-新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE12空間向量基本定理新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.理解空間向量的共線、共面基本定理，并能應(yīng)用定理解決一些問(wèn)題數(shù)學(xué)抽象2.了解空間向量的基本定理及其意義直觀想象“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”這句話出自老子《道德經(jīng)》第四十二章．《說(shuō)文解字》有對(duì)這句話的注釋．首先確認(rèn)“一”是地平線，然后進(jìn)一步確定：“一生二”是指由地平線延伸出天和地兩個(gè)平面；“二生三”是指天、地分開后，形成中間的“空”；“三生萬(wàn)物”則是指萬(wàn)物生長(zhǎng)于天地之間的“空”．因此，古人觀察地平線、天地和萬(wàn)物的存在狀態(tài)，最后總結(jié)成“一生二，二生三，三生萬(wàn)物”這句話．聯(lián)系一下我們學(xué)過(guò)的平面向量基本定理，可以概括為給出一組二維的基底可以生成平面中所有的向量；推廣到三維空間，仍然為給出一組三維的基底，可以生成空間中的所有向量．[問(wèn)題](1)零向量能不能作為一個(gè)基向量？(2)當(dāng)基底確定后，空間向量基本定理中實(shí)數(shù)組(x，y，z)是否唯一？知識(shí)點(diǎn)一共面向量定理1．共線向量基本定理空間中，若a≠0且b∥a，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．2．共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使c＝xa＋yb．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))共線．()(2)向量eq\o(AB,\s\up7(→))與向量eq\o(CD,\s\up7(→))是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上．()(3)若向量a，b，c共面，則表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面．()答案：(1)√(2)×(3)×2．若a與b不共線，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，則()A．m，n，p共線 B．m與p共線C．n與p共線 D．m，n，p共面解析：選D由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝eq\f(1,2)m＋eq\f(1,2)n，又知m與n不共線，所以m，n，p共面．3．非零向量e1，e2不共線，使ke1＋e2與e1＋ke2共線的k的值是________．解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共線，則ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1，))所以k＝±1.答案：±1知識(shí)點(diǎn)二空間向量基本定理如果空間中的三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫作空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫作基向量．若p＝xa＋yb＋zc，則稱xa＋yb＋zc為p在基底{a，b，c}下的分解式．共線向量基本定理、共面向量定理、空間向量基本定理的比較共線向量基本定理共面向量定理空間向量基本定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(如果a≠0,且b∥a))?存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa如果a，b不共線，則a，b，c共面?存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使c＝xa＋yb如果空間中三個(gè)向量a，b，c不共面對(duì)于空間中的任意一個(gè)向量p?存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zceq\a\vs4\al()1．構(gòu)成基底的三個(gè)向量中，可以有零向量嗎？提示：不可以．2．在四棱錐O-ABCD中，eq\o(OA,\s\up7(→))可表示為xeq\o(OB,\s\up7(→))＋yeq\o(OC,\s\up7(→))＋zeq\o(OD,\s\up7(→))且唯一，這種說(shuō)法對(duì)嗎？提示：對(duì)．1．已知a，b，c是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是()A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋C．a(chǎn)，2b，b－c D．c，a＋c，a－c答案：C2.如圖，已知四面體ABCD的三條棱eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝c，eq\o(AD,\s\up7(→))＝d，M為BC的中點(diǎn)，試用基向量b，c，d表示向量eq\o(DM,\s\up7(→))．解：∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴eq\o(DM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))]＝eq\f(1,2)[(b－d)＋(c－d)]＝eq\f(1,2)(b＋c－2d).空間向量共線問(wèn)題[例1](鏈接教科書第16頁(yè)練習(xí)A組2題)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點(diǎn)，且eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，BD與AC交于點(diǎn)M.求證：C1，O，M三點(diǎn)共線．[證明]如圖，連接AO，AC1，A1C1.∵eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))．∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))－2eq\o(AM,\s\up7(→))，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC1,\s\up7(→))－2eq\o(AM,\s\up7(→)))＋eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up7(→))．∵eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，∴C1，O，M三點(diǎn)共線．eq\a\vs4\al()1．要判定空間圖形中的兩向量共線，往往尋找圖形中的三角形或平行四邊形，并利用向量運(yùn)算法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而使其中一個(gè)向量表示為另一個(gè)向量的倍數(shù)關(guān)系，即可證得這兩向量共線．2．證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法(1)eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))(λ∈R)；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1).[跟蹤訓(xùn)練]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))．求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c.∵eq\o(A1E,\s\up7(→))＝2eq\o(ED1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up7(→))，∴eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up7(→))，∴eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(A1F,\s\up7(→))－eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(EA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up7(→))．∴E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．空間向量共面問(wèn)題[例2](鏈接教科書第13頁(yè)例1)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，求證：eq\o(B1C,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))，eq\o(OC1,\s\up7(→))是共面向量．[證明]設(shè)eq\o(C1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(C1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(C1C,\s\up7(→))＝c，∵四邊形B1BCC1為平行四邊形，∴eq\o(B1C,\s\up7(→))＝c－a.∵O是B1D1的中點(diǎn)，∴eq\o(C1O,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，∴eq\o(OC1,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(OD1,\s\up7(→))＝eq\o(C1D1,\s\up7(→))－eq\o(C1O,\s\up7(→))＝b－eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)(b－a).∵eq\o(D1D,\s\up7(→))＝eq\o(C1C,\s\up7(→))，∴eq\o(D1D,\s\up7(→))＝c，∴eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(OD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1D,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(b－a)＋c.若存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(B1C,\s\up7(→))＝xeq\o(OD,\s\up7(→))＋yeq\o(OC1,\s\up7(→))(x，y∈R)成立，則c－a＝xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（b－a）＋c))＋yeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)（a＋b）))＝－eq\f(1,2)(x＋y)a＋eq\f(1,2)(x－y)b＋xc.∵a，b，c不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)（x＋y）＝－1，,\f(1,2)（x－y）＝0，,x＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴eq\o(B1C,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))，∴eq\o(B1C,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))，eq\o(OC1,\s\up7(→))是共面向量．1．解決向量共面的策略(1)若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)；(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過(guò)程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來(lái)表示．2．證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的等價(jià)結(jié)論(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))eq\o(MB,\s\up7(→))；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→))).eq\a\vs4\al()[跟蹤訓(xùn)練]如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，N為AC上一點(diǎn)，且AN∶NC＝2，求證：A1，B，N，M證明：設(shè)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，則eq\o(A1B,\s\up7(→))＝b－a，∵M(jìn)為eq\o(DD1,\s\up7(→))的中點(diǎn)，∴eq\o(A1M,\s\up7(→))＝c－eq\f(1,2)a，又∵AN∶NC＝2，∴eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(b＋c)，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(b＋c)－a＝eq\f(2,3)(b－a)＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,2)a))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up7(→))．∴eq\o(A1N,\s\up7(→))，eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))為共面向量．又∵三向量有相同的起點(diǎn)A1，∴A1，B，N，M四點(diǎn)共面．基底的判斷及應(yīng)用角度一基底的判斷[例3](鏈接教科書第15頁(yè)例2)已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up7(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up7(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))}能否作為空間的一個(gè)基底？[解]假設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共面，由向量共面的充要條件知存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OA,\s\up7(→))＝xeq\o(OB,\s\up7(→))＋yeq\o(OC,\s\up7(→))成立．∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∵{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，∴e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1))此方程組無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OA,\s\up7(→))＝xeq\o(OB,\s\up7(→))＋yeq\o(OC,\s\up7(→))成立．∴eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不共面．故{eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))}能作為空間的一個(gè)基底．eq\a\vs4\al()基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底；(2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底；②假設(shè)a＝λb＋μc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無(wú)解，則不共面，能作為基底．角度二空間向量基本定理的應(yīng)用[例4]如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝c，點(diǎn)M，N分別是BC′，B′C′的中點(diǎn)，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))．[解]eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝b＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(c－b)＝b＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(A′B′,\s\up7(→))＋eq\o(B′N,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(A′B′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up7(→))＝a＋b＋eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up7(→))－eq\o(A′B′,\s\up7(→)))＝a＋b＋eq\f(1,2)(c－b)＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.[母題探究]1．(變條件)若把本例中的eq\o(AA′,\s\up7(→))＝a改為eq\o(AC′,\s\up7(→))＝a，其他條件不變，則結(jié)果又是什么？解：eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝b＋eq\f(1,2)(a－b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))＋eq\o(C′N,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(C′B′,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up7(→))－eq\o(A′B′,\s\up7(→)))＝a－eq\f(1,2)(c－b)＝a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.2.(變條件、變?cè)O(shè)問(wèn))如圖所示，本例中增加條件“P在線段AA′上，且AP＝2PA′”，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(MP,\s\up7(→))．解：eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\o(MC′,\s\up7(→))＋eq\o(C′A′,\s\up7(→))＋eq\o(A′P,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up7(→))－eq\o(A′C′,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→)))－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)[eq\o(AA′,\s\up7(→))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))]－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋c－b)－c－eq\f(1,3)a＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.eq\a\vs4\al()用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底；(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果；(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．[跟蹤訓(xùn)練]設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．給出下列向量組：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間的基底的向量組有________個(gè)．解析：如圖，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up7(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up7(→))，c＝eq\o(AD,\s\up7(→))，則x＝eq\o(AB1,\s\up7(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up7(→))，z＝eq\o(AC,\s\up7(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up7(→))．由A，B1，D1，C四點(diǎn)不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作為空間的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作為基底．答案：31．O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則()A．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共線B．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))共線C．eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共線D．O，A，B，C四點(diǎn)共面解析：選D由eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能構(gòu)成基底，知eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))三向量共面，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)共面．2．給出下列命題：①若{a，b，c}可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可作為空間的基底；②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量組{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底，否則就不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，顯然②正確．③中由eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))共面且過(guò)相同點(diǎn)B，故A，B，M，N共面．下面證明①④正確．①假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，從而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c與a，b共面與條件矛盾．∴d與a，b不共面．同理可證④也是正確的．3．從空間一點(diǎn)P引出三條射線PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分別取eq\o(PQ,\s\up7(→))＝a，eq\o(PR,\s\up7(→))＝b，eq\o(PS,\s\up7(→))＝c，點(diǎn)G在PQ上，且PG＝2GQ，H為RS的中點(diǎn)，則eq\o(GH,\s\up7(→))＝________．(用a，b，c表示)解析：如圖，eq\o(GH