東中學(xué)檢測(cè))?α∈R，n∈[0,2]，向量c＝(2n＋3cosα，n－3sinα)的長(zhǎng)度不超出6的概率為________．分析：|c|＝n＋3cosα2＋n－3sinα25＝42＋12ncosα＋9cos2α＋n2－6sinα＋9sin2αnn＝9＋5n2＋12ncosα－6nsinα≤6，化簡(jiǎn)得5n2＋6n(2cosα－sinα)≤27，即5n21＋652cosα－1α≤27，即52＋65·sin5cos(α＋φ)≤27，此中tanφ＝5255127－5227－5227－522＝2，當(dāng)n>0時(shí)，變形得cos(α＋φ)≤nnn65n，因?yàn)?5n>0，令65n≥1，即5n＋65－27≤0，解得0≤≤35，此時(shí)向量c的長(zhǎng)度不超出6，又∈[0,2]，由幾何概型的nn5n35c的長(zhǎng)度不超出535概率公式得向量6的概率為2＝10.35答案：103．已知對(duì)于x的二次函數(shù)f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.(1)若a，b分別表示將一質(zhì)地平均的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后投擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)的概率．若a，b∈[1,6]，求知足y＝f(x)有零點(diǎn)的概率．解：(1)設(shè)(a，b)表示一個(gè)基本領(lǐng)件，則投擲兩次骰子的所有基本領(lǐng)件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，，(6,5)，(6,6)，共36個(gè)．用A表示事件“y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)”，即＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，則a＋1＝2b.則A包括的基本領(lǐng)件有(1,1)，(3,2)，(5,3