頻域分析5-控制系統(tǒng)的相對(duì)

1§5-5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

一、相對(duì)穩(wěn)定性

在工程應(yīng)用中，由于環(huán)境溫度的變化、元件的老化以及元件的更換等，會(huì)引起系統(tǒng)參數(shù)的改變，從而有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此在選擇元件和確定系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，這就是所謂自動(dòng)控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題。例如，圖5-52（a）和（b）所示的兩個(gè)最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線（實(shí)線）沒(méi)有包圍點(diǎn)，由奈氏判據(jù)知它們都是穩(wěn)定的系統(tǒng)，但圖5-52（a）所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)A距離點(diǎn)較遠(yuǎn)，圖5-52（b）所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)B距離點(diǎn)較近。假定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系統(tǒng)由于系統(tǒng)參數(shù)的改變比原來(lái)增加了百分之五十，則圖5-52（a）中的A點(diǎn)移動(dòng)到A’

點(diǎn)，仍在點(diǎn)右側(cè)，系統(tǒng)還是穩(wěn)定的；而圖5-52(b)中的B點(diǎn)則移到點(diǎn)的左側(cè)（B’點(diǎn)），系統(tǒng)便不穩(wěn)定了。可見(jiàn)，前者較能適應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的變化，即它的相對(duì)穩(wěn)定性比后者好。2圖5-52系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性3二、穩(wěn)定裕度

通常用穩(wěn)定裕度來(lái)衡量系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性或系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，其中包括系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。

圖5-53最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度4所謂相角裕度是指幅值穿越頻率所對(duì)應(yīng)的相移與－1800角的差值，即

（5-125）對(duì)于最小相位系統(tǒng)，如果相角裕度，系統(tǒng)是穩(wěn)定的（圖5-53a）），且值愈大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性愈好。如果相角裕度，系統(tǒng)則不穩(wěn)定（圖5-53（b））。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線穿過(guò)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

相角裕度的含義使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的臨界狀態(tài)時(shí)的開(kāi)環(huán)頻率特性的相角減小（對(duì)應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng)）或增加（對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定系統(tǒng)）的數(shù)值。（一）相角裕度

如圖5—53所示，我們把GH平面上的單位圓與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線的交點(diǎn)頻率稱為幅值穿越頻率或剪切頻率，它滿足（5-124）5（二）

幅值裕度

如圖5-53所示，我們把系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線與GH平面負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)頻率稱為相位穿越頻率，顯然它應(yīng)滿足（5-126）所謂幅值裕度Kg是指相位穿越頻率所對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)幅頻特性的倒數(shù)值，即

（5-127）

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)幅值裕度Kg>1(），系統(tǒng)是穩(wěn)定的(圖5-53(a))，且Kg值愈大,系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性愈好。如果幅值裕度，(),系統(tǒng)則不穩(wěn)定(圖5-53(b))。當(dāng)Kg=1時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線穿過(guò)點(diǎn)。是臨界穩(wěn)定狀態(tài)?？梢?jiàn)，求出系統(tǒng)的幅值裕度Kg后，便可根據(jù)Kg值的大小來(lái)分析最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定程度。6幅值裕度的含義

使系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定的臨界狀態(tài)時(shí)的開(kāi)環(huán)頻率特性的幅值增大（對(duì)應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng)）或縮?。▽?duì)應(yīng)不穩(wěn)定系統(tǒng)）的倍數(shù)。幅值裕度也可以用分貝數(shù)來(lái)表示，分貝（5-128）因此，可根據(jù)系統(tǒng)的幅值裕度大于、等于或小于零分貝來(lái)判斷最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。

這里要指出的是，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的好壞不能僅從相角裕度或幅值裕度的大小來(lái)判斷，必須同時(shí)考慮相角裕度和幅角裕度。這從圖5-54（a）和（b）所示的兩個(gè)系統(tǒng)可以得到直觀的說(shuō)明，圖5-54（a）所示系統(tǒng)的幅值裕度大，但相角裕度??；相反，圖5-54（b）所示系統(tǒng)的相角裕度大，但幅值裕度小，這兩個(gè)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性都不好。對(duì)于一般系統(tǒng)，通常要求相角裕度=300～600，幅值裕度（6分貝）。7較小較大、gKga)(圖5-54穩(wěn)定裕度的比較較小較大、Kgbg)(8三、相角裕度和幅值裕度的求解方法

通常有三種求解系統(tǒng)相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、極坐標(biāo)圖法和伯德圖法。下面通過(guò)實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明。（一）解析法

根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率的開(kāi)環(huán)頻率特性，由式（5-124）和式（5-125）求出相角裕度；由式（5-126）和式（5-127）求出幅值裕度，如果幅值裕度用分貝數(shù)表示，則由式（5-128）求出。

例5-9已知最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試求出該系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度。解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為其幅頻特性和相頻特性分別是9由式（5-124）令，得由式（5-125）得由式（5－126），令得由式（5－127）得10（二）極坐標(biāo)圖法

在GH平面上作出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖，并作一單位圓，由單位圓與開(kāi)環(huán)頻率特性的交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線與負(fù)實(shí)軸的夾角求出相角裕度；由開(kāi)環(huán)頻率特性與負(fù)軸交點(diǎn)處的幅值的倒數(shù)得到幅值裕度Kg。

圖5-55例5-9極坐標(biāo)圖

在上例中，先作出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線如圖5-55所示，作單位圓交開(kāi)環(huán)頻率特性曲線于A點(diǎn)，連接OA，射線OA與負(fù)實(shí)軸的夾角即為系統(tǒng)的相角裕度。開(kāi)環(huán)頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為由此得到系統(tǒng)的幅值裕度11

（三）伯德圖法

畫(huà)出系統(tǒng)的伯德圖，由開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性與零分貝線（即軸）的交點(diǎn)頻率，求出對(duì)應(yīng)的相頻特性與－1800線的相移量，即為相角裕度。當(dāng)對(duì)應(yīng)的相頻特性位于–1800線上方時(shí)，；反之，當(dāng)對(duì)應(yīng)的相頻特性位于–1800線下方時(shí)，。然后，由相頻率特性與-1800線的交點(diǎn)頻率,求出對(duì)應(yīng)幅頻特性與零分貝線的差值，即為幅值裕度Kg的分貝數(shù)。當(dāng)對(duì)應(yīng)的幅頻特性位于零分貝線下方時(shí)，，反之，當(dāng)對(duì)應(yīng)的幅頻特性位于零分貝線上方時(shí)，。例5—9的伯德圖如圖5-56所示。從圖中，可直接得到幅值穿越頻率

,相角穿越頻率，相角裕度，幅值裕度。圖5-56例5-9題Bode圖12

比較上述三種解法不難發(fā)現(xiàn)：

解析法

比較精確，但計(jì)算步驟復(fù)雜，而且對(duì)于三階以上的高階系統(tǒng)，用解析法是很困難的。

圖解法

以極坐標(biāo)圖和伯德圖為基礎(chǔ)的圖解法，避免了繁鎖的計(jì)算，具有簡(jiǎn)便、直觀的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于高階系統(tǒng)尤為方便。不過(guò)圖解法是一種近似方法，所得結(jié)果有一定誤差，誤差的大小視作圖的準(zhǔn)確性而定。伯德圖法和極坐標(biāo)法雖然都是圖解法，但前者不僅可直接從伯德圖上獲得相角裕度和幅值裕度，而且還可直接得到相應(yīng)的幅值穿越頻率和相位穿頻率。同時(shí)伯德圖較極坐標(biāo)圖方便，因此在工程實(shí)踐中得到更為廣泛的應(yīng)用。13三頻段：低頻、中頻、高頻區(qū)段低頻段和系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系：開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的漸近線在第一個(gè)交接頻率之前的頻段。由系統(tǒng)的型別和開(kāi)環(huán)增益決定，故給定輸入后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可由靜態(tài)誤差系數(shù)法計(jì)算中頻段和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)定性的關(guān)系：開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線在剪切頻率附近的區(qū)域，這段特性反映了閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性信息。一般希望L(w)在中頻段的斜率為-20dB/dec，且占據(jù)較寬頻帶，此時(shí)系統(tǒng)具有較大的相角裕度，