微積分發(fā)展簡史

關(guān)于微積分發(fā)展簡史第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四牛頓艾薩克·牛頓（IsaacNewton）是英國偉大的數(shù)學家、物理學家、天文學家和自然哲學家，其研究領(lǐng)域包括了物理學、數(shù)學、天文學、神學、自然哲學和煉金術(shù)。

牛頓的主要貢獻有發(fā)明了微積分，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律和經(jīng)典力學，設(shè)計并實際制造了第一架反射式望遠鏡等等，被譽為人類歷史上最偉大，最有影響力的科學家。為了紀念牛頓在經(jīng)典力學方面的杰出成就，“牛頓”后來成為衡量力的大小的物理單位。第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四萊布尼茨萊布尼茨（Gottfried

WilhelmLeibniz），德國哲學家、數(shù)學家。涉及的領(lǐng)域及法學、力學、光學、語言學等40多個范疇，被譽為十七世紀的亞里士多德。和牛頓并稱為微積分的創(chuàng)立者。第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四微積分學是微分學(DifferentialCalculs)和積分學(IntegralCalculs)統(tǒng)稱,英文簡稱Calculs,意為計算。這是因為早期微積分主要用于天文、力學、幾何中的計算問題。后來人們也將微積分學稱為分析學或無窮小分析。第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

在微積分產(chǎn)生之前，數(shù)學發(fā)展處于初等數(shù)學時期。人類只能研究常量，而對于變量則束手無策。在幾何上只能討論三角形和圓，而對于一般曲線則無能為力。到了17世紀中葉，由于科學技術(shù)發(fā)展的需要，人們開始關(guān)注變量與一般曲線的研究。第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四在力學上，人們關(guān)心如何根據(jù)路程函數(shù)去確定質(zhì)點的瞬時速度，或者根據(jù)瞬時速度去求質(zhì)點走過的路程。在幾何上，人們希望找到求一般曲線的切線的方法，并計算一般曲線所圍圖形的面積。第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四令人驚訝的是，不同領(lǐng)域的問題卻歸結(jié)為相同模式的數(shù)學問題：求因變量在某一時刻對自變量的變化率；求因變量在一定時間過程中所積累的變化。前者導致了微分的概念；后者導致了積分的概念。更令人驚訝的是，這二者之間竟然有著密切的聯(lián)系：它們是互逆的兩種運算，這個性質(zhì)是由微積分學基本定理所體現(xiàn)的。從而微分學和積分學形成了一門統(tǒng)一的學科：微積分學。第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四微積分的萌芽123微積分的發(fā)展微積分的建立4微積分的嚴格化目錄5牛頓和萊布尼茨之爭第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四1.微積分的萌芽極限思想歐多克索斯的窮竭法（古希臘時期）一個量如果減去大于其一半的量，再從余下的量中減去大于該余量一半的量，這樣一直下去，總可使某一余下的量小于已知的任何量。

莊子的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”（戰(zhàn)國時期）第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

阿基米德對拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體體積的研究。積分思想

開普勒用無窮小微元來確定曲邊形的面積和體積。第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

第一類是求瞬時速度的問題。第二類是求曲線切線的問題。十七世紀中葉，由于自然科學的急速發(fā)展，其他學科給數(shù)學提出如下四種亟待解決的問題：第三類是求函數(shù)最大值和最小值的問題。

第四類是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、兩個非質(zhì)點間的

引力問題。2.微積分的發(fā)展第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

曲線的切線問題（第二類問題）微分思想

費爾馬在這兩個問題上做出了主要貢獻，他先對自變量取增量，再讓增量趨于零，這就是微分學的本質(zhì)所在。函數(shù)的極大極小值問題（第三類問題）第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

費爾馬也在積分學方面做了許多工作，如求面積、體積、重心等問題（第四類問題），但可惜的是，他沒有發(fā)現(xiàn)微分學和積分學這兩類問題之間的基本聯(lián)系。

巴羅（牛頓的老師）在《光學和幾何學講義》一書中，已經(jīng)把求曲線的切線與求曲線下區(qū)域的面積問題聯(lián)系了起來，也就是說他把微分學和積分學的兩個基本問題聯(lián)系起來，但可惜的是他沒有從一般概念意義下進一步深入研究他們。第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四除了費爾馬和巴羅，十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家也為解決上述問題作了大量的研究工作，這些先驅(qū)性的工作，沿著不同的方向向微積分的大門逼近，但所有這些努力還不足以標志微積分作為一門獨立科學的誕生。第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四3.微積分的建立

終于十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茲，在不同的國家，幾乎在同時總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上，各自獨立的創(chuàng)建了劃時代的微積分。第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

牛頓將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系，從而將這兩類運算統(tǒng)一成整體。這是他超越前人的功績，正是在這樣的意義下，我們說牛頓發(fā)明了微積分。

牛頓在1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”(積分法)．1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，但他沒有拿去發(fā)表。第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

萊布尼茨在1684年發(fā)表了第一篇微分學論文《一種求極大值與極小值以及求切線的新方法》，在這文章中他給出了微分記號dx和一些微分運算法則，并討論了微分學的一些應(yīng)用。

萊布尼茨深刻認識到∫同d的互逆關(guān)系，他斷言：作為求和過程的積分是微分的逆．這一思想的產(chǎn)生是萊布尼茨創(chuàng)立微積分的標志．1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學論文，在這篇論文他給出了積分符號∫，初步論述了積分與微分的互逆關(guān)系。第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理，并建立起一套有效的微分和積分算法；他們把微積分作為一種適用于一般函數(shù)的普遍方法；把微積分從幾何形式中解脫出來，采用了代數(shù)方法和記號，從而擴展了它的應(yīng)用范圍；把面積、體積及以前作為和來處理的問題歸結(jié)到反微分(積分)．這樣，十七世紀其他學科提出的四個主要問題——速度、切線、極值、求和，便全部歸結(jié)為微分和積分。第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四微積分誕生以后，數(shù)學迎來了一次空前的繁榮時期。18世紀被稱為數(shù)學史上的英雄世紀。數(shù)學家們把微積分應(yīng)用于天文學、力學、光學、熱學等各個領(lǐng)域，獲得了豐碩的成果；在數(shù)學本身，他們把微積分作為工具，又發(fā)展出微分方程、微分幾何、無窮級數(shù)等理論分支，大大擴展了數(shù)學研究的范圍。第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四4.微積分的嚴格化微積分建立以后，出現(xiàn)了兩個極不協(xié)調(diào)的情景：一方面是微積分廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，取得了輝煌的成就；另一方面是人們對于微積分基本概念的合理性提出了強烈的質(zhì)疑。19世紀以前，無窮小量概念始終缺少一個嚴格的數(shù)學定義，因此導致了相當嚴重的混亂。

特別地，1734年英國哲學家、紅衣主教貝克萊對微積分基礎(chǔ)的可靠性提出的強烈質(zhì)疑，引發(fā)了第二次數(shù)學危機。微積分的嚴格化勢在必行。第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

法國數(shù)學家達朗貝爾用極限方法取代無窮小量方法；法國數(shù)學家柯西在達朗貝爾通俗的極限基礎(chǔ)上，從變量和函數(shù)角度出發(fā)給出極限的動態(tài)定義，從而把微積分的基礎(chǔ)嚴格地奠定在極限概念之上。德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯則用靜態(tài)的ε-δ語言來刻畫柯西動態(tài)的極限概念，使極限的定義達到了最清晰最嚴密的程度，直到如今人們?nèi)匀辉谑褂盟亩x。極限理論的建立第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

由于嚴格的極限理論的建立，無窮小量可用極限的語言清楚地加以描述，至此才解決了有關(guān)的邏輯困難。而且由于ε?δ語言的建立，微積分的發(fā)展如虎添翼。第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四實數(shù)理論魏爾斯特拉斯的無限十進小數(shù)表示法

戴德金分割

康托爾的柯西列方法

第一次數(shù)學危機之無理數(shù)的解決方案實數(shù)的完備性

確界存在定理---單調(diào)有界定理----區(qū)間套定理------有限覆蓋定理----聚點定理-----柯西收斂準則

第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四從以上介紹，可以知道微積分發(fā)展的歷史軌跡是積分學—微分學—微積分學—極限理論—實數(shù)理論但從數(shù)學分析課程來看，它的理論體系應(yīng)該是：實數(shù)理論—極限理論—微分學—積分學—微積分學第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四5.牛頓與萊布尼茨之爭

萊布尼茨發(fā)表第一篇微積分論文的時間是1684年，比牛頓早三年(牛頓的《自然哲學之數(shù)學原理》出版于1687年)，但牛頓早在六十年代就發(fā)明了微積分，而萊布尼茨曾于1673年訪問過倫敦，并和牛頓及一些知道牛頓工作的人通過信．于是就發(fā)生了萊布尼茨是否獨立取得微積分成果的問題．第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

1684年萊布尼茲發(fā)表了他的微積分的論文。3年后，牛頓在1687年出版的《原理》書的初版中對萊布尼茲的貢獻表示認同，但是卻說：“和我的幾乎沒什么不同，只不過表達的用字和符號不一樣。”第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

牛頓的流數(shù)理論到萊布尼茲發(fā)表論文二十年后，即1704年作為他的著作《光學》的附錄中正式發(fā)表，附錄的序言中，牛頓提到他1676年給萊布尼茲的信，并補充說︰“若干年前我曾出借過一份包含這些定理(微積分)的原稿，之後就見到一些從那篇當中抄出來的東西，所以我現(xiàn)在公開發(fā)表這份原稿。”這話的意思就暗指他的手稿曾經(jīng)被萊布尼茲看到過，而萊布尼茲的論文就是從他的手稿中抄來的。第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

1711年3月4日，倫敦皇家學會的秘書斯洛（HansSloane）收到萊布尼茲寄來的一封信，信中抱怨其成員開爾（JohnKeill）指責萊布尼茲把牛頓的微積分改變了少量的符號，偽裝為自己的原創(chuàng)發(fā)表，并且聲明這不是事實，要求學會給以公正的裁決。第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

據(jù)說這一狀告正好告到了牛頓手上。后來，由于牛頓的導演和親自出馬、匿名運作，形成勢不兩立的兩派。以英國為一派包括英國著名數(shù)學家泰勒和麥克勞林都認為萊布尼茲是抄襲者。另一派是歐洲大陸的數(shù)學家，包括著名數(shù)學家約翰·伯努利等為一派認為牛頓是抄襲者。爭論雙方停止學了術(shù)交流，不僅影響了數(shù)學的正常發(fā)展，也波及整個自然科學領(lǐng)域，以致發(fā)展到英德兩國之間的政治摩擦。第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四這場由牛頓導演捍衛(wèi)牛頓的戰(zhàn)斗，使英國人吃了大虧，一百年多年間在數(shù)學上大大落后于歐洲。而萊布尼茲生命中的最后７年則在這場大爭論中痛苦地度過的。

總之，兩個人都很受傷！第30頁，共32頁，2023年，2