課線代件另一6-1二次型及其形

復習1.方陣A可對角化：①n階方陣A可對角化A有n個線性無關(guān)的特征向量推論:如果n階矩陣A的n個特征值互不相等,則A可對角化．②A可對角化對A的每個特征值λ,皆成立的對角線元素為A的特征值，P的n列為對應的特征向量.2.實對稱矩陣的正交對角化①特征值全為實數(shù).②對每個特征值λ

，都有③屬于不同特征值的特征向量必正交。A可正交對角化，即存在正交陣Q，使思考題:設n階實對稱陣A滿足A2

=

A

，且r(A)=

r，求|2I

-A|的值.解：設

∵A是實對稱陣，且r(A)=

r可逆陣P

，使∴A

-2I

有特征值-2(n–r重)和-1(r重)思考題:已知3階實可逆陣A、B,A的特征值為此處為互異正整數(shù)，若B的特征值為－5,1,7,且求，并寫出的相似對角陣.解:由題意知A可對角化，即存在可逆陣P，使……第六章二次型二次型及其標準形正定二次型與正定矩陣第一節(jié)二次型及其標準形二次型及有關(guān)概念第六章二次型化二次型為標準形例對二次曲線作坐標變換可化為標準形線性變換稱為二次型.1、定義一、二次型及有關(guān)概念含有n個變量的二次齊次函數(shù)當aij是復數(shù)時，f稱為復二次型．當aij是實數(shù)時，f稱為實二次型．說明：我們只考慮實二次型．

只含有平方項的二次型稱為標準形．例如都為二次型；而也為標準形.(1)用和號表示對二次型2、表示法取aij=aji,則2aijxixj=aijxixj+ajixj

xi,于是(2)用矩陣表示若記則二次型可記作f

＝xTAx，其中A為實對稱矩陣．二次型與對稱矩陣之間存在一一對應的關(guān)系：任給一個二次型可唯一地確定一個對稱矩陣；任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．實對稱矩陣A稱為二次型f

的矩陣；

f稱為實對稱矩陣A的二次型；實對稱矩陣A的秩稱為二次型f

的秩；標準形的矩陣為對角陣.【例1】

試寫出下列二次型的矩陣【解】說明雖然實際表達式中只有三個不同變量，但必須按記號中出現(xiàn)的變量個數(shù)為準．不過一般不特別指明的話，總以實際出現(xiàn)的不同變量數(shù)為其矩陣的維數(shù)．【解】以題意，該二次型的矩陣應為【例2】試寫出下列二次型的矩陣．【解】一般二次型f(x)＝xTBx的矩陣為(因為f(x)=fT(x))問題：給定二次型，如何即即x=Py(|P

|≠0)，使二次型在新變量下成標準形，即關(guān)于為標準形,也即要使成為對角陣.確定一個可逆的線性變換由于對任一對稱陣A，總可找到正交陣Q，使二、化二次型為標準形定義：對n階方陣A,B，若存在滿秩陣P，使成立B=PTAP,則稱A與B合同．合同關(guān)系滿足：自反性，對稱性，傳遞性化二次型為標準形使實對稱矩陣合同于實對角矩陣即A與既相似又合同.定義:

若Q為正交陣，則線性變換y=Qx

稱為正交變換．定理1

任給二次型總有正交變換x＝Qy，使f化為標準形其中為f的矩陣A=(aij)的特征值．1、正交變換法【例3】

求正交變換x＝Qy，將化為標準形.并問f＝2表示什么曲面？【解】對應的特征向量

規(guī)范化記,則令x＝Qy，則表示雙曲面.用正交變換化二次型為標準形的具體步驟：1.將二次型表成矩陣形式f

＝xTAx

，求出A；2.求出A的所有特征值;

3.求出對應于特征值的特征向量；4.將特征向量正交化，單位化得，記；5.作正交變換x＝Qy，則得f的標準形注意:(1)f

＝xTAx

經(jīng)過正交變換化成的標準形，其系數(shù)一定是A的特征值．(2)正交變換保持向量的長度不變.

即若x＝Qy是正交變換，則必有

(3)用正交變換化二次型為標準形，其特點是保持幾何形狀不變．【例4】設二次型經(jīng)正交變換x＝Qy

化成則常數(shù)a=___、b=___、r(A)=___.【解】f

＝xTAx,A的特征值0，1，4.由0+1+4=1+a+1得a=3再由|A|=0可得b=1進一步可求出正交變換x＝Qy

r(A)=2

對應于特征值0、1、4的特征向量規(guī)范化得記則正交變換為x＝Qy.

【例5】已知A為3階實對稱矩陣，二次型f

＝xTAx經(jīng)正交變換x=Qy化為標準形，其中矩陣，且．試求所作的變換x=Qy．【解】由Q正交知，兩兩正交，且由題設知A的特征值為1,1,－4,是對應于－4的特征向量．設A的對應于特征值1的特征向量為，則由知由此可得A的對應于特征值1的線性無關(guān)特征向量經(jīng)正交化，規(guī)范化得即因此，正交變換x=Qy為用正交變換化二次型為標準形，其特點是保持幾何問題：形狀不變．2.(拉格朗日)配方法有沒有其它方法,也可以把二次型化為標準形？令即記滿秩陣則x=Pz時，有用配方法例3中用正交變換可化為標準形規(guī)范形為令即記滿秩陣則x=Pz時，有用配方法用正交變換x＝Qy可化為標準形例4中規(guī)范形為1.若二次型含有xi的平方項，則直接配方;拉格朗日配方法的步驟：2.若二次型中不含有平方項，但是aij≠

0(i≠j),則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再配方.即

【例6】化二次型為標準形，并寫出所作的可逆線性變換．得標準形所作的可逆線性變換為x=P1P2

z

，即

【解】令即x=P1

y，

可逆有再令即即

y=P2

z，

可逆規(guī)范形可見，二次型的標準形是不唯一的.但不論變換如何，標準形中非零系數(shù)的個數(shù)總是確定的，即為r(A)也即為二次型的秩.進一步還有：西爾維斯特(Sylvester)慣性律:對給定的二次型f

＝xTAx

，其任一標準形中正系數(shù)個數(shù)和負系數(shù)個數(shù)均為確定的數(shù)，分別稱為f的正慣性指數(shù)和負慣性指數(shù)，記作稱為符號差.由Sylvester慣性律可進一步將標準形規(guī)范化：稱為二次型f的規(guī)范形.規(guī)范形的系數(shù)分別為1,…,1,－1,…,－1,0,…,0在這個順序下，二次型的規(guī)范形是唯一的.

所以一個二次型的標準形可以不止一個，但它的規(guī)范形是唯一的.由此可給二次型分類.(1,－1,0可以不同時出現(xiàn)).復習2.二次型:f(x1,x2,…,xn)＝xTAx其中A=AT

二次型f與對稱陣A一一對應,A的秩稱為f

的秩