交通運輸系統管理02

交通運輸系統管理02第1頁/共75頁規(guī)范分析認識問題探尋目標綜合方案模型化優(yōu)化或仿真系統評價決策(分析)NY初步分析規(guī)范分析綜合分析第2頁/共75頁系統模型化通過模型來表述系統的要素和結構，以進行后續(xù)的系統分析工作。模型是優(yōu)化仿真的基礎系統評價與決策分析也需要模型第3頁/共75頁模型定義模型：現實系統的替代物，對現實系統抽象（或模仿）表達的結果；在一定應用條件下，應能反映系統的組成部分（要素）；組成部分之間的相互關系；系統中蘊含的因果推理關系。第4頁/共75頁模型的特征是現實世界（被研究系統）部分的抽象；抽象的出發(fā)點通常是被研究系統的某方面的結構或功能特性；模型的構成只考慮（1）與要分析的問題有關的因素（要素）；（2）有關因素（要素）之間的相互關系;（2）與問題有關的因果關系;第5頁/共75頁建立模型的一般原則描述現實（現實性）高于現實（減低分析問題的復雜性）兩者兼顧只包括與研究目的相關的信息考慮模型的精度（準確性）要求考慮模型的粒度（分解層次）要求第6頁/共75頁模型化的優(yōu)勢利用模型可以進行虛擬試驗(推理與計算)有如下優(yōu)勢：模型簡潔、形式化。（方便）可以通過模擬快速反應自然條件下漫長的過程（快速）可以反復試驗（可重復）試驗的成本相對來說比較低（經濟）特別是，對某些不允許進行試驗的系統進行模擬研究（突破制約）第7頁/共75頁模型的局限性模型的“局部描述”本質決定其局限性只是在某些方面可以用模型分析來替代對現實系統的研究但是，模型的有些方面不能替代現實系統。通過模型推出的理論結果必須再拿到現實中去檢驗----實驗比如CAD模型第8頁/共75頁構造模型的步驟明確目的和要求進行一般語言描述抓住主要變量及關系確定模型結構估計模型參數進行實驗研究是否與現實相符？結束修正模型第9頁/共75頁形象模型物理模型第10頁/共75頁形象模型CAD模型第11頁/共75頁概念模型第12頁/共75頁數學模型132023/3/2D=50,000D=100,000D=50,000Cap=60,000Cap=200,000$4$5$2$3$4$5$2$1$2$0問題：如何調配，運輸費用最少？第13頁/共75頁數學模型線性規(guī)劃模型142023/3/2GoalFunction:minTC=0x(p1,w1)+5x(p1,w2)+4x(p2,w1)+2x(p2,w2)+3x(w1,c1)+4x(w1,c2)+5x(w1,c3)+2x(w2,c1)+1x(w2,c2)+2x(w2,c3)subjectto:x(p2,w1)+x(p2,w2)60000x(p1,w1)+x(p2,w1)=x(w1,c1)+x(w1,c2)+x(w1,c3)x(p1,w2)+x(p2,w2)=x(w2,c1)+x(w2,c2)+x(w2,c3)x(w1,c1)+x(w2,c1)=50000x(w1,c2)+x(w2,c2)=100000x(w1,c3)+x(w2,c3)=50000allvariablesgreaterthanorequaltozero.第14頁/共75頁優(yōu)化物流網絡最優(yōu)配送策略啟發(fā)式規(guī)則線性規(guī)劃MSSolverFoundationinExcel152023/3/2第15頁/共75頁Heuristicsand

theNeedforExactAlgorithms單一產品兩個生產廠p1和p2生產廠p1產能為每年200,000件。生產廠p2產能為每年60,000件。兩個生產廠有同樣的生產成本。有兩個倉庫分別為w1和w2具有相等的倉庫搬運成本

。有三個區(qū)域市場c1,c2和c3年需求分別為50,000,100,000和50,000件。第16頁/共75頁圖示化模型生產成本相同

倉儲成本相同第17頁/共75頁求解技術1.準確算法：尋找最優(yōu)方案2.啟發(fā)式：尋找“滿意”方案，不一定最優(yōu)第18頁/共75頁HeuristicsAlgorithmsAheuristicmethodisparticularlyusedtorapidlycometoasolutionthatishopedtobeclosetothebestpossibleanswer,or'optimalsolution'.Heuristicsare"rulesofthumb",educatedguesses,intuitivejudgmentsorsimplycommonsense.Aheuristicisageneralwayofsolvingaproblem.第19頁/共75頁啟發(fā)式方法1:

將每個市場區(qū)分配給最近的倉庫。根據運輸成本分配每個生產廠的供應?？偝杀?$1,120,000第20頁/共75頁啟發(fā)式方法2:

根據到每個生產廠到各市場的總運輸成本分配P1-W1-C1 $3P1-W2-C1 $7P2-W1-C1 $7P2-W2-C1 $4P1-W1-C2 $4P1-W2-C2 $6P2-W1-C2 $8P2-W2-C2 $3P1-W1-C3 $5P1-W2-C3 $7P2-W1-C3 $9P2-W2-C3 $4C1從W1進貨，C2和C3從W2進貨第21頁/共75頁啟發(fā)式方法#2:

根據到每個市場的總運輸成本分配總成本=$920,000P1-W1-C1 $3P1-W2-C1 $7P2-W1-C1 $7P2-W2-C1 $4P1-W1-C2 $4P1-W2-C2 $6P2-W1-C2 $8P2-W2-C2 $3P1-W1-C3 $5P1-W2-C3 $7P2-W1-C3 $9P2-W2-C3 $4第22頁/共75頁運籌學算法 前面描述的問題可以用以下線性規(guī)劃問題表示。

設如下的運輸流量變量x(p1,w1),x(p1,w2),x(p2,w1)和x(p2,w2)表示從不同生產廠到不同倉庫的年流量。x(w1,c1),x(w1,c2),x(w1,c3)代表從倉庫w1到顧客區(qū)c1,c2和c3的年流量。x(w2,c1),x(w2,c2),x(w2,c3)代表從倉庫w2到c1,c2和c3的年流量。第23頁/共75頁最小成本的目標函數為:min0x(p1,w1)+5x(p1,w2)+4x(p2,w1)+2x(p2,w2)+3x(w1,c1)+4x(w1,c2)+5x(w1,c3)+2x(w2,c1)+1x(w2,c2)+2x(w2,c3)滿足以下約束:x(p2,w1)+x(p2,w2)60000x(p1,w1)+x(p2,w1)=x(w1,c1)+x(w1,c2)+x(w1,c3)x(p1,w2)+x(p2,w2)=x(w2,c1)+x(w2,c2)+x(w2,c3)x(w1,c1)+x(w2,c1)=50000x(w1,c2)+x(w2,c2)=100000x(w1,c3)+x(w2,c3)=50000所有的流量變量大于或等于零.精確算法

線性規(guī)劃制造廠P1的產能限制<=20萬？？第24頁/共75頁線性規(guī)劃第25頁/共75頁最優(yōu)模型

線性規(guī)劃第26頁/共75頁EXCELSolver方法TransportationProblem272023/3/2第27頁/共75頁282023/3/2第28頁/共75頁EXCELSolverApproach292023/3/2第29頁/共75頁EXCELSolverApproach302023/3/2第30頁/共75頁312023/3/2第31頁/共75頁EXCELSolverApproachHerewespecify:TheobjectiveistotalcostatcellJ16Thevariables????,j

arelocatedinthetableE16:G17Theconstraintsareformedbycalculatingthesums∑??????,??and∑i????,??andcomparingthosequantitieswiththeavailablesupplyandrequireddemand.Theconditions????,j

≥0arespecifiedintheoptionsdialogwherewecheckthe“assumenon-negative”option.Inadditionwespecifythemodeltobelinearbychecking“assumelinearmodel”.322023/3/2第32頁/共75頁EXCELSolverApproachDisadvantage:Itisdifficulttorecognizethemodel332023/3/2第33頁/共75頁EXCELSolverApproach342023/3/2第34頁/共75頁群智能理論352023/3/2第35頁/共75頁SwarmIntelligenceSwarmIntelligence(SI)的概念最早由Beni、Hackwood和在分子自動機系統中提出。分子自動機中的主體在一維或二維網格空間中與相鄰個體相互作用，從而實現自組織。1999年，Bonabeau、Dorigo和Theraulaz在他們的著作《SwarmIntelligence:FromNaturaltoArtificialSystems中對群智能進行了詳細的論述和分析，給出了群智能的一種不嚴格定義：任何一種由昆蟲群體或其它動物社會行為機制而激發(fā)設計出的算法或分布式解決問題的策略均屬于群智能。第36頁/共75頁SwarmIntelligence(續(xù))Swarm可被描述為一些相互作用相鄰個體的集合體，蜂群、蟻群、鳥群都是Swarm的典型例子。

魚聚集成群可以有效地逃避捕食者，因為任何一只魚發(fā)現異常都可帶動整個魚群逃避。螞蟻成群則有利于尋找食物，因為任一只螞蟻發(fā)現食物都可帶領蟻群來共同搬運和進食。第37頁/共75頁SwarmIntelligence(續(xù))一只蜜蜂或螞蟻的行為能力非常有限，它幾乎不可能獨立存在于自然世界中，而多個蜜蜂或螞蟻形成的Swarm則具有非常強的生存能力，且這種能力不是通過多個個體之間能力簡單疊加所獲得的。

社會性動物群體所擁有的這種特性能幫助個體很好地適應環(huán)境，其根本原因在于個體之間存在著信息交互能力。第38頁/共75頁SwarmIntelligence(續(xù))

信息的交互過程不僅僅在群體內傳播了信息，而且群內個體還能處理信息，并根據所獲得的信息（包括環(huán)境信息和附近其它個體的信息）改變自身的一些行為模式和規(guī)范，這樣就使得群體涌現出一些單個個體所不具備的能力和特性，尤其是對環(huán)境的適應能力。這種對環(huán)境變化所具有適應的能力可以被認為是一種智能，也就是說動物個體通過聚集成群而涌現出了智能。

因此，Bonabeau將SI的定義進一步推廣為：無智能或簡單智能的主體通過任何形式的聚集協同而表現出智能行為。第39頁/共75頁SwarmIntelligence(續(xù))JamesKennedy和RussellC.Eberhart在2001年出版了《SwarmIntelligence》，是群智能發(fā)展的一個重要歷程碑，因為此時已有一些群智能理論和方法得到了應用。他們不反對Bonabeau關于SI定義，贊同其定義的基本精神，但反對定義中使用“主體”一詞。其理由是“主體”所帶有自治性和特殊性是許多Swarm的個體所不具備和擁有的，這將大大限制Swarm的定義范圍。他們認為暫時無法給出合適的定義，贊同由MarkMillonas（1994）提出的構建一個SI系統所應滿足的五條基本原則：第40頁/共75頁SwarmIntelligence(續(xù))[1]ProximityPrinciple:群內個體具有能執(zhí)行簡單的時間或空間上的評估和計算的能力。[2]QualityPrinciple:群內個體能對環(huán)境（包括群內其它個體）的關鍵性因素的變化做出響應。[3]PrincipleofDiverseResponse:群內不同個體對環(huán)境中的某一變化所表現出的響應行為具有多樣性。[4]StabilityPrinciple:不是每次環(huán)境的變化都會導致整個群體的行為模式的改變。[5]AdaptabilityPrinciple:環(huán)境所發(fā)生的變化中，若出現群體值得付出代價進行改變的機遇，群體必須能夠改變其行為模式。第41頁/共75頁SwarmIntelligence(續(xù))《SwarmIntelligence》最重要的觀點是：Mindissocial，也就是認為人的智能是源于社會性的相互作用，文化和認知是人類社會性不可分割的重要部分，這一觀點成為了群智能發(fā)展的基石。群智能已成為有別于傳統人工智能中連接主義和符號主義的一種新的關于智能的描述方法。群智能的思路，為在沒有集中控制且不提供全局模型的前提下尋找復雜的分布式問題求解方案提供了基礎。在計算智能領域已取得成功的兩種基于SI的優(yōu)化算法是蟻群算法和粒子群算法。第42頁/共75頁SwarmIntelligence(續(xù))

目前，已有的基于SI的優(yōu)化算法都是源于對動物社會通過協作解決問題行為的模擬，它主要強調對社會系統中個體之間相互協同作用的模擬。這一點與EC不同，EC是對生物演化中適者生存的模擬。與EC一樣的是，SI的目的并不是為了忠實地模擬自然現象，而是利用他們的某些特點去解決實際問題。另一個與EC的相同點是,基于SI的優(yōu)化算法也是概率搜索算法。第43頁/共75頁SwarmIntelligence(續(xù))

目前，已有的群智能理論和應用研究證明群智能方法是一種能夠有效解決大多數優(yōu)化問題的新方法，更重要是,群智能潛在的并行性和分布式特點為處理大量的以數據庫形式存在的數據提供了技術保證。無論是從理論研究還是應用研究的角度分析,群智能理論及應用研究都是具有重要學術意義和現實價值的。第44頁/共75頁SwarmIntelligence(續(xù))

由于SI的理論依據是源于對生物群落社會性的模擬，因此其相關數學分析還比較薄弱，這就導致了現有研究還存在一些問題。首先，群智能算法的數學理論基礎相對薄弱，缺乏具備普遍意義的理論性分析，算法中涉及的各種參數設置一直沒有確切的理論依據，通常都是按照經驗型方法確定，對具體問題和應用環(huán)境的依賴性比較大。其次，同其它的自適應問題處理方法一樣，群智能也不具備絕對的可信性，當處理突發(fā)事件時,系統的反應可能是不可測的,這在一定程度上增加了其應用風險。另外,群智能與其它各種先進技術(如:神經網絡、模糊邏輯、禁忌搜索和支持向量機等)的融合還不足。第45頁/共75頁

粒子群算法(particleswarmoptimization，PSO)由Kennedy和Eberhart在1995年提出，該算法模擬鳥集群飛行覓食的行為，鳥之間通過集體的協作使群體達到最優(yōu)目的，是一種基于SwarmIntelligence的優(yōu)化方法。同遺傳算法類似，也是一種基于群體疊代的，但并沒有遺傳算法用的交叉以及變異，而是粒子在解空間追隨最優(yōu)的粒子進行搜索。PSO的優(yōu)勢在于簡單容易實現同時又有深刻的智能背景，既適合科學研究，又特別適合工程應用，并且沒有許多參數需要調整。PSO算法簡介第46頁/共75頁JamesKennedyreceivedthePh.D.degreefromtheUniversityofNorthCarolina,ChapelHill,in1992.HeiswiththeU.S.DepartmentofLabor,Washington,DC.HeisaSocialPsychologistwhohasbeenworkingwiththeparticleswarmalgorithmsince1994.Hehaspublisheddozensofarticlesandchaptersonparticleswarmsandrelatedtopics,incomputerscienceandsocialsciencejournalsandproceedings.HeisacoauthorofSwarmIntelligence(SanMateo,CA:MorganKaufmann,2001),withR.C.EberhartandY.Shi,nowinitsthirdprinting.第47頁/共75頁RussellC.Eberhart(M’88–SM’89–F’01)receivedthePh.D.degreeinelectricalengineeringfromKansasStateUniversity,Manhattan.HeistheChairandProfessorofElectricalandComputerEngineering,PurdueSchoolofEngineeringandTechnology,IndianaUniversity–PurdueUniversityIndianapolis(IUPUI),Indianapolis,IN.HeiscoeditorofNeuralNetworkPCTools(1990),coauthorofComputationalIntelligencePCTools(1996),coauthorofSwarmIntelligence(2001),ComputationalIntelligence:ConceptstoImplementations(2004).Hehaspublishedover120technicalpapers.Dr.EberhartwasawardedtheIEEEThirdMilleniumMedal.In2002,hebecameaFellowoftheAmericanInstituteforMedicalandBiologicalEngineering.第48頁/共75頁PSO產生背景之一：復雜適應系統CAS理論的最基本的思想可以概述如下：

我們把系統中的成員稱為具有適應性的主體(AdaptiveAgent)，簡稱為主體。所謂具有適應性，就是指它能夠與環(huán)境以及其它主體進行交流，在這種交流的過程中“學習”或“積累經驗”，并且根據學到的經驗改變自身的結構和行為方式。整個系統的演變或進化，包括新層次的產生，分化和多樣性的出現，新的、聚合而成的、更大的主體的出現等等，都是在這個基礎上出現的。第49頁/共75頁復雜適應系統（CAS）續(xù)CAS的四個基本特點：(1)首先，主體(AdaptiveAgent)是主動的、活的實體；(2)與環(huán)境(包括個體之間)的相互影響，相互作用，是系統演變和進化的主要動力；(3)這種方法不象許多其他的方法那樣，把宏觀和微觀截然分開，而是把它們有機地聯系起來；(4)這種建模方法還引進了隨機因素的作用，使它具有更強的描述和表達能力。第50頁/共75頁PSO產生背景之二:人工生命

人工生命是來研究具有某些生命基本特征的人工系統。人工生命包括兩方面的內容：①研究如何利用計算技術研究生物現象；②研究如何利用生物技術研究計算問題(NatureComputation)。我們現在關注的是第二部分的內容?，F在已經有很多源于生物現象的計算技巧，例如,人工神經網絡是簡化的大腦模型.遺傳算法是模擬基因進化過程的。現在我們討論另一種生物系統：社會系統，更確切地說，是由簡單個體組成的群落與環(huán)境以及個體之間的互動行為，也可稱做"群智能"。第51頁/共75頁基本PSO算法

粒子群優(yōu)化算法源于1987年Reynolds對鳥群社會系統boids的仿真研究，boids是一個CAS。在boids中，一群鳥在空中飛行，每個鳥遵守以下三條規(guī)則：1）避免與相鄰的鳥發(fā)生碰撞沖突；2）盡量與自己周圍的鳥在速度上保持協調和一致；3）盡量試圖向自己所認為的群體中靠近。僅通過使用這三條規(guī)則，boids系統就出現非常逼真的群體聚集行為，鳥成群地在空中飛行，當遇到障礙時它們會分開繞行而過，隨后又會重新形成群體。第52頁/共75頁基本PSO算法（續(xù)）Reynolds僅僅將其作為CAS的一個實例作仿真研究，而并未將它用于優(yōu)化計算中。

Kennedy和Eberhart在中加入了一個特定點，定義為食物，鳥根據周圍鳥的覓食行為來尋找食物。他們的初衷是希望通過這種模型來模擬鳥群尋找食源的現象，然而實驗結果卻揭示這個仿真模型中蘊涵著很強的優(yōu)化能力，尤其是在多維空間尋優(yōu)中。第53頁/共75頁基本PSO算法(續(xù))PSO中，每個優(yōu)化問題的解都是搜索空間中的一只鳥。稱之為“粒子(Particle)”。所有的粒子都有一個由被優(yōu)化的函數決定的適應值，每個粒子還有一個速度決定他們飛翔的方向和距離。然后粒子們就追隨當前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索.PSO初始化為一群隨機粒子。然后通過疊代找到最優(yōu)解。在每一次疊代中，粒子通過跟蹤兩個"極值"來更新自己。第一個就是粒子本身所找到的最優(yōu)解。這個解叫做個體極值pBest.另一個極值是整個種群目前找到的最優(yōu)解。這個極值是全局極值gBest。另外,也可以不用整個種群而只是用其中一部分的鄰居。第54頁/共75頁粒子群算法第55頁/共75頁算法步驟第56頁/共75頁應用實例1求函數f=x^2+y^2+z^2+x*y+x^2*y的最小值({x,y,z}∈{{-2,2},{-2,3},{-2,4}})迭代次數xyzf當前最優(yōu)1

0.359707

0.220272

-0.222421

0.3351142

2-1.94700.03195

-3.89033

2-

2

-0.0859

-3.99210

2-

2

0.00065-4100

2-

20.0004-4第57頁/共75頁應用實例2求f(x)=Exp[-0.1x]*Sin[x]的最小值,(x∈{-10,10})在x=-7.95259時取得最小值搜索次數最小值1

-1.129942

-1.173063

-2.1687510

-2.20425100

-2.20425第58頁/共75頁算法實踐及其解釋依概率1搜索到最優(yōu)解，即在統計意義上能較好的收斂到全局最優(yōu)解，一般情況100次實驗能有80次搜索成功。早熟問題：若粒子的當前位置恰是全局最好位置,那么速度更新方程式就只剩下自身，這將會導致早熟。應用方面還結合了其它智能算法進行改進、傳統優(yōu)化算法的結合等。第59頁/共75頁基本PSO算法(續(xù))

粒子群初始位置和速度隨機產生，然后按公式(1)(2)進行迭代，直至找到滿意的解。目前，常用的粒子群算法將全體粒子群(Global)分成若干個有部分粒子重疊的相鄰子群，每個粒子根據子群(Local)內歷史最優(yōu)Pl調整位置，即公式(2)中Pgd換為Pld。第60頁/共75頁ParticleSwarm研究熱點IEEETRANSACTIONONEVOLUTIONARYCOMPUTION于2004年出版了第3卷：SPECIALISSUEONPSO。RussellC.Eberhart,YuhuiShi在卷首語中指出了當前PSO研究的幾個主要方向及熱點：1。算法分析；2。粒子群拓撲結構；3。參數選擇與優(yōu)化；4。與其他演化計算的融合；5。應用。第61頁/共75頁車輛路徑問題

車輛路徑問題(VehicleRoutingProblem，VRP)由Dantzig和Ramser于1959年首次提出的，它是指對一系列發(fā)貨點(或收貨點)，組成適當的行車路徑，使車輛有序地通過它們，在滿足一定約束條件的情況下，達到一定的目標(諸如路程最短、費用最小，耗費時間盡量少等)，屬于完全NP問題，在運籌、計算機、物流、管理等學科均有重要意義。第62頁/共75頁帶時間窗車輛路徑問題帶時間窗的車輛路徑問題(VehicleRoutingProblemwithTimeWindows,VRPTW)是在VRP問題上加了客戶要求訪問的時間窗口。許多問題都可以歸結為VRPTW問題來處理(如郵政投遞、火車及公共汽車的調度等)，所以對它的研究越來越受到人們的重視。先后出現了一般啟發(fā)式算法和神經網絡、遺傳算法、禁忌搜索和模擬退火等現代啟發(fā)式算法。第63頁/共75頁帶時間窗車輛路徑問題（續(xù)）

時間窗車輛路徑問題一般描述為：（1）有一個中心倉庫，擁有K輛車，有L個發(fā)貨點運輸任務需要完成。（2）第k輛車的最大載重量為qk

(k=1,..,K)；（4）第i個發(fā)貨點的貨運量為gi(i=1,…,L)，(max(gi)≤max(qi))，（5）完成發(fā)貨點i任務需要的時間(裝貸或卸貨)表示為Ti，且任務i必須在時間窗口[ETi,LTi]完成，其中ETi為任務i的允許最早開始時間，LTi為任務i的允許最遲開始時間。如果車輛到達發(fā)貨點i的時間早于ETi，則車輛需在i處等待；如果車輛到達時間晚于LTi，任務i將被延遲進行。（6）求滿足貨運要求的運行費用最少的車輛行駛線路。第64頁/共75頁VRPTW的整數規(guī)劃描述：第65頁/共75頁VRPTW模型的退化

這個模型通用性很強，經過參數的不同設定，可以將其轉換為其他組合優(yōu)化問題的數學模型：（1）若(1)中ETi=0,LTi→∞，則VRPTW模型就變成了普通的VRP模型；（2）若僅有一個車輛被利用，則該問題就變成了TSP問題；（3）若去掉約束(2)，則變成了m－TSPTW問題。第66頁/共75頁帶時間窗車輛路徑問題（續(xù)）

如何找到一個合適的表達方法，使粒子與解解向量對應，是實現算法的關鍵問題之一。構造一個2L維的空間對應有L個發(fā)貨點任務的VRP問題，每個發(fā)貨點任務對應兩維：完成該任務車輛的編號k，該任務在k車行駛路徑中的次序r。為表達和計算方便，將每個粒子對應的2L維向量X分成兩個L維向量：Xv(表示各任務對應的車輛)和Xr(表示各任務在對應的車輛路徑中的執(zhí)行次序)。第67頁/共75頁例如，設VRP問題中發(fā)貨點任務數為7，車輛數為3，若某粒子的位置向量X為：發(fā)貨點任務號:1234567Xv

：1222233Xr：1431221則該粒子對應解路徑為：車1：010車2：045320車3：0760粒子速度向量V與之對應表示為Vv和Vr。第68頁/共75頁

該表示方法的最大優(yōu)點是使每個發(fā)貨點都得到車輛的配送服務，并限制每個發(fā)貨點的需求僅能由某一車輛來完成，使解的可行化過程計算大大減少。雖然該表示方法的維數較高，但由于PSO算法在多維尋優(yōu)問題有著非常好的特性，維數的增加并未增加計算的復雜性，這一點在實驗結果中可以看到。第69頁/共75頁VRP