應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

1/1應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

我所認(rèn)識(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

一在前面兩章的分別學(xué)習(xí)了關(guān)于應(yīng)力與應(yīng)變的學(xué)習(xí)，第三章的本構(gòu)關(guān)系講述了應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系從而構(gòu)成了彈塑性力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系。

在單向應(yīng)力狀態(tài)下，理想的彈塑性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系及其簡(jiǎn)單滿足胡克定律即

,E,,XX

在三維應(yīng)力狀態(tài)下需要9個(gè)分量，即應(yīng)力應(yīng)變需要9個(gè)分量，于是可以把單向應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系推廣到三維應(yīng)力狀態(tài)，及推廣到廣義的胡克定律

本式應(yīng)該是91個(gè)應(yīng)變分量單由于切應(yīng)力互等定理，此時(shí)后面的三個(gè)應(yīng)力與式中的切應(yīng)力想等即現(xiàn)在剩余36個(gè)應(yīng)變分量。

(1)具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的線彈性體的應(yīng)力應(yīng)變公式如下

(2)正交各向異性彈性體的彈塑性體公式如下

(3)各向同性彈性體的本構(gòu)方程

各向同性彈性體在彈性狀態(tài)下，主應(yīng)力方向與主應(yīng)變方向重合容易證明。在主應(yīng)變空間里，由于應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸重合，各向同性彈性體體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變之間滿足:

,,,,,，，CCCxxyz111213

,,,,,，，CCCyxyz212223

,,,,,，，CCCzxyz313233(2-3)

,,,,,,yyxzxz對(duì)的影響與對(duì)以及對(duì)的影響是相同的，即有

,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和對(duì)的影響相同，即，同理有和CC=3132等，則可統(tǒng)一寫(xiě)為:

CCCa==,112233

CCCCCCb=====,122113312332(2-4)

所以在主應(yīng)變空間里，各向同性彈性體獨(dú)立的彈性常數(shù)只有2個(gè)。在任意的坐標(biāo)系中，同樣可以證明彈性體獨(dú)立的彈性參數(shù)只有2個(gè)。

廣義胡可定律如下式

,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz,,,，[()],,,,,,,,yzyyxz

2GE,,

,1,zx,,,,，[()]zx,,,,,,,zzxy,2GE,,

EGv泊松比剪切模量E:彈性模量/楊氏模量,2(1),，

,,,E虎克定律,G,,

對(duì)于應(yīng)變能函數(shù)理解有點(diǎn)淺在此就不多做介紹了。2屈服條件拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系曲線

P,,A0

,ll0,,l

BC:屈服階段,

,CD:強(qiáng)化階段塑性階段,

,DE:局部變形階段,

彈性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)

1.應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系;即應(yīng)力主軸與全量應(yīng)變主軸重合

2.彈性變形是可逆的，與應(yīng)變歷史(加載過(guò)程)無(wú)關(guān)，即某瞬時(shí)的物體形狀、尺寸只與該瞬時(shí)的外載有關(guān)，而與該瞬時(shí)之前各瞬間的載荷情況無(wú)關(guān)。

單向拉伸塑性變形下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

1.應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系

2.塑性變化不可逆——無(wú)單值一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

3.對(duì)于應(yīng)變硬化材料，卸載后的屈服應(yīng)力比初始屈服應(yīng)力高

彈塑性力學(xué)常用的簡(jiǎn)化模型

1.理想彈性力學(xué)模型

,,,E

2.理想彈塑性力學(xué)模型

E,,,,,s,,,,,,,ss,

3.線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型(雙線性強(qiáng)化力學(xué)模型)

E,,,,,s,,,()，,,E,,,,,1sss,

4.冪強(qiáng)化力學(xué)模型

n,,,A

n:強(qiáng)化指數(shù):0,n,1

5.理想塑性力學(xué)模型(剛塑性力學(xué)模型)

,,,s

6.線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型

,,,,，Es1

塑性變形時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系

彈性力學(xué)是以應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系的廣義Hooke定律為其基礎(chǔ)的;而在塑性力學(xué)的范圍內(nèi)，一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系是非

線性的，同時(shí)這種非線性的特征，又與所研究的具體材料和塑性應(yīng)變有關(guān)。

塑性變形過(guò)程中的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系十分復(fù)雜，相關(guān)的理論較多，但可將它們分為兩大類，即增量理論和全量理論。

增量理論

在彈性極限范圍內(nèi)，彈性全量應(yīng)變與當(dāng)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)有確定的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而與加載的歷程無(wú)關(guān)。但由于塑性變形的不可恢復(fù)性，塑性全量應(yīng)變與當(dāng)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)不是單值關(guān)系，而與加載的歷史有關(guān)。因此，當(dāng)材料發(fā)生塑性變形時(shí)，即使應(yīng)

力水平相同，不同加載歷程所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變值也會(huì)不同。同樣，對(duì)于同一應(yīng)變值，不同加載歷程所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值也會(huì)不同。因此，只有明確了加載歷程，才能得到應(yīng)力應(yīng)變間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

既然塑性變形時(shí)的應(yīng)變與加載歷史有關(guān)，而且也不容易得到全量應(yīng)變與應(yīng)力狀態(tài)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，人們自然想到建立塑性變形每一瞬時(shí)應(yīng)變?cè)隽颗c當(dāng)時(shí)應(yīng)力狀態(tài)之間的關(guān)系，又因?yàn)榻饘偎苄宰冃芜^(guò)程中體積的變化可以忽略，人們又會(huì)想到建立每一瞬時(shí)應(yīng)變?cè)隽颗c當(dāng)時(shí)應(yīng)力偏量之間的關(guān)系，增量理論便建立了這樣的關(guān)系，這里的“增量”指的是應(yīng)變?cè)隽?，是相?duì)全量應(yīng)變而言的。

增量理論又稱流動(dòng)理論，是歷史上最早提出來(lái)的闡述塑性變形過(guò)程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的理論，代表性的有Levy-Mises(列維,米賽斯)理論和Prandtl-Reuss(普朗特,勞斯)理論。

需要說(shuō)明的是，Levy-Mises理論和Prandtl-Reuss理論都只能在加載的情況下使用，卸載時(shí)須按Hooke定律計(jì)算。

全量理論

全量理論又稱形變理論，它所建立的是應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系，這一點(diǎn)和彈性理論極為相似，但全量理論要求變形體受簡(jiǎn)單加載，即要求各應(yīng)力分量在加載過(guò)程中按同一比例增加，因而變形體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力主軸方向不發(fā)生變化，顯然，這一要求限定了全量理論的應(yīng)用范圍。

有代表性的全量理論是Hencky(漢基)理論和Ильющин(依留辛)簡(jiǎn)單加載定理。

在Hencky和Nadai(納代依)工作的基礎(chǔ)上，A.Ильющин于1943年將形變理論的形式和所必須滿足的條件進(jìn)行了整理，提出了物體內(nèi)每個(gè)單元都處于簡(jiǎn)單加載的具體條件，并認(rèn)為物體處于簡(jiǎn)單加載狀態(tài)，即當(dāng)外荷載從一開(kāi)始即按同一比例系數(shù)增加時(shí)，由形變理論計(jì)算的結(jié)果是正確的。

滿足簡(jiǎn)單加載的四個(gè)具體條件是:

(1)小變形，即塑性變形和彈性變形屬于同一量級(jí);

,,12(2)，即材料為不可壓縮體;

(3)荷載(包括體力)按比例單調(diào)增長(zhǎng)，變形體處于主動(dòng)變形過(guò)程，即應(yīng)力強(qiáng)度不斷增加，在變形過(guò)程中不出現(xiàn)中間卸載的情況，如有位移邊界條件，只能是零位移邊界條件;

n,,,Aee(4)材料的應(yīng)力——應(yīng)變曲線具有的冪函數(shù)形式。

卸載時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

對(duì)于外力按比例減小的簡(jiǎn)單卸載，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力和應(yīng)變分量的改變量之間也存在類似的線性關(guān)系。

由于加載時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變改變量按彈塑性體計(jì)算，而卸載時(shí)則按彈性體計(jì)算，故當(dāng)全部荷載卸除后物體內(nèi)會(huì)有殘余應(yīng)力和應(yīng)變存在，顯然，其數(shù)值為卸載前后值之差。

四(加載條件加載和卸載準(zhǔn)則

1(理想塑性材料加載和卸載

由于理想塑性材料的加載面和屈服面總是保持一致，所以，加載函數(shù)和屈服函數(shù)可以統(tǒng)一表示為

它們均與塑性變形的大小和加載歷史